Velocità media
• Abbiamo definito la velocità vettoriale media
Grafico Orario
x x2  x1
vm 

t
t 2  t1
x (m)
25
20
2
x2
15
x
t
x1 1
10
5
0
0
t1 1
2
3 t2
4
t (s) 5
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Descrizione del moto attraverso la
velocità media
•
•
Supponiamo di far muovere tra t1 e t2 il punto materiale con la velocità media
appena calcolata
Valutiamo la sua posizione all’istante t=2s.
Posizione vera al tempo t=2s
Grafico Orario
x (m )
25
20
2
x2
Posizione al tempo t=2s
predetta con la velocità media
Conclusione:
La descrizione del moto
mediante la velocità
media è insoddisfacente
x
15
x1
1
t
tan g  
10
x
t
5
0
0
t1 1
2
3 t2
4
t (s) 5
Le predizioni sono corrette solo agli estremi t1 e t2.
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Determinazione della velocità media in
intervalli di tempo sempre più piccoli
• Riduciamo gli intervalli di tempo in cui
calcolare la velocità media
– si ottiene una descrizione del moto
decisamente migliore
• Riducendo sempre più gli intervalli di
tempo in cui si calcola la velocità media
si otterrà una descrizione sempre
migliore!
• Sarebbe opportuno ridurre a zero
l’ampiezza degli intervalli di tempo in
cui si calcola la velocità media, così la
descrizione del moto sarà perfetta!
• Ridurre a zero l’ampiezza degli intervalli
di tempo equivale a calcolare la velocità
del corpo ad ogni istante: la velocità
istantanea
Grafico Orario
x (m )
25
20
2
x2
x
15
x1
1
t
10
5
t/3
t/3
t1 1
2
t/3
0
0
3 t2
4
t (s) 5
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
La velocità istantanea
• Procediamo nel seguente modo:
x (m)
25
• Consideriamo l’istante t1 in cui
vogliamo calcolare la velocità
• Consideriamo un intervallo di tempo t 20
x(t1+t)
maggiore di zero.
• Calcoliamo la velocità media in t
15
Grafico Orario
2
t
x(t )
1
• La velocità media corrisponderà al
1
coefficiente angolare della retta passante10
per i punti 1 e 2 del grafico
• Riduciamo ora l’intervallo di tempo t
facendolo tendere a zero.
5
• Si definisce velocità istantanea
all’istante t1 il seguente limite:
0
x
v x t 1   v x m
t xxtt11
x xt11  t
t  0
t
t
t
lim
0
t1
1
2
3
t1+t
• Osserviamo che quando t tende a zero, il coefficiente angolare della
retta che rappresenta la velocità media in t, tende a diventare quello
della retta tangente al grafico all’istante t1.
4
t (s ) 5
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
La velocità istantanea 2
• Riassumendo:
• Abbiamo definito la velocità istantanea
come all’istante di tempo t1:
v x t 1  
xt1  t   xt1 
t  0
t
Grafico Orario
x (m)
25
20
lim
15
•x (m/s)
Nel graficoxessa
è rappresentata
dal
in funzione
di t
x(t1)
t
t
1
10 coefficiente angolare della retta tangente
xt  t xt 
v t  lim
10
al grafico
all’istante
t 0
t t1.
8
1
1
x 1
• 6 Il limite di:
lim
4
xt1  t   xt1 
t  0
t
5
2
0
0
-2
rapporto
incrementale
0,5
1
1,5
2
0
2,5
0
3
t (s)
t1
1
2
3
4
t (s ) 5
• corrisponde anche al valore della derivata rispetto al tempo della
-4
xt 1  t   xt 1 
funzione x(t) all’istante t1.
dx
dt

t1
limt  0
t
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Velocità istantanea ad ogni istante di
tempo
Grafico Orario
x (m)
25
• Ripetendo l’operazione di limite per
altri istanti di tempo, per esempio t2 o
t3, possiamo conoscere la velocità
20
x(t2)
istantanea (e quindi la derivata rispetto
al tempo della funzione x(t)) a questi
15
istanti di tempo.
x(t1)
• Se ripetiamo l’operazione per tutti gli
x(t3)
istanti di tempo dell’intervallo di
10
osservazione del moto possiamo
ricavare la velocità istantanea in
5
funzione del tempo
vx(t)
0
0
• Questa funzione altro non è
che la derivata rispetto al
tempo della funzione x(t)
t1
Positiva
-->
x crescenti
Negativa
-->
x decrescenti
1
dx t 
v x t  
dt
t2
2
3
t
43
t (s ) 5
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Velocità scalare istantanea e velocità
vettoriale istantanea
• Anche per la velocità scalare di può
definire la velocità istantanea:
percorso effettuato
t 0
t
v s  lim
xmassimo
xfinale
• Ma quando t tende a zero, avremo
xiniziale
percorso effettuato = x
• Si ottiene quindi la seguente
relazione
vs  v
• La velocità scalare istantanea è uguale al valore assoluto, al modulo,
della velocità vettoriale istantanea
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Grafico della velocità istantanea
• Nel moto che stavamo studiando:
– La pendenza del grafico orario non è
costante
– Questo implica che la velocità non è
costante
– Possiamo costruirci il grafico della
velocità: la velocità decresce linearmente
con il tempo.
– La velocità è maggiore di zero fino a
quando il corpo non raggiunge la sua
posizione massima: si muove nella
direzione positiva dell’asse x
– Poi diventa negativa: si inverte il moto,
il corpo si muove nella direzione
negativa dell’asse x.
– Quando x è massimo la velocità è nulla
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Accelerazione media
e istantanea
• Se la velocità di un corpo varia nel tempo,
ci possiamo chiedere con che rapidità
varia.
• Si definisce l’accelerazione media
nell’intervallo di tempo tra t1 e t2 il
seguente rapporto:
ax m 
vx v x2  v x1

