Le equazioni di primo grado
Problema
Cerchiamo di determinare un numero
che aggiunto al suo triplo dia 20.
Dal linguaggio naturale a quello matematico
Come tradurre il nostro problema in termini matematici?
Decidiamo di indicare con x il numero da determinare,
ecco che il testo del problema può essere scritto così:
x+3x=20
Sommiamo i termini simili
4x=20
A questo punto è facile rispondere che il numero cercato
è 5.
verifichiamo
Tanto è vero che se calcoliamo
5+3*5
il risultato è proprio 20!
Le equazioni
Le equazioni non sono altro che
frasi in linguaggio matematico che possono essere
vere per determinati valori e false per altri.
Riferendoci al problema appena visto diremo che
l’equazione
x+3x=20
risulta VERA se al posto di x sostituiamo 5,
mentre diventa FALSA se al posto di x sostituiamo un
altro numero.
Problema
Cerchiamo ora un numero che
addizionato al suo triplo dia
esattamente il suo quadruplo.
Soluzione problema 2
Traducendo il testo in linguaggio matematico:
x+3x=4x
e perciò:
4x=4x.
Ma ciò significa che la soluzione di questo
problema potrebbe essere qualsiasi numero!
Terminologia
x+3x
20
INCOGNITA
primo
membro
secondo
membro
Il numero 5, che era il risultato del nostro problema, è detto
soluzione.
Grado di un’equazione
Si chiama
grado di un’equazione
il massimo esponente con cui compare l’incognita.
3x+24=12
3x2+24=12
3x5+24=12
3x7+24=12
è di primo grado
è di secondo grado
è di quinto grado
è di settimo grado
Equazioni equivalenti
Due equazioni che hanno le stesse soluzioni si dicono
equivalenti.
Ad esempio
2x=10
che ha per soluzione 5
è equivalente a
3x=15
che pure ha per soluzione 5.
Risoluzione di un’equazione di primo grado
Dobbiamo risolvere
x+12=30
Proviamo a pensare all’equazione come ad una bilancia
in perfetto equilibrio: se vogliamo mantenere l’equilibrio
tutto ciò che viene fatto sul primo piatto deve farsi tale e
quale nel secondo.
x+12 -12 =30 -12
x=18
Abbiamo applicato quello che viene
chiamato primo principio delle equazioni.
3x = 30
3
3
x=10
Abbiamo applicato quello che viene chiamato
secondo principio delle equazioni.
Equazioni impossibili
Se un’equazione non ammette soluzione si chiama
impossibile.
4x=4x+1
x2=-2
non ha soluzione: è impossibile
non ha soluzione: è impossibile
Equazioni indeterminate
Un’equazione che ha infinite soluzioni si dice
indeterminata.
4x=4x
2x=x+x
ha infinite soluzioni: è indeterminata
ha infinite soluzioni: è indeterminata
FINE
Primo principio di equivalenza
Se si somma o si sottrae lo stesso
valore da ambo i membri di
un’equazione si ottiene
un’equazione equivalente.
Secondo principio di equivalenza
Se si moltiplicano o si dividono per
lo stesso valore ambo i membri
di un’equazione si ottiene
un’equazione equivalente.
Incognita
Incognita
viene chiamata la lettera che rappresenta il numero da
determinare.
In genere viene indicata con le ultime lettere dell’alfabeto
Soluzione
Soluzione
di un’equazione è quel numero che sostituito
all’incognita rende vera l’equazione.