z
La quantità di moto
•
P1
La quantità di moto di un sistema di
punti materiali si ottiene sommando le
quantità di moto di ciascun punto
materiale
r1
rCM
r2
P2
r2
n
P
m v
i i
i1
•
y
r3
Ricordando l’espressione della velocità
del centro di massa
P3
x
n
m v
i i
v CM 
•
i1
M to t

P = Mto tv CM
La quantità di moto di un sistema di punto materiali è
proprio uguale alla quantità di moto del Centro di Massa
– Centro di massa:
• massa pari alla massa totale del sistema
• velocità uguale alla velocità del centro di massa
Per quanto riguarda la
quantità di moto, il centro
di massa rappresenta
completamente il sistema di
particelle.
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
I equazione cardinale della dinamica dei
sistemi di punti materiali
dP dMto tv CM 
dv
(e)
=
 Mto t CM  Mto ta CM  R
dt
dt
dt
teorema del cen tro di massa
z
dP
= R(e)
dt
P1
•
•
•
La derivata della quantità di moto di un
sistema di punti materiali
è uguale alla risultante delle sole forze
esterne
r1
rCM
r2
È equivalente al teorema del centro di massa
P2
r2
y
r3
P3
x
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
La conservazione della quantità di moto
•
Se la risultante delle forze esterne è nulla
dP
=0
dt
•
•
•

P  costante
la quantità di moto delle singole particelle agenti sul sistema possono
variare, ma la quantità di moto totale del sistema rimane costante in
modulo, direzione e verso.
Un sistema isolato è un sistema molto lontano da altri corpi e quindi non
soggetto a forze esterne: la quantità di moto di un sistema isolato si
conserva.
La conservazione della quantità di moto è equivalente alla terza legge di
Newton
dP dp1 dp2


0
dt
dt
dt

dp1
dp
 2
dt
dt

f12 = -f21
Noi abbiamo ricavato la conservazione della quantità di moto dalle leggi di Netwon: in realtà il principio
di conservazione della quantità di moto è un principio più generale: vale anche al di fuori della
meccanica classica.
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
Un’astronave di massa totale M staviaggiando nelle profondità dello spazio
con una velocità vi=2100km/h rispetto al sole.
Espelle uno stadio posteriore di massa 0.20M alla velocità relativa
u=500km/h rispetto all’astronave, diretta lungo l’asse x.
Quanto diventa la velocità dell’astronave rispetto al sole?
Applic
azione
Indichiamo con U la velocità dello
stadio posteriore rispetto al sole.
Siamo molto lontani da qualsiasi altro
corpo, quindi le forze esterne sono nulle.
La quantità di moto si conserva.
Consideriamo il sole come un sistema di
riferimento inerziale
dP
=0
dt

P  costante
Pi  Pf
La quantità di moto iniziale è diretta lungo l’asse x
La quantità di moto finale dello stadio posteriore è anch’essa diretta lungo l’asse x
Anche la quantità di moto del resto dell’astronave sarà diretta lungo l’asse x
Pix  Pfx  Mv i  0.20M  U  0.80M  vf
Mvi  0.20M  v f  u  0.80M  vf
v  v' vO'
U  u  v f
 Mvi  Mvf  0.20Mu
km
km
v f  v i  0.20u  2100 km
h  0.20  500 h  2200 h
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
La conservazione parziale della quantità
di moto
•
La I equazione cardinale della dinamica dei sistemi è una relazione
vettoriale
dP
= R(e)
dt
•
Se il sistema non è isolato, allora la risultante non sarà nulla
– È possibile che alcune delle componenti della risultante siano nulli
– Allora si conservano le corrispondenti componenti della quantità di moto
dP
(e)
=R
dt

dPx
= R(ex )
dt
dPy
(e )
= Ry
dt
dPz
= R(e)
z
dt
R (e)
x  0

Px  costante
 Ry  0
R (e)
z  0


Py  costante
Pz  costante
(e)
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
Nella figura si vede un vagone ferroviario a pianale basso di massa M che è
libero di muoversi senza attrito su un binario rettilineo orizzontale.
Applic
All’inizio un uomo di massa m sta fermo sul vagone che viaggia verso destra
azione
con velocità vo. Quale sarà la variazione di velocità del vagone se l’uomo si
metterà a correre verso sinistra con una velocità vrel rispetto al vagone?
Si assuma vo=1m/s, vrel=5m/s, m=70kg, M=1000kg.
In questo caso le forze esterne non sono nulle:
peso del vagone, peso dell’unomo, reazione
vincolare del binario (solo componente
normale).
Però le forze sono tutte verticali
Si conserva la quantità di moto orizzontale, in
x
particolare quella diretta secondo i binari.
Il sistema di riferimento è quello dei
binari (inerziale).
Pix  Pfx
dPx
= R est
x =0
dt