t
t2  t1
vo
a o  tan 

v x (t)  vo  a o t
• Come abbiamo fatto per la velocità anche per l’accelerazione possiamo
passare all’accelerazione istantanea:
– L’accelerazione istantanea all’istante t1 è data da:
v
v (t  t)  vx (t1 )
a x (t1 )  lim t0
 lim t0 x 1
t
t
dv x (t)
a x (t1 ) 
• Tenendo conto della definizione di derivata:
dt tt1
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Grafico dell’accelerazione istantanea
• Ripetendo l’operazione di limite per tutti gli istanti di tempo, possiamo
determinare la funzione accelerazione.
• Questo equivale a determinare la derivata della funzione velocità.
dv (t)
a x (t)  x
dt
Grafico dell'accelerazione istantanea
• Dato che noi conosciamo la velocità in
0
funzione del tempo
t1
0
v x (t)  vo  a o t
1
2
3
t2
Serie3
4
5
-1
-2
• possiamo utilizzare questa relazione per
determinare l’accelerazione in funzione
del tempo.
a x (t) 
dv x (t) d(v o  a ot)

 ao
dt
dt
• L’accelerazione è costante (negativa),
come d’altra parte ci aspettavamo dal
grafico della velocità.
A
c
c
el
r
a
zi
o
n
e
(
m
/s
^
2)
-3
-4
-5
ao
-6
-7
-8
-9
-10
t(s)
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Il segno dell’accelerazione
ax m 
vx v x2  v x1

t
t2  t1
con t > 0
• Riguardando la definizione dell’accelerazione media (ma le stesse
considerazioni valgono per l’accelerazione istantanea), si vede che:
– axm maggiore di zero, diretta nella direzione positiva dell’asse x:
• v finale è maggiore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità)
– Se la velocità è positiva il valore della velocità aumenta
– Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno aumenta, il suo valore
assoluto però diminuisce
– axm minore di zero, diretta nella direzione negativa dell’asse x:
• v finale è minore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità)
– Se la velocità è positiva il valore della velocità diminuisce
– Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno diminuisce, e quindi il suo
valore assoluto aumenta.
• Possiamo concludere:
– Se l’accelerazione ha lo stesso verso (segno) della velocità, il modulo della
velocità aumenta.
– se ha verso opposto il modulo della velocità diminuisce.
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Conclusioni
• Conoscendo la legge oraria:
x(t)
la posizione in funzione del tempo
• Possiamo calcolarci la velocità: vx(t)
la velocità in funzione del tempo
dx(t)
v x (t) 
dt
• E quindi l’accelerazione:
a x (t) 
ax(t)
l’accelerazione in funzione del tempo
dv x (t)
dt
• Combinando le due espressioni:
dv x (t) d dx(t)  d 2x(t)
a x (t) 
 


dt
dt dt
dt 2
L’accelerazione è la derivata
seconda della funzione x(t)
rispetto al tempo
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Le seguenti equazioni danno la posizione x(t) di una particella in quattro
situazioni diverse (in tutte comunque x è in m e t in s e t>0)
(1) x=3t
(2) x=-4t2-2
(3) x=2/t2
(4) x=-2
a) In quale situazione la velocità vettoriale è costante?
b) in quale altra v è diretta nel verso negativo dell’asse x?
Applica
zione
a) la velocità vettoriale è costante nella situazione (1) e (4)
b) la velocità vettoriale è diretta nella direzione negativa dell’asse x nei casi
(2) e (3). Infatti:
dx
vx 
(1)
(2)
(3)
(4)
dt
dx d(3t)
vx 

