Forma normale delle equazioni di 2°
grado
Definizione. Un'equazione di secondo grado è in
forma normale se si presenta nella forma
ax 2  bx  c  0
Dove a, b e c
sono numeri
Esempi
2x  7x  5  0
2
È in forma normale con
a  2, b  7, c  5
Esempio
3x
2
 x  4  3x  5
Non è in forma normale perché al secondo
termine non c’è zero.
Portiamola in forma normale
Esempio
3x
x
x
4
2x

3
9
5
0
3 x3
x
4
x
3
x

50
2
2
2
Portiamo i monomi 3x e 5 a sinistra dell’uguale
cambiando il segno
Sommiamo fra loro i monomi simili
Adesso l’equazione è in forma normale e risulta:
a  3, b  2, c  9
Casi particolari
b 0
L’equazione si dice pura e diventa
ax
ax bx cc0 0
2
2
Esempio
2 x  18  0
2
Come si risolve?
a2
b0
c  18
9
2x
189 0
18
x 
2
21
2
2
A questo punto conosciamo x 2ma noi vogliamo sapere
x cioè quel numero (o quei numeri) che elevati alla
seconda danno 9. Questi numeri si determinano
estraendo la radice quadrata.
Esempio
x   9  3
Quindi la soluzione è
S  x  R | x  3  x  3
Osservazione: si prende la radice quadrata
anche con segno negativo perché anche  3
elevato alla seconda fa 9
ERRORI RICORRENTI
Estrarre la radice quadrata ma continuare a
2
x
scrivere
.
Rifacendosi all’esercizio di prima:
x 9
2
Scrivere
x   9  3
2
NO!
ERRORI RICORRENTI
Scrivere  dentro la radice quadrata
Rifacendosi all’esercizio di prima:
x 9
2
Scrivere
x  9
NO!
È un errore molto grave perché la radice
Quadrata di un numero negativo non esiste!!
Esempio
5 x  35  0
2
Come si risolve?
a 5
b0
c  35
x 
5x
357 0
35
5
51
2
2
7
A questo punto conosciamo x 2ma noi vogliamo sapere
x cioè quel numero (o quei numeri) che elevati alla
seconda danno 7. Questi numeri si determinano
estraendo la radice quadrata.
Esempio
x 7
Quindi la soluzione è

S  xR | x 
7x 7
Osservazione: quando abbiamo la radice
quadrata di un numero che non è un quadrato
perfetto (com’era 9 prima) non va calcolata!

Esempio
3x  48  0
2
Come si risolve?
a 3
b0
c  48
16
48
48
0
x 
16
2
2
3x
3
31
Come sempre conosciamo x 2 ma noi vogliamo sapere
x cioè quel numero (o quei numeri) che elevati alla
seconda danno  16
. Ma non esiste un numero che
elevato alla seconda dia un numero negativo. Quindi:
Esempio
S 0
Osservazione: notiamo che una equazione pura
o ha 2 soluzioni (primi 2 esempi) oppure non ne
ha nessuna. L’allievo (allieva) attento (attenta)
avrà notato che …
se c e a hanno segno diverso ci sono 2 soluzioni
mentre se c e a hanno lo stesso segno non esistono
soluzioni
Esercizi.
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado
pure:
1. 4. x 2  25  0
2
2. 10
. x  1000  0
3. .x( x  3)  3x 2  7  3(1  x)
4. 2
. x 2  5  29
Casi particolari
c 0
L’equazione si dice spuria e diventa
c 0 0
ax
bxbx 
ax  
2
2
Esempio
2x  9x  0
2
Come si risolve?
a2
b9
c0
x(22xx 99)x  0
2
Ci accorgiamo che i due monomi a sinistra
hanno in comune la xche può quindi essere
messa in evidenza ottenendo
Esempio
x ( 2 x  9)  0
Sappiamo che un prodotto fra due fattori (in
questo caso x e 2 x  9) può essere zero se
e soltanto se uno dei due fattori è zero. Quindi
l’equazione di secondo grado si tramuta in due
equazioni di primo grado che sappiamo
risolvere:
x0
2x  9  0
Esempio
Una delle due equazioni è già risolta:
x0
Risolviamo l’altra:
2 x   99
22xx 
 99 0
22
2
Pertanto la soluzione è:
9

