Estensione della conservazione
dell’energia ai sistemi di punti materiali
• Se tutte le forze interne ed esterne sono conservative
• Allora si può definire una funzione energia potenziale relativa a tutto il
sistema ed è uguale alla somma delle energie potenziali dei singoli
punti materiali
EP =
å
tuttele particelle
EPi
Ui è la somma delle energie potenziali della particella i
– In altri termini la somma va estesa a tutte le forze interne
ed esterne agenti sulla particella i
• Poiché per ogni particella vale la conservazione dell’energia, allora
essa vale anche per tutto il sistema.
• Se tutte le forze sono conservative, l’energia meccanica totale del
sistema rimane costante durante il moto.
Em = Ek + EP = costante
• Se, alcune delle forze agenti, siano esse interne od esterne, sono non
conservative, allora vale la relazione lavoro-energia: DEm = Wnc
• Wnc è il lavoro di tutte le forze non conservative.
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
L’energia potenziale della forza peso
Pi = mi g
• Per ciascuna particella:
EPi = mi ghi
n
n
EP = å EPi = å mi ghi
i=1
i=1
n
n
i = 1,2, ....., n
i =1, 2,....., n
n
EP = å EPi = å mi ghi = gå mi hi =
i=1
i=1
i=1
g compare in tutti i termini della
sommatoria e si può mettere in
evidenza
gMhCM
dalla definizione di Centro
di Massa, la quota h CM sarà
n
åmihi
data da hCM = i=1
M
EP = MghCM
• L’energia potenziale è uguale al prodotto della massa totale del
sistema di particelle per l’accelerazione di gravità per la quota del
CM.
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•
Un bastone assimilabile ad una sbarretta omogenea di massa m0.5kg e
lunghezza L=1m. Inizialmente il bastone ha un estremo a contatto con il
pavimento e viene lasciato cadere partendo da una posizione pressoché
verticale. Determinare il lavoro fatto dalla forza peso.
y
Applic
azione
Posizione iniziale
Posizione finale
WPeso = - DE PPeso
Þ
x
WP = - ( E PfPeso - E PiPeso ) = E PiPeso - E PfPeso
Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il
piano y=0, otteniamo
Wpeso = E PiPeso - E PfPeso
E PiPeso = mg
L
2
Þ
WPeso = E PiPeso - E PfPeso = mg
L
= 0.5kg ´ 9.81 sm2 ´ 0.5m = 2.45J
2
E PfPeso = 0
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•
y
L’elemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la
posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50
cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro.
Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per l’estremo libero della
sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale,
determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione
iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale
Posizione iniziale
Applic
azione
x
Posizione finale
Il pendolo poi prosegue oltre questa posizione (in
assenza di attriti raggiunge la posizione simmetrica a
quella di partenza rispetto all’asse di rotazione e poi
ritorna indietro e oscilla tra la posizione iniziale e quella
simmetrica rispetto all’asse di rotazione)
Wpeso = - DE Ppeso
Þ
(
)
Wpeso = - E Pf peso - E Pipeso = E Pipeso - E Pf peso
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•
y
L’elemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la
posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50
cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro.
Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per l’estremo libero della
sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale,
determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione
iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale
Posizione iniziale
Applic
azione
x
Wpeso = - DE Ppeso
ß
(
)
Wpeso = - E Pf peso - E Pipeso = E Pipeso - E Pf peso
Ricordando il calcolo della posizione del CM già fatto
nella lezione precedente d1=.22m
Scegliendo come piano orizzontale a
cui attribuire energia potenziale zero
il piano y=0, otteniamo
WP = -E Pf peso
E Pipeso = 0
Þ
E Pf peso = - ( ms + md ) gd2
Wpeso = E Pipeso - E Pf peso = 0 - (- ( ms + md ) gd2 ) =1.5kg ´ 9.81 sm2 ´ 0.48m = 7.06J
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•
Una maniera alternativa per arrivare allo stesso risultato parte
dall’osservazione che l’energia potenziale di un sistema di punti materiali si
ottiene sommando le energie potenziali delle singole particelle:
WP = -DUP
Þ
Applic
azione
WP = -(U Pf - U Pi ) = U Pi - U Pf = (U Psi + U Pdi ) - (UPsf + U Pdf )
y
x
U Psi = 0
U Psf
L
= - ms g
2
U Pdi = 0
U Pdf = - ms g(L + R)
WP = UPi - U Pf
U Pi = 0
U Pf = -( ms + m d ) gd2
Þ
æ
ö
L
W P = (U Psi + U Pdi ) - ( U Psf + U Pdf ) = 0 - ç-msg - md g( L + R)÷ =
è
ø
2
= 0.5kg ´ 9.81 sm2 ´ 0.25m + 1.0kg ´ 9.81 sm2 ´ 0.60m =
= 9.81(0.5 ´ 0.25 + 1.0 ´ 0.60) J = 9.81( 0.5 ´ 0.25 + 1.0 ´ 0.60) = 9.81(0.725) J = 7.11J
Che, a parte errori di arrotondamento, è uguale al valore trovato con l’altro metodo.
