La quantità di moto
• Data una particella di massa m che si muove con
velocità v
• Si definisce quantità di moto la quantità:
p  mv
m
v
p  mv
– È un vettore
• Prodotto di uno scalare positivo, m, per un vettore, v.
• Stessa direzione e verso di v,
• Il modulo è m volte quello di v.
– Le dimensioni:
[p]=[m][v]=[M][LT-1]
– Nel SI si misurerà in kg m s -1
• Se sul punto materiale agisce una forza,
– la sua velocità cambierà,
– ma cambierà anche la sua quantità di moto
dp
F
dt
dp d mv 


dt
dt
per m costante
dp d mv 
dv

m
 ma  F
dt
dt
dt
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Il prodotto vettoriale
• Dati i vettori a e b , si definisce prodotto vettoriale a  b
il vettore c così individuato:
c  absen f
– Il modulo del vettore c è dato da:
dove l’angolo f è l’angolo minore di 180° compreso tra
i due vettori
– La direzione è perpendicolare al piano individuato dai vettori a e b.
– Il verso è determinato con la regola della mano destra:
• I formulazione:
– Si dispone il pollice della mano destra lungo il primo vettore
– Si dispone l’indice della mano destra secondo il secondo vettore
– Il verso del medio individua il verso del prodotto vettoriale
• II formulazione
– Si chiude a pugno la mano destra mantenendo sollevato il pollice
– Si dispone la mano destra in maniera che le dita chiuse a pugno indichino il verso
in cui bisogna far ruotare il primo vettore per sovrapporlo al secondo percorrendo
l’angolo f minore di 180°
– Il verso del pollice individua il verso del prodotto vettoriale.
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Proprietà del prodotto vettoriale
• Il prodotto vettoriale non è commutativo: a  b  b  a
a  b  b  a
• Infatti:
• Interpretazione geometrica del prodotto vettoriale
•
h = b sin 
b
•

a
Area  ah  absin  a  b
Il modulo del prodotto
vettoriale è uguale all’area
del parallelogramma
formato con u due vettori.
Vettori paralleli o
antiparalleli hanno un
prodotto vettoriale nullo
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Ulteriori proprietà del prodotto vettoriale
• Prodotto vettoriale attraverso le
componenti cartesiane:

i
a  b  ax
j
ay
k
az 
bx
by
bz


 i a y bz  bya z  ja xb z  b xa z   k a xb y  bx a y
ii  0 i jk
i  k  j
j j  0 j k  i
j  i  k

k  k  0 k  i  j k  j  i
a  b  c   a  b  a  c
Proprietà distributiva
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Il momento di un vettore
• Dato un vettore V qualsiasi ed il punto O, che in questa occasione si
chiama “polo”, si definisce momento del vettore V rispetto al polo O la
quantità:
r posizione rispetto ad O del punto
MO  r  V
di applicazione del vettore V.
y
V

MO=rVsen =V(rsen) =bV
Il modulo del momento, MO, è uguale al
r
O

b=r sen
x
È importante l’ordine!
Prima r poi V!
modulo del vettore V per il braccio del
vettore V rispetto al polo O
• Il braccio è la distanza della retta di
azione del vettore V dal polo O
• Spostando il vettore V sulla sua retta di
azione il momento resta invariato.
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Momento della quantità di moto
o momento angolare
• Data la particella di massa m,
y
– la cui posizione è individuata, al tempo t, dal
vettore posizione r,
– che al tempo t si muove con velocità v
– E quindi possiede una quantità di moto
p=mv
p

r
• Si definisce momento della quantità di moto
della particella rispetto al polo O, la
x
grandezza:
b  r sen
O
O
Il modulo vale:
Le dimensioni:
O
rp
 rmv sen  bmv
 O   r mvsen  LMLT 1  ML2 T1 
Le unità di misura:
kgm2s-1
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Momento della forza
• Data la particella di massa m,
y
– la cui posizione è individuata, al tempo t, dal
vettore posizione r,
– che al tempo t subisce l’azione della forza F

F
b
• Si definisce momento della forza F rispetto
al polo O, la grandezza:
r
MO  r  F
O
x
Il modulo vale:
MO  rFsen  bF
b  r sen  r sen180  
Le dimensioni:
MO  rF sen   LMLT 2  ML2 T2 
Le unità di misura:
kgm2s-2
Da non confondere con il lavoro che ha le stesse dimensioni
(il lavoro è uno scalare, il momento della forza un vettore: sono
due grandezze completamente diverse)
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Relazione tra il momento della quantità
di moto ed il momento della forza
• Durante il moto di una particella, sia la sua posizione r che la sua
velocità cambiano con il tempo,
– È lecito aspettarsi che anche il momento della quantità di moto della
particella rispetto al polo O vari con il tempo.
– Valutiamo a quanto è uguale la sua variazione (calcoliamo la derivata):
d O dr  p dr
dp