S  x  R | x  0  x   
2

Esempio
3x  x  0
2
Come si risolve?
a 3
b  1
c0
x(3 x 1x)  00
2
Ci accorgiamo che i due monomi a sinistra
hanno in comune la xche può quindi essere
messa in evidenza ottenendo
Esempio
x (3 x  1)  0
Sappiamo che un prodotto fra due fattori (in
questo caso x e 3x  1) può essere zero se
e soltanto se uno dei due fattori è zero. Quindi
l’equazione di secondo grado si tramuta in due
equazioni di primo grado che sappiamo
risolvere:
x0
3x  1  0
Esempio
Una delle due equazioni è già risolta:
x0
Risolviamo l’altra:
3
11
3x3xxx
11
0
3
33
Pertanto la soluzione è:
1

S  x  R | x  0  x  
3

Osservazione
Dagli esempi possiamo dedurre che:
1. Le equazioni spurie hanno sempre due
soluzioni
2. Una delle due soluzioni è sempre zero.
Esercizi.
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado
spurie:
1. 4. x 2  25 x  0
2
2. 10
. x  1000 x  0
3. .x( x  2)  3x 2  6  3(2  x)
4. 2
. x 2  5  5(2 x  1)
Casi particolari
b  0, c  0
L’equazione si dice monomia e diventa
2
2
axax
 bx0c 0
È il caso più semplice di tutti: infatti ha sempre
un’unica soluzione che è zero.
S  x  R | x  0
Esempio
8x  0
2
Come si risolve?
a 8
b0
c0
 00
x8x 
22
8
Ma se abbiamo che
Risulta che
x
Pertanto la soluzione è
x
8
2
0
0 0
S  x  R | x  0
Domanda
Perché non studiamo il caso particolare
a0
Risposta
Perché se a fosse zero l’equazione sarebbe di
primo grado e quelle le sappiamo già fare …
SPERIAMO!
Il caso generale
Studiamo adesso il caso generale in cui i tre
coefficienti a, b e c possono essere qualsiasi
numero.
Partiremo dalla forma normale, per arrivare,
tramite una serie di passaggi, alla formula
risolutiva delle equazioni di secondo grado.
Per compiere tali passaggi useremo i ben noti
principi di equivalenza delle equazioni.
Caso generale
ax  bx  c  0
2
Moltiplichiamo primo e secondo termine per
(2° principio di equivalenza) ottenendo:
4a4ax(ax
 24abx
bx4cac
) 4a0  0
2 2
Cioè:
4a
Caso generale
4a x  4abx  4ac  0
2 2
Aggiungiamo al primo e al secondo termine
(1° principio di equivalenza) ottenendo:
4a x  4abx  4ac  b  b
2 2
2
b
2
Adesso portiamo il monomio  4ac da sinistra a
destra dell’uguale cambiando il segno
4a x  4abx  b  b  4ac
2 2
2
2
2
Caso generale
Ma osserviamo il primo termine
dell’equazione :
4a x  4abx  b  b  4ac
2 2
2
2
Quadrato di 2ax
doppio prodotto di 2ax e b
quadrato di
Quindi siamo di fronte al quadrato di un binomio
b
Caso generale
Possiamo allora scrivere la precedente
equazione:
(2ax  b)  b  4ac
2
2
Il primo termine essendo un quadrato
non è mai negativo. Quindi . . .
Se il secondo termine è negativo non ci sono soluzioni
Se il secondo termine è zero c’è un’unica soluzione e va trovata
Se il secondo termine è maggiore di zero ci sono due soluzioni e vanno
trovate
Caso generale
Poniamo allora:
  b  4ac
Dove
2
è una lettera greca che si legge delta.
Per quanto appena detto:
se   0 l' equazione non ha soluzion
se   0 l' equazione ha 1 soluzione
se   0 l' equazione ha 2 soluzioni
Per questo  è detto discriminante. Perché
discrimina il numero di soluzioni dell’equazione
Caso generale
Abbiamo detto che se   0 le soluzioni ci sono
e vanno trovate. Torniamo all’equazione:
ax
b