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Momento della quantità di moto, o momento
angolare, di un sistema di punti materiali
• Per ciascuna particella
Oi
= ri ´ mi vi
i =1,2, ..., n
• Il momento della quantità di moto o
momento angolare dell’intero sistema
rispetto al polo O, è dato da:
n
LO =
å
i=1
z
v1
P1
n
iO
=
år ´ m v
i
v2
r1
i i
i=1
rCM
r2
O
P2
r2
r2
y
r3
P3
v3
x
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Cambiamento di polo
• Naturalmente possiamo calcolare il momento della quantità di moto
rispetto a qualsiasi punto, non necessariamente l’origine!
n
L O' =
å
n
år' ´m v
=
iO'
i
i=1
n
år ´ m v = å
i
i i
i=1
n
=
å
i=1
v1
i=1
n
LO =
z
i i
P1
®
æ
ö ´m v =
r
'
+
OO'
i
i i
è
ø
'
r1
v2
i=1
®
r' i ´ m iv i + OO' ´
n
å
®
'
r2
r2
O'
m i vi = L O' + OO' ´ P
r3'
i=1
rCM
r2
P2
O
y
P3
v3
x
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Il momento della quantità di moto
rispetto al centro di massa
Se O’ coincide
L =å
L =å
= å r' ´m v
con il centro di
n
•
n
CM
massa CM
•
n
iCM
i=1
i
O'
i i
n
iO'
=
i=1
i=1
år' ´m v
i
i=1
i i
®
L O = L O' + OO' ´ P
Il momento della quantità di moto valutato rispetto al centro di massa assume lo stesso
valore sia se viene calcolato nel sistema Oxyz che nel sistema di riferimento del CM.
n
L CM =
z
n
år' ´m v = å r' ´m v'
i
i i
i
i=1
i
i
= L' CM
v1
i=1
n
P1
n
r' 1
LCM = å r'i ´ mi v i = å r'i ´ mi (v'i +v CM ) =
i=1
i=1
n
n
i=1
i=1
v2
rCM
r2
= å r'i ´ mi v'i + å r'i ´ mi v CM =
æ n
ö
= L'CM + çå mi r'i ÷ ´ v CM = L'CM + r'CM ´ v CM =
è i=1
ø
ma r'CM è nullo
= L'CM
z'
x'
r' 2
r2
y
r' 3
P3
P2 y'
v3
x
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Secondo teorema di Konig
•
Se O è l’origine del sistema di riferimento e O’ un secondo polo qualsiasi risulta che .
®
L O = L O' + OO' ´ P
•
Se O’ coincide con il centro di massa.
L O = L CM + rCM ´ P
L O = rCM ´ Mv CM + LCM
•
•
•
Il momento della quantità di moto rispetto al
polo O è uguale al momento della quantità di
moto del centro di massa rispetto al polo O + il
momento della quantità di moto rispetto al centro
di massa (II teorema di Konig)
Il CM non rappresenta del tutto il sistema
Il momento della quantità di moto rispetto al
centro di massa LCM possiamo calcolarlo sia
usando le grandezze del sistema del centro di
massa che quelle del sistema con origine in O
x
z
z'
v1
P1
r' 1
v2
rCM
r2
x'
r' 2
r2
y
r' 3
P3
P2 y'
v3
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Teorema del momento angolare
II equazione cardinale della dinamica
•
•
•
Se le particelle del sistema sono in moto, variano le loro posizioni e potrebbe
anche variare la loro velocità.
Il momento della quantità di moto rispetto al polo O varia.
Valutiamo la rapidità con cui varia.
æ n
ö
dç
ri ´ m i vi ÷
n
n
n
è i =1
ø
dL O
dri
dvi
=
=
´ miv i +
ri ´ m i
=
ri ´ m i a i
dt
dt
dt
dt
i=1
i=1
i=1
å
å
å
dri
= vi , questo
dt
termine è nullo in quanto
ciascun termine della somma
è nullo poichè prodotto
vettoriale di due vettori
paralleli
Poichè
dL O
=
dt
n
n
å r ´ m a = å r ´ (F
i
i=1
i i
i
i=1
å
est
i
)
+ Fiint =
mi a i = Fi
est
n
int
i = 1,2,..., n
n
åM + åM
est
iO
i=1
+ Fi
int
iO
int
= Mest
O + MO
i=1
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II equazione cardinale della dinamica dei
sistemi
• Il momento risultante delle forze interne è nullo:
MOint = .... + ri ´ fij +.... + rj ´ f ji +.... = ..... + ri ´ fij +.... - rj ´ fij +.... = .... + ( ri - rj ) ´ fij +.... = 0
f ji =-fij
=0 perchè fij é
parallela a ri -rj =rij
• Pertanto la variazione del momento della
quantità di moto di un sistema di punti è uguale
al momento risultante delle sole forze esterne
i
fij
rij
ri
dL O
est
= MO
dt
fji
j
rj
O
• Mentre nel caso del punto materiale questa
equazione è equivalente alla II legge della dinamica
• Nel caso dei sistemi di punti, la I e la II equazione
cardinale, sono indipendenti e quindi forniscono
informazioni complementari.
•
•
•
•
O = origine del sist. Rif
O = punto fisso
O = CM (SRI o SCM)
O punto mobile ma con
velocitàB-Automazione
parallela a2002/03
vCM
G.M. - Informatica
Possibile uso della seconda equazione
cardinale
• Si consideri una carrucola il cui asse è ancorato al soffitto,
su cui è avvolta una corda.
• Applichiamo all’estremo libero della corda una forza F.
• La prima equazione cardinale della dinamica non ci da
alcuna informazione sul moto della carrucola, ci permette
solo di determinare l’intensità della reazione vincolare.
P + F + Rv = Ma CM = 0
Rv
CM
F
P
Rv = - P - F
• La seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi
non è banalmente soddisfatta
dL CM
est
= M CM = r ´ F ¹ 0
dt
• Questa equazione ci può dare informazioni sul moto di rotazione
della carrucola attorno all’asse passante per il centro di massa.
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