pr
dt
dt
dt
dt
• Attenzione a non cambiare il posto dei vettori, il prodotto vettoriale non
commuta.
dr
 p  v  p  v  mv
• Il primo termine è nullo: i due vettori sono paralleli
dt
d O
dp
r
 r  F  MO
dt
dt
•
La variazione del momento della quantità di moto della particella rispetto al
polo O è uguale al momento della forza applicata valutato rispetto allo stesso
polo!
(è una diretta conseguenza dellaG.M.
II legge
di Newton)
- Informatica B-Automazione 2002/03
Forze centrali
• Si definisce forza centrale una forza agente in una certa regione dello
spazio con le seguenti proprietà:
– per qualunque posizione del punto materiale P che subisce la forza,
– la direzione della forza agente su P passa sempre per un punto fisso dello
spazio, detto centro della forza centrale,
– e il suo modulo è funzione soltanto della distanza del punto materiale P dal
centro stesso.
• Esempio di forza centrale: la forza di gravitazione universale.
•
mM
mM r
F   G 2 u r  G 2
r
r r
1 q 1q 2
Anche la forza di Coulomb è F 
2 ur
4
r
o
centrale
• Così come la forza elastica
y
F
P
r
F  kxi
O=S
• Le forze centrali sono conservative
x
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Moto di un punto materiale sotto l’azione
di una forza centrale
• Il momento di una forza centrale valutato rispetto al
centro della forza è nullo
y
– La forza ed il vettore posizione sono paralleli o anti
paralleli
d o
d o
 0  o  cos tan te
 Mo
dt
dt
r
• Il momento della quantità di moto rispetto al centro
della forza deve rimanere costante
F
v
x
O
– in direzione
y
• Il moto è un moto piano
v t  t 
– Verso
• La traiettoria viene percorsa sempre nello stesso verso:
orario o antiorario
r(t  t)
r (t)
– Modulo
• La velocità areale è costante: il segmento che connette il
centro della forza con il punto materiale spazza aree uguali
in tempi uguali.
v(t)
O
x
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
La velocità areale
• Consideriamo l’intervallo di tempo t
– L’area spazzata nell’intervallo t è quella evidenziata in
figura
– Approssimativamente uguale all’area del triangolo di lati
r(t), r(t+t), r.
– L’eguaglianza approssimata diventa precisa per t che
tende a zero.
1
– L’area del triangolo vale: A  2 r(t)h
y
v t  t 
r(t  t)
h
v(t)
r
fv 
r (t)
O
vr
x
1
dA
A
h
2 r(t)h
1
La velocità areale:
 lim t 0
 lim t0
 2 r(t)lim t0
dt
t
t
t
Dalla definizione di velocità istantanea ricaviamo che:
dA 1
r
h
 2 rv  12 rvsen f
e quindi
v  lim t0
 v  lim t0
dt
t
t
Il modulo del momento della quantità di moto rispetto al centro della
forza vale:
e quindi: dA  1 O
O  rmv senf
dt 2 m
Nel caso di forze centrali, poiché il modulo del momento della quantità di
moto è costante, allora la velocità areale è costante
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
La velocità areale
• Se indichiamo con  l’angolo formato tra i vettori
posizione all’istante t e t+t
h
r(t  t)sen 
v   lim t 0  lim t0

t
t

 r(t)lim t0
 r
t
Il momento angolare:
Perielio
Più veloce
O
y
v t  t 
r(t  t)
O
h
r (t)

v(t)
r
fv 
vr
x
 rmv sen  mrv   mrr  mr 2 
Afelio
Più lento
b2
e  1 2
a
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Le leggi di Keplero
• Le orbite dei pianeti sono delle ellissi. Il sole occupa uno dei fuochi.
• Il segmento che congiunge il pianeta con il sole, spazza aree uguali in
tempi uguali: in altre parole la velocità areale (l'area spazzata nell'unità
di tempo), è costante.
• Il quadrato del tempo di rivoluzione (T2), è proporzionale al cubo del
semiasse maggiore dell'ellisse (a3). La costante di proporzionalità è la
stessa per tutti i pianeti del sistema solare.
• L’ipotesi che la forza di gravitazione universale sia una forza centrale
• insieme con quella che un sistema di riferimento legato al sole possa
essere considerato inerziale
• giustifica le prime due leggi di Keplero ( in realtà la prima solo
parzialmente)
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Verifica della III legge di Keplero
• Faremo la verifica supponendo che le orbite dei pianeti siano circolari
anziché ellittiche.
– L’eccentricità per la terra è 0.0167
– a è il semiasse maggiore
– b quello minore
b2
e  1 2
a
• Se la traiettoria è circolare il moto è uniforme (la velocità areale deve
essere costante)
• Il pianeta è soggetto ad un’accelerazione centripeta
• Quindi la forza di gravitazione universale si comporterà da forza
centripeta:
mM
mv 2
FG  G 2  ma n 
r
r
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Verifica della III legge di Keplero
2r
T
v
Ma la velocità è legata al periodo dalla relazione:
2
 2r 
m
 T 
mM mv 2
m4 2r 2 m4 2 r
G 2 



2
r
r
r
rT
T2
mM m4 2 r
G 2 
r
T2
4 2 3
 T 
r
GM
2
Che appunto verifica la III legge di Keplero
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03