EQUAZIONI
• Prendiamo in considerazione delle funzioni reali in una
variabile reale
• Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni
eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla
variabile
f(x) = g(x)
• La variabile è detta incognita dell’equazione
SOLUZIONI
• I particolari valori per cui questa è verificata sono detti
soluzioni o radici dell’equazione
• Le soluzioni vanno cercate nell’intersezione dei domini
delle due funzioni.
• Una equazione che ammette come soluzione ogni valore di
x per il quale le due espressioni non perdono di significato
si dice equazione indeterminata o identità in x.
• Una equazione per la quale non esistono soluzioni si dice
equazione impossibile
• Equazione possibile
PRINCIPI DI EQUIVALENZA
Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse
soluzioni oppure se sono entrambe impossibili
1)
f(x) = g(x)
mf(x) = mg(x)
con m numero qualsiasi diverso da zero.
1)
f(x) = g(x)
f(x) +h(x) = g(x) +h(x)
con h(x) espressione qualsiasi nella variabile x.
EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
• Si dice equazione di primo grado nell'incognita x
ogni equazione del tipo:
ax + b = 0
con a, b coefficienti numerici , a 0.
• Soluzione:
x=-b/a
Esempio:
2x - 3 = 0
x=3/2
EQUAZIONI DI 2o GRADO
• Si dice equazione di secondo grado nell'incognita x
ogni equazione del tipo:
a x2 + b x + c = 0
con a, b, c coefficienti numerici e a 0.
SPURIA:
a x2 + b x = 0
x(a x + b) = 0
x=0 x=-b/a
PURA:
a x2 +
c=0
c
x 
a
COMPLETA
a x2 + b x + c = 0
D>0
2 soluzioni reali e distinte
x1,2
b  b 2  4ac

2a
2
x1, 2
D=0
D<0
b
b
     ac
2
2
a
2 soluzioni coincidenti
nessuna soluzione in R
ESEMPI
2 x2 - 7 x + 3 = 0
D = 49 – 24 > 0
x1, 2
x1=3
75

4
x2=1/2
ESEMPI
25x2 + 10x +1 = 0
D = 25 – 25 = 0
x1,2
5
1


25
5
x2 - 3 x + 8 = 0
D = 9 – 32 < 0
non ha soluzioni in R.
RELAZIONE TRA I
COEFFICIENTI E LE SOLUZIONI
a x2 + b x + c = 0
b
c
x  x   0 x 2  sx  p
a
a
2
b  b 2  4ac b  b 2  4ac
2b
b
s  x1  x2 



2a
2a
2a
a
b  b 2  4ac b  b 2  4ac b 2  b 2  4ac c
p  x1  x2 



2
2a
2a
a
4a
ESERCIZI
• Determinare i due numeri la cui somma sia s = - 4
ed il cui prodotto sia p = - 5:
ex: a = 1
x2 + 4 x - 5 = 0
x1 = 1 x2 = -5
• Determinare a meno di un coefficiente di
proporzionalità l’equazione di 2o grado le cui
soluzioni hanno per somma s= -3/10 p = -1/10
x2 + (3/10) x - 1/10 = 0
FATTORIZZAZIONE
a x2 + b x + c = 0
1) D > 0 a · (x - x1) · (x - x2)
2) D = 0 a · (x - x1)2
3) D<0 -------------
EQUAZIONI DI GRADO
SUPERIORE AL SECONDO
• Fattorizzare il polinomio mediante raccoglimenti:
ES: x3 + x2 + x + 1 = 0
x2 (x + 1) + x + 1 = 0
(x2 + 1) (x + 1) = 0
x=-1
• RUFFINI
BIQUADRATICHE
ax4 + bx2 + c = 0
(1)
Pongo x2 = t
at2 + bt+ c = 0
(2)
Se la (2) ha soluzioni reali t1 e t2 ponendo:
x2 = t1 e x2 = t2
si ottengono le soluzioni dell’equazione (1).
Se la (2) non ha soluzioni reali, anche la (1) non
ha soluzioni reali
ESEMPIO
• x4 - 3x2 - 4 = 0
x2 = t
t2 - 3t - 4 = 0
t1= -1
x2 = -1
x2 = 4
x1 = 2
t2 = 4
non ammette soluzioni reali
x2 = -2
EQUAZIONI FRATTE
• Una equazione in cui l’incognita compare
almeno una volta al denominatore
f ( x)
0
g ( x)
• I = D(f) D(g)  {xR: g(x)  0}
ESEMPIO
5
10

x2 x
I = {xR: x  0}  {xR: x 2}
5 x  10( x  2)
0
x( x  2)
5x – 10x + 20 = 0
x=4