 3ms
0
dt
dt
dx d(4t 2  2)
vx 

 8t m s
0
dt
dt
2 2)
d(
dx
t  22t   4  0
vx 

dt
dt
t4
t3
dx d(2)
vx 

0
0
dt
dt
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Avete viaggiato sulla Statale 100 da Bari a Taranto per metà tempo a 55 km/h
e per il tempo restante a 90 km/h. Al ritorno percorrete metà della
distanza a 55 km/h ed il resto della distanza a 90 km/h.
Qual è la velocità scalare media all’andata e al ritorno?
Qual è la velocità vettoriale media complessiva?
Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie
Applica
zione
Indichiamo con t il tempo impiegato per andare da Bari a Taranto.
Le distanze percorse nelle due parti sono:
t
d1  v1
2
t
d2  v 2
2
La distanza totale percorsa sarà la somma delle due distanze ed il tempo
impiegato è t.
t
2
t
v

v
2
d 1
v1  v2 55 km h  90 km h
2
v ma 



 72.5 km h
t
t
2
2
d  d1  d 2  v1  v2 
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Al ritorno diciamo d la distanza totale tra Taranto e Bari. I tempi necessari
per percorrere le due metà sono:
d
t1  2
v1
d
Applica
zione
cont.
t 2  2
v2
Il tempo totale impiegato t per tornare da Taranto a Bari sarà la somma dei
due tempi.
d
d
2
t  t1  t 2 
 2
v1 v2
d
d
2v1v 2 2x55 k m h 90 k mh
km
v ma 
 d



68.3
h
d
k m  90 k m
t
v

v
55
1
2
h
h
2 2
v1 v2
La velocità vettoriale media complessiva è nulla.
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie
Applica
zione
cont.
x
t
2t
t
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
La posizione di un oggetto che si muove in linea retta è data
dall’espressione x=3t-4t2+t3, ove x è in metri e t in secondi.
a) qual è la posizione per t=1,2,3 e 4 s?
b) qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo tra t=0 e
t=4s?
c) qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t=2s e t=4s?
d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3s?
e) costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande
c) e d).
Applica
zione
a) per risponere alla domanda a) basta sostiuire alla variabile t
nell’espressione della legge oraria gli istanti di tempo richiesti:
x(t)  3t  4t 2  t 3
x(1s)  3x1  4x12  13  3  4  1  0m
x(2s)  3x2  4x2 2  23  6  16  8  2m
x(3s)  3x3  4x32  33  9  36  27  0m
x(4s)  3x4  4x42  4 3  12  64  64  12m
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
b) qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo tra t=0 e
t=4s?
Applica
zione
cont.
x(t)  3t  4t 2  t 3
x(0)  3x0  4x0 2  0 3  0m
x(4)  3x4  4x42  43  12  64  64  12m
x  x(4)  x(0)  12m  0m 12m
c) qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t=2s e t=4s?
x x(4s)  x(2s) 12m  2m
m
vxm 


7
t
t
2s
s
d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3s?
v x (3s) 

dx

dt t3s
 3  8t  3t
2

t3s

d 3t  4t 2  t 3


dt
t3s
 
d3t  d 4t 2 d t 3 
 



dt
dt
dt



t3s
 3  8x3  3x3  3  24  27  6 m s
2
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
e) costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande
c) e d).
Applica
zione
cont.
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Il campione del kilogrammo ha la forma di un cilindro di altezza pari al
diametro. Si dimostri che a parità di volume e di forma, queste
dimensioni forniscono la minima area; ciò consente di minimizzare gli
effetti della contaminazione superficiale.
Applica
zione
Vcilindro  Abaseh  r2 h
h
r
Scilindro  2Abase  Slaterale  2r  2rh  2r
 2r h
h
r

2
2
2V 2V
1  r
1
1 1 

Scilin dro 

 2V   2V
 1  2V   1



h
r
h r
r h 
r
3
r
r
V
2
2
3
Vcilindro  r h  r    r 





  1


3
3
Scilin dro  2V
  1  2V



1


 V 3 
V
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Abbiamo espresso la superficie del cilindro in funzione del
suo volume e del rapporto  tra il raggio e l’altezza

  1


3
Scilin dro  2V
  1
3

 V  
r

h
Applica
zione
cont.
Poiché il volume del cilindro deve rimanere costante, deve
contenere sempre la stessa massa, possiamo limitarci a
studiare la dipendenza da .
1
1
f()  3   1   3    1

La superficie sarà minima quando f() sarà minima.
Abbiamo visto che nei punti di massimo o di minimo
relativo derivata si annulla.
Cerchiamo  in cui
df()
d
0
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Calcoliamoci la derivata:
Applica
zione
cont.
1

df() d 


3

   1 

d
d 
1
3
 1 d  1
d

  1   3

d
d

4
 13  3
 1
1
 3

1
 13  3

4
1
3

3
1
 3


1
 3 23
 13  1

Imponendo che la derivata sia nulla:
1
df()
0   3
d
Da cui
2
1

0
2
3

 13  1  0
 
1
2

2
3

 13  1  0
r 1
  
h 2
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Applica
zione
cont.
Scilindro  2V3
f   
  1



1



V 3 
 1




1

3 

valore di  al minimo  0.5
r
 0.5  h  2r  d
h
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