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Sommario
I concetti di base
sulle equazioni
frazionarie
© 2013 Gustavo Mezzetti
Ist. mag. st. «A. di Savoia Duca d’Aosta» di Padova
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Parte di questa presentazione
è stata realizzata durante la giornata di protesta
dei docenti delle scuole padovane
del 18 dicembre 2012.
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Questa giornata
è una delle numerose iniziative
volte a far conoscere il prezioso lavoro
svolto dai docenti,
il quale va molto oltre le 18 ore settimanali
di lezione frontale in classe.
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Sommario
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Sommario
Lo scopo di questa presentazione è di chiarire gli aspetti
concettuali che riguardano le equazioni algebriche
frazionarie (o fratte) e la loro risoluzione.
Come sempre, infatti, imparare solo a risolvere meccanicamente gli esercizi, senza aver chiari i concetti, serve a poco.
Prima di trattare le equazioni frazionarie, vogliamo anche
riprendere i concetti riguardanti le equazioni in generale:
che cos’è una soluzione di un’equazione;
cosa vuol dire risolvere un’equazione;
ecc. ecc.
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Sommario
Sommario
Sulle equazioni
in generale
Intervallo
Sulle equazioni
frazionarie
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Sulle equazioni
in generale
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Sulle equazioni in generale
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È importante rivedere i concetti di base sulle equazioni
perché alla scuola media inferiore si impara a risolvere un
solo tipo di esercizio, che non fa capire bene la questione.
Se si chiede a un alunno fresco di media inferiore che cosa
voglia dire risolvere un’equazione, praticamente sempre
risponderà che significa «trovare il valore della x».
Vediamo perché quest’idea è troppo semplicistica.
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Ricordiamo che una equazione (in una sola incognita) è
un’uguaglianza fra due espressioni contenenti un’incognita:
F(x) = G(x)
Prima espressione
Incognita
Seconda espressione
L’incognita x rappresenta un “valore numerico sconosciuto”.
Intuitivamente, il problema che ci si pone è quello di trovare
“i valori” (non è detto che ce ne sia uno solo!) tali che…
… se li si sostituisce al posto dell’incognita e si eseguono le
operazioni indicate dalle due espressioni, si ottiene una
uguaglianza vera.
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F(x) = G(x)
Ci si pone il problema di trovare “i valori” tali che…
… se li si sostituisce al posto dell’incognita e si eseguono le
operazioni indicate dalle due espressioni, si ottiene una
uguaglianza vera.
Ciò sottointende che l’incognita x indichi qualcosa per cui ha
senso eseguire tutte le operazioni indicate da F(x) e G(x).
I valori da sostituire a x dovranno quindi essere “pescati”
da un opportuno insieme numerico.
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Vediamo un altro aspetto collegato a questo problema
dell’insieme dal quale “pescare” i valori dell’incognita.
Problema: il papà di Anna e di Bruno ha 20 caramelle
e le vuole distribuire fra loro due in modo che Anna abbia
il doppio delle caramelle di Bruno.
Quante caramelle dà a ciascuno?
2x = numero di caramelle date a Bruno,
2x = numero di caramelle date ad Anna; allora
2x + x = 20
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Ma x dev’essere un numero
naturale (sono caramelle)!
2x + x = 20
L’equazione 2x + x = 20, cioè 3x = 20, non ha soluzioni
nell’insieme dei numeri naturali! 20 non è multiplo di 3.
Quindi, il problema posto non ha alcuna soluzione.
Si noti che la condizione che l’incognita x debba indicare un
numero naturale è posta dalla natura stessa del problema.
In altre parole, anche l’insieme dal quale “pescare” i valori
da attribuire all’incognita, fra i quali si trovano le eventuali
soluzioni dell’equazione, fa parte dei dati del problema.
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Siamo ora pronti a definire con precisione il concetto di
soluzione di un’equazione.
Dati:
un’uguaglianza contenente una incognita F(x) = G(x);
un insieme A (“ambiente” in cui cercare le soluzioni);
chiameremo soluzione dell’equazione data qualsiasi
numero, preso dall’insieme A, che, sostituito al posto della
incognita nell’equazione, la rende un’uguaglianza vera.
In generale, un’equazione può avere diverse soluzioni!