Px  costante
 M  m vi  mv u  Mv f vu velocità dell’uomo rispetto ai binari
Dai moti relativi
v  v' vO'
v u  v rel  v f
M  mvi  m  vf  v rel   M  vf  M  mv i  M  mv f  mv rel
vf 
mM
m
70 m 1140
vi 
v rel  1 ms 
5 
mM
m M
1070 s 1070
m
s
 1.07 ms
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L’energia cinetica di un sistema di punto
materiali
• Come già visto nel caso della quantità di moto:
• L’energia di un sistema di punti materiali è la somma dell’energia
cinetica dei singoli punti materiali.
z
n
K

i1
1
m i v2i
2
P1
r1
rCM
r2
P2
r2
y
r3
P3
x
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Il sistema di riferimento del centro di
massa
• Il sistema di riferimento del CM è un sistema di riferimento avente
– Origine nel Centro di Massa CM
– Assi paralleli a quelli del sistema inerziale in cui si studia il moto del
sistema.
z
z'
vi 
P1
vCM  v'i
r1
rCM
r2
x'
P2 y'
r2
y
r3
P3
x
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Il I teorema di Konig
• L’energia cinetica di un sistema di particelle è uguale
1
all’energia cinetica del centro di massa più l’energia K  Mv 2CM 
2
cinetica del sistema di particelle misurata nel sistema
di riferimento del CM.
z
z'
• Dimostrazione:
1
K
2

1
2
n

i1


r1

rCM
r2
m i vCM  v i  vCM  v i 
'
'
i1
n
 
1

2


m i v CM  v' i 2v CM  v' i 
2
i1
n
i1
2
m i v CM
2
1

2
i1
P1
m i v i  vi 
i1
n
1

2

1
m i v' 2i
2
n
1
2
m i vi 
2
 
n
n

i1
x'

m v
i CM
 v' i 
r2
y
r3
n
2
m i v' i
P2 y'
P3
x
i1
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Il I teorema di Konig
z
z'
1

2
n

m i v 2CM
i1
1

2
n

n
m i v' 2i
 v CM 
i1
m v'
i
i

P1
i1
r1
n
 2
1 
1
 
m i v CM 
2  i1 
2

1
1
 M totv 2CM 
2
2

m i v' 2i
i1
n

i1
rCM
r2
n
m i v' 2i
 vCM  Mv' CM 

0
x'
1
 Mtot v2CM  K'
2
P2 y'
r2
y
r3
P3
x
• Per quanto riguarda l’energia cinetica, il CM non
rappresenta completamente il sistema di particelle,
occorre aggiungere l’energia cinetica del moto
relativo al centro di massa.
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Estensione del teorema delle forze vive
ai sistemi di punti materiali
• Per ogni particella del sistema
W
in iz
Ki  K fin

K
 WR i 
i
i
i  1,2,...., n
Fi
so mma dei lav ori co mpiuti
da tutte le forze,sia intern e ch e
esterne,agenti sulla particella i
n
K 

i1
n
K i 

i1
n
Ki 
fin

n
in iz
Ki
i1
Kfin Kin iz K

W
Ri
i1
n

 W
Fi
i1
somma dei lavo ri co mp iuti
da tutte le forze,sia interne ch e
estern e, agen ti sulle n p articelle
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Il lavoro delle forze interne
• Abbiamo già osservato che le forze interne esistono a coppie.
• Consideriamo le particelle i e j
• Facciamo vedere che il lavoro complessivo fatto delle forze interne tra le
particelle i e j è nullo se la distanza tra le due particelle resta costante!
Wij  Fij  dri  Fji  drj  Fij  dri  Fij dri  0
Spostamenti uguali
dr j dri
dri
i ferma,
j moto circolare attorno a i
i
Fij
ri
Fji
drj
j
i
rj
drj
Fij
ri
O
Wij 
Fji Fij
Fij  dri
0 p erch èdri 0

