Si definisce un sistema lineare l’insieme di due o più equazioni
di primo grado.
Simbolo di sistema
ax  by  c

a1 x  b1 y  c1
RISOLVERE UN SISTEMA LINEARE SIGNIFICA TROVARE NA COPPIA DI
NUMERI (X,Y) CHE SODDISFINO CONTEMPORANEAMENTE LE DUE
EQUAZIONI
IMPOSSIBILE
non ha
soluzioni Ø
DETERMINATO
se ha un numero
finito di soluzioni
a b c
 
a b' c '
a
b

a ' b'
IMPOSSIBILE
se ha un numero
infinito di soluzioni
a b c
 
a ' b' c '
Graficamente un sistema lineare di 2 equazioni in due
incognite si esprime mediante l’intersezione di due rette
SISTEMA DETERMINATO SISTEMA INDETERMINATO SISTEMA IMPOSSIBILE
RETTE INCIDENTI
RETTE COINCIDENTI
RETTE PARALLELE
Per risolvere un sistema per via algebrica dobbiamo studiare alcuni metodi di
Risoluzione in particolare:
1.Si riduce il sistema a forma tipica;
ax  by  c

a1 x  b1 x  c1
2.Si risolve una delle due equazioni rispetto ad una delle incognite, per esempio la
“x” e si scrive:
 ax  by  c
 
a
a
a1 x  b1 y  c1
3. Si sostituisce nell’altra equazione, l’espressione –by+c al posto della “x”;
a
 by  c

x


a

a1(  by  c )  b1 y  c1 Si risolve l’equazione in y; supponiamo y=

a
4. Si sostituisce “y” nella prima equazione;
b
c

x  ( ) 
a
a

 y  

1. Si deve scegliere la stessa incognita sia nella prima che nella
seconda equazione;
 ax  by  c


a
a

 a1 x   b1 y  c1

a1
 a1
2. Uguagliare le due espressioni al secondo membro;
 by  c  b1 y  c1

a
a1
3. Risolvere l’equazione che si presenta con una sola incognita;
Consiste nell’addizionare o sottrarre membro a membro le equazioni del sistema.


Se i coefficienti dell’incognita da eliminare sono uguali si sottraggono
membro a membro le due equazioni;
Se tali coefficienti sono opposti si sommano membro a membro le
due equazioni.
5x  2 y  3

5x  y  8
5 x  2 y  3

 5 x  y  8
5
y
3
5

y



3

5 x  5  8

3
5

 y   3

 x  19

15
Per prima cosa si deve costruire una
matrice: entità matematica costituita da un
insieme di numeri, disposti ordinatamente
secondo righe e colonne.
ax  by  c

a1 x  b1 x  c1
Poi si deve trovare il determinante: si
moltiplicano i termini della diagonale
principale e si sottrae il prodotto dei termini
della diagonale secondaria.
a b
D
 (a  b1)  (b  a1)
a1 b1
c b
Dx 
 (c  b1)  (b  c1)
c1 b1
Successivamente cerchiamo il determinante
a
dell’incognita X e Y
Dy 
a1
Infine il valore di ciascuna incognita è uguale
a una frazione avente al numeratore il
determinante di quell’incognita e al
denominatore il determinante del sistema.
a b
a1 b1
c
 (a  c1)  (c  a1)
c1
Dx
x
D
y
Dy
D