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Riconoscere se un numero dato è o non è soluzione di
un’equazione data è banale:
basta sostituire quel numero all’incognita e controllare se
l’uguaglianza risulta soddisfatta.
Risolvere un’equazione vuol dire una cosa ben più difficile:
dati un’equazione e un insieme “ambiente” A…
… si vogliono trovare tutti gli elementi di A che sono
soluzioni dell’equazione data. … i quali ora non sono dati!
In altre parole, si vuole ritagliare dentro l’insieme A il
suo sottoinsieme S formato da tutte e sole le soluzioni.
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Per comprendere al meglio il primo problema, quello
banale, immaginate una macchina dotata di due lampadine,
una rossa e una verde, e di due ingressi.
Negli ingressi si inseriscono una
equazione e un numero:
se il numero è soluzione della
equazione, la macchina
accende la lampadina verde;
se il numero non è soluzione,
accende la lampadina rossa.
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3
3-2
= 3?
Sì!
3
3
x-2
1
3 =x
1-2
= 1?
No!
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Il secondo problema (risolvere un’equazione) è invece ben
rappresentato da una macchina con due ingressi e un’uscita.
Nei due ingressi si inseriscono un’equazione e un insieme A.
La macchina fa dei conti “misteriosi” e manda all’uscita il
sottoinsieme S di A costituito dalle soluzioni dell’equazione.
In questo caso spetta alla macchina fabbricare le soluzioni.
A
x3
ℤ
= 4x
S
{ -2; 0; 2 }
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Esci
{ -2; 0; 2 }
Tutte e sole
le soluzioni.
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Dati ⬊
ℚ
⬋ Risposta
{-2/3}
3x + 2 = 0
{-2/3}
Negli esercizi di risoluzione delle equazioni, voi siete al posto
di questa «macchina con due ingressi e un’uscita».
Vi si chiede come risposta l’insieme delle soluzioni S.
Sappiate che, se scrivete “a caso” un’equazione, il compito di
individuarne esattamente le soluzioni è di solito impossibile.
Imparerete a risolvere solo certi tipi particolari di equazioni.
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Sommario
Ripetiamo ancora una volta che
l’insieme S delle soluzioni deve
essere un sottoinsieme dello
insieme “ambiente” A (dato).
Concettualmente, dunque, la
risoluzione di un’equazione
procede così:
dato l’insieme A…
… si ritaglia dentro di esso
l’insieme S delle soluzioni.
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Esci
A
S
e
t
a
d
r
o
Ric
!
a
r
u
g
fi
a
t
s
e
qu
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Sommario
Dato un insieme A (“ambiente” in cui cercare le soluzioni),
due equazioni si dicono equivalenti in A se i sottoinsiemi di A formati dalle rispettive soluzioni sono uguali…
… (cioè, le due equazioni hanno le stesse soluzioni in A).
Ricordiamo che il procedimento che avete imparato per
risolvere un’equazione prevede che essa venga trasformata
in equazioni equivalenti via via più semplici…
… finché si ottiene un’equazione talmente semplice che si sa
dire “a vista” qual è il suo insieme delle soluzioni.
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Intervallo
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Sulle equazioni
frazionarie
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Sommario
Sulle equazioni frazionarie
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Le equazioni frazionarie rientrano nella famiglia delle
equazioni algebriche razionali.
Ricordiamo che un’equazione si dice algebrica
razionale se è (equivalente a) un’equazione della forma
R(x) = 0
con R(x) funzione razionale, cioè una frazione algebrica.
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Informalmente, un’equazione si dice frazionaria
(o fratta) quando l’incognita “appare a denominatore”.
Per esempio, la seguente equazione è frazionaria:
Naturalmente, la presenza di denominatori puramente
numerici non rende frazionaria un’equazione:
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Le equazioni frazionarie presentano un problema che non si
presentava nelle equazioni intere.
Abbiamo detto che ciò che va sostituito all’incognita deve
essere qualcosa per cui abbia senso eseguire tutte le
operazioni che l’equazione prescrive per l’incognita stessa.
Nelle equazioni intere, qualsiasi numero può essere sostituito all’incognita, e le operazioni si eseguono senz’altro.