Fji  drj
0 p erch è drj è
p erp endicolare aFji
0
Fji
j
rj
O
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Il lavoro delle forze interne
• Per valutare il lavoro fatto dalle forze interno consideriamo la particella
i ferma e la particella j che si sposta facendo variare la distanza tra le
due particella
d
r
i
Fij
ri
rj
O
r' ji cosd  rji  drji
'
ji
rji
Poiché d  0
r' ji rji  drji
cosd  1
drj
Fji
j
drji
Wij 
Fij  dri
0 p erch èdri 0
 Fji drj 
Fijdrji
Fij F ji
dr ji  co mp on ente dello spo stamen to
n ella direzion e diFij , co rrispo nde alla
v ariazio ne di lunghezza dir ji
• Il lavoro complessivo fatto delle forze interne di un sistema di particelle
è nullo se le distanze tra le particelle restano costanti!
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Estensione della conservazione
dell’energia ai sistemi di punti materiali
• Se tutte le forze interne ed esterne sono conservative
• Allora si può definire una funzione energia potenziale relativa a tutto il
sistema ed è uguale alla somma delle energie potenziali dei singoli
punti materiali
U
U
i
tuttele particelle
Ui è la somma delle energie potenziali della particella i
– In altri termini la somma va estesa a tutte le forze interne
ed esterne agenti sulla particella i
• Poiché per ogni particella vale la conservazione dell’energia, allora
essa vale anche per tutto il sistema.
• Se tutte le forze sono conservative, l’energia meccanica totale del
E  K  U  costan te
sistema rimane costante durante il moto.
• Se, alcune delle forze agenti, siano esse interne od esterne, sono non
conservative, allora vale la relazione lavoro-energia: E  Wn c
• Wnc è il lavoro di tutte le forze non conservative.
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L’energia potenziale della forza peso
Pi  mi g
• Per ciascuna particella:
i  1,2,.....,n
U i  mi gh i
n
U
U  m gh
i
i1
n
n
i
i
i1
U
n
 U   m gh
i
i1
i  1,2,.....,n
i
i1
n
i
g
m h
i i

gMh CM
i1
dalla definizio ne di Cent ro
di M assa, la quot a hCM sarà
g com p are in t ut ti i term ini della
n
som m atoria e si può m ettere in
evidenza
mihi

data da hCM  i1
U  Mgh CM
M
• L’energia potenziale è uguale al prodotto della massa totale del
sistema di particelle per l’accelerazione di gravità per la quota del
CM.
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
Un bastone assimilabile ad una sbarretta omogenea di massa m0.5kg e
lunghezza L=1m. Inizialmente il bastone ha n estremo a contatto con il
pavimento e viene lasciato cadere partendo da una posizione pressoché
verticale. Determinare il lavoro fatto dalla forza peso.
y
Applic
azione
Posizione iniziale
Posizione finale
x
WP = UP

WP = U Pf  U Pi   U Pi  U Pf
Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il
piano y=0, otteniamo
WP  UPi  U Pf
L
U Pi  mg
2
U Pf  0

WP  U Pi  U Pf  mg
L
 0.5kg  9.81 m2  0.5m  2.45J
s
2
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
y
L’elemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la
posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50
cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro.
Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per l’estremo libero della
sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale,
determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione
iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale
Posizione iniziale
Applic
azione
x
WP = UP

WP = U Pf  U Pi   U Pi  U Pf
Posizione finale
Il pendolo poi prosegue oltre questa posizione (in
assenza di attriti raggiunge la posizione simmetrica a
quella di partenza rispetto all’asse di rotazione e poi
ritorna indietro e oscilla tra la posizione iniziale e quella
simmetrica rispetto all’asse di rotazione)
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
y
L’elemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la
posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50
cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro.
Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per l’estremo libero della
sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale,
determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione
iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale
Posizione iniziale
Applic
azione
x
WP = UP
WP = U Pf  U Pi   U Pi  U Pf

Ricordando il calcolo della posizione del CM già fatto
nella lezione precedente d1=.22m
Scegliendo come piano orizzontale a
cui attribuire energia potenziale zero
il piano y=0, otteniamo
WP  UPi  U Pf
U Pi  0
U Pf   ms  m d gd 2

WP  UPi  U Pf  0  m s  m d gd 2   1.5kg  9.81 m2  0.48m  7.06J
s
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
Una maniera alternativa per arrivare allo stesso risultato parte
dall’osservazione che l’energia potenziale di un sistema di punti materiali si
ottiene sommando le energie potenziali delle singole particelle:
WP = UP

Applic
azione
WP = U Pf  U Pi   U Pi  U Pf  U Psi  U Pdi   UPsf  U Pdf 
y
x
U Psi  0
U Psf
L
  ms g
2
U Pdi  0
U Pdf   ms gL  R
WP  UPi  U Pf
U Pi  0
U Pf   ms  m d gd 2