Ma se l’incognita compare a denominatore, non è più detto
che tutte le operazioni (incluse le divisioni) siano possibili.
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A seconda del numero che si
sostituisce al posto dell’incognita,
possono infatti succedere tre cose:
1) il numero sostituito (p.e., 3)
rende vera l’uguaglianza;
2) il numero sostituito (p.e., 2)
rende falsa l’uguaglianza;
3) il numero sostituito (p.e., 1)
rende l’uguaglianza priva di
significato.
e
n
o
i
s
i
Div
!
o
r
e
per z
Inizio
Fine
Esci
Sì!
No!
?!?
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Sommario
È evidente che solo nel caso 1 (l’equazione si tramuta in una
uguaglianza vera) il numero sostituito si può considerare
una soluzione.
Qualcuno vuole sostenere il contrario?
Nei casi 2 (uguaglianza falsa) e 3 (uguaglianza priva di
significato), il numero sostituito non è una soluzione, ma ciò
accade per ragioni diverse nei due casi.
Questo ha delle conseguenze nel procedimento risolutivo:
quando si “ritaglia” l’insieme delle soluzioni, i numeri che
ricadono, rispettivamente, nei casi 3 e 2 vengono “tagliati
fuori” in due fasi diverse.
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Si dice dominio dell’equazione
(qui indicato con D) il sottoinsieme dell’insieme “ambiente” A
formato da quei numeri che,
sostituiti al posto dell’incognita,
danno luogo a un’uguaglianza che
Non importa
ha significato.
se vera o falsa.
L’insieme S delle soluzioni deve
essere un sottoinsieme del
dominio D.
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A
D
S
a
d
r
o
c
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a
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l
qua
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Sommario
Dato l’insieme “ambiente” A…
A
D
… nelle equazioni fratte la ricerca
dell’insieme S delle soluzioni
procede in due stadi successivi:
1) si determina il dominio D;
2) dentro D si ritaglia l’insieme
delle soluzioni S.
S
Il motivo per cui bisogna procedere così è legato all’utilizzo
appropriato dei principi di equivalenza: vediamo perché.
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Esci
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Sommario
Nella risoluzione di equazioni
con denominatori numerici
si applicava il secondo
principio di equivalenza…
… il quale consente di moltiplicare ambo i membri per
uno stesso numero ≠ 0.
e
n
o
i
z
i
Cond
!
e
l
a
i
cr uc
Ora che i denominatori possono contenenere l’incognita,
servirebbe un principio di equivalenza analogo che consenta
di moltiplicare per espressioni dipendenti dall’incognita.
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Esci
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Purtroppo, non si può garantire che, moltiplicando per una
tale espressione, si ottenga un’equazione equivalente in A
A proposito, che fine fa la condizione «≠ 0»?
a quella data.
Vediamo un esempio:
un’equazione fratta
che, moltiplicata per
una quantità dipendente dall’incognita,
si trasforma in una
non equivalente.
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Se fossero equivalenti,
avrebbero le stesse soluz.
Però, sostituendo 1:
l’equazione intera è
verificata (1 è soluz.);
l’equazione fratta è
priva di significato
(1 non è soluzione).
Fratta:
Intera:
Intera:
Sì!
Fratta:
Dunque, le due equazioni
non sono equivalenti!
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?!?
Esci
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Sommario
Ma anche se possono non
essere equivalenti in A,
le due equazioni lo sono
senz’altro nel dominio D.
Fratta:
Intera:
(Ciò non è difficile da verificare, ma non approfondiamo.)
Quindi, le soluzioni che si trovano risolvendo l’equazione
intera ottenuta sono anche soluzioni di quella fratta data…
… a patto di controllare, per ciascuna di esse, che appartengano al dominio D (precedentemente determinato).
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Dei dettagli del procedimento risolutivo, però, parleremo con
calma nella prossima lezione.
Qui volevamo solo porre le basi concettuali che ci permettano
di capire perché il procedimento è formulato in quel modo.
Il punto essenziale è quello di ricordarsi di controllare che le
soluzioni trovate appartengano al dominio dell’equazione.
Vedrete che, anche se la teoria può forse un po’ disorientare
all’inizio, in pratica il procedimento per risolvere gli esercizi
si riduce a poche regolette molto semplici.
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