L

WP  U Psi  UPdi   U Psf  U Pdf   0  m sg  m d gL  R 
 
2
 0.5kg  9.81 m2  0.25m  1.0kg  9.81 m2  0.60m 
s
s
 9.810.5  0.25  1.0  0.60 J  9.810.5  0.25  1.0  0.60  9.810.725J  7.11J
Che, a parte errori di arrotondamento, è uguale al valore trovato con l’altro metodo.
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Momento della quantità di moto, o momento
angolare, di un sistema di punti materiali
• Per ciascuna particella
Oi
 ri  m i vi
i  1,2,...,n
• Il momento della quantità di moto o
momento angolare dell’intero sistema
rispetto al polo O, è dato da:
n
LO 

i1
z
P1
n
iO

r  m v
i
i i
r1
i1
rCM
r2
P2
r2
O
y
r3
P3
x
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Cambiamento di polo
• Naturalmente possimo calcolare il momento della quantità di moto
rispetto a qualsiasi punto, non necessariamente l’origine!
n
L O' 

n
r' m v

iO'
i
i1
i1
n
LO 
n
r m v  
i
i i
i1
n


i1
z
i i
P1


r' i  OO'   m i v i 


r1'
i1

r' i  m iv i  OO' 
n


r2'
O'
m i vi  L O'  OO'  P
rCM
r2
r3'
i1
O
P2
y
P3
x
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Il momento della quantità di moto
rispetto al centro di massa
n
• Se O’ coincide
con il centro di
massa CM
•
L CM 

n
iCM

i1
 r' m v
i
n
L O' 
i i
L CM 

i1
i1
r' m v
i
i1
i i

L O  L O'  OO'  P
z
n
r' m v   r' m v'
i
i1
i i
i
i
i
z'
 L' CM
i1
P1
r' 1
L O  L CM  rCM  P
L O  rCM  Mv CM  LCM
•
iO'
Il momento della quantità di moto valutato rispetto al centro di massa assume lo stesso
valore sia se viene calcolato nel sistema Oxyz che nel sistema di riferimento del CM.
n
•

n
Il momento della quantità di moto rispetto al
polo O è uguale al momento della quantità di
moto del centro di massa rispetto al polo O +
il momento della quantità di moto rispetto al
centro di massa (II teorema di Konig)
Il CM non rappresenta del tutto il sistema
rCM
r2
x'
r' 2
r' 3
P2 y'
y
P3
x
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Teorema del momento angolare
II equazione cardinale della dinamica
•
•
•
Se le particelle del sistema sono in moto, variano le loro posizioni e potrebbe
anche variare la loro velocità.
Il momento della quantità di moto rispetto al polo O varia.
Valutiamo la rapidità con cui varia.
 n

d ri  m i vi 
n
n
n
 i1

dL O
dri
dvi


 miv i 
ri  m i

ri  m i a i
dt
dt
dt
dt
i1
i1
i1



dri
 vi , questo
dt
termine è n ullo in quan to
ciascun termine della so mma
è n ullo po ichè p rodotto
v etto riale di due vetto ri
p aralleli

Po ichè
dL O

dt
n

i1
n
ri  m i ai 

i1
ri 

Fiest
m i a i  Fiest  Fiin t
n
 Fiin t
 
i1
i  1,2,..., n
n
M est
iO


t
est
in t
M in

M

M
iO
O
O
i1
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
II equazione cardinale della dinamica dei
sistemi
• Il momento risultante delle forze interne è nullo:
t
M in
O  ....  ri  fij  ....  rj  fji  ....  .....  ri  fij  ....  rj  fij  ....  .... 
f ji  fij
r  r  f
i
j
ij
 ....  0
0 p erch èf ij é
p arallela ari r j =r ij
• Pertanto la variazione del momento della
quantità di moto di un sistema di punti è uguale
al momento risultante delle sole forze esterne
i
fij
rij
ri
dL O
 M est
O
dt
fji
j
rj
O
• Mentre nel caso del punto materiale questa
equazione è equivalente alla II legge della dinamica
• Nel caso dei sistemi di punti, la I e la II equazione
cardinale, sono indipendenti e quindi forniscono
informazioni complementari.
•
•
•
•
O = origine del sist. Rif
O = punto fisso
O = CM (SRI o SCM)
O punto mobile ma con
velocitàB-Automazione
parallela a2002/03
vCM
G.M. - Informatica
Possibile uso della seconda equazione
cardinale
• Si consideri una carrucola il cui asse è ancorato al soffitto,
su cui è avvolta una corda.
• Applichiamo all’estremo libero della corda una forza F.
• La prima equazione cardinale della dinamica non ci da
alcuna informazione sul moto della carrucola, ci permette
solo di determinare l’intensità della reazione vincolare.
P  F  Rv  Ma CM  0
Rv
CM
F
P
Rv  P  F
• La seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi
non è banalmente soddisfatta
dL CM
 M est
CM  r  F  0
dt
• Questa equazione ci può dare informazioni sul moto di rotazione
della carrucola attorno all’asse passante per il centro di massa.
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03