(222ax
axb
b
)  
2
Da cui estraendo la radice:
Portiamo b a destra dell’uguale
E dividiamo per 2a ottenendo:
Caso generale
b 
x
2a
Questa è la famosissima e importantissima (da
imparare a memoria!!!) formula risolutiva delle
equazioni di secondo grado
Esempi
Risolvere:
2 x  3x  5  0
2
È in forma normale quindi possiamo determinare i coefficienti
a  2 b  3
c5
Dai coefficienti possiamo ricavare il discriminante (delta)
  b 2  4ac  (3) 2  4  2  5  9  40  31
Risulta che   0 quindi l’equazione non ha soluzioni e
scriviamo
S 0
Esempi
Risolvere:
3x  3x  5  x(2 x  6)  15
2
Non è in forma normale. Portatela in forma normale per esercizio e
otterrete
2
x  3x  10  0
adesso possiamo determinare i coefficienti
a 1
b3
c  10
Dai coefficienti possiamo ricavare il discriminante (delta)
  b  4ac  3  4 1 (10)  9  40  49
2
2
0
Risulta che
quindi l’equazione ha 2 soluzioni e vanno trovate
Tramite la formula risolutiva
Esempi
 b    3  49  3  7
x


2a
2 1
2
Prendiamo la soluzione col più e la soluzione col meno:
3 7
42
 1 2
2
2
x
5
37
10
 5
 
1
2
2
Pertanto la soluzione è:
S  x  R | x  5  x  2
Esempi
Risolvere:
4x  4x 1  0
2
è in forma normale quindi possiamo determinare i coefficienti
a  4 b  4 c  1
Dai coefficienti possiamo ricavare il discriminante (delta)
  b 2  4ac  (4) 2  4  4 1  16  16  0
Risulta che   0 quindi l’equazione ha unica soluzione che
va trovata tramite la formula risolutiva
Esempi
b  4 0 40
x


2a
24
8
Ovviamente in questo caso la soluzione col più e la soluzione col
meno coincidono fra di loro (più zero o meno zero è uguale)
1
1
4

x
2
82
Pertanto la soluzione è:
1

S  x  R | x 

2

Osservazione
Con la formula risolutiva delle equazioni si
risolvono tutte le equazioni di secondo grado.
In altre parole, se siamo di fronte ad un’equazione spuria (o
pura) è bene risolverla con le tecniche affrontate nei casi
particolari.
Ma con la formula risolutiva arriverei lo stesso alla
soluzione.
Verifichiamolo tramite gli esempi visti in precedenza
Esempi
Risolvere:
2 x  18  0
2
è un’equazione pura in forma normale. Determiniamo i
coefficienti
a2
b  0 c  18
Dai coefficienti possiamo ricavare il discriminante (delta)
  b 2  4ac  02  4  2  (18)  0  144  144
Risulta che
0
quindi l’equazione ha due soluzioni
Esempi
 b   0  144 0  12
x


2a
22
4
Prendiamo la soluzione col più e la soluzione col meno:
3
0  12
12

3
1
4
4
x
3
0  12
12
  1  3
4
4
Pertanto la soluzione è:
S  x  R | x  3  x  3
Esercizi.
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado:
1. 4. x  25  5 x( x  1)  19
2
2. 10
. x  70 x  120  0
3. .x 2  x  20  0
4. 2
. x 2  5x  9 x
2
Relazione fra coefficienti e soluzioni di
un’equazione di 2° grado
Ci proponiamo adesso di stabilire una relazione
fra coefficienti (a, b e c) di un’equazione di
secondo grado e le sue soluzioni.
Dividiamo tre casi.
1)   0
In questo caso abbiamo 2 soluzioni che
chiamiamo x1 e x2 . Risulta
b 
b 
x1 
; x2 
2a
2a
Relazione fra coefficienti e soluzioni di
un’equazione di 2° grado
Risulta:
b  b 
b  b 
x1  x2 


2a
2a
2a
Quindi:
b
x1  x2  
a
 2b

2a
Relazione fra coefficienti e soluzioni di
un’equazione di 2° grado
Inoltre:
b  b 
b2  (  )2
x1  x2 


2a
2a
4a 2
b2  

4a 2
Ma, sapendo che   b 2  4ac
Risulta che
Quindi:
4ac
b 2   b 2  b 2  4ac


4a 2
4a 2
4a 2
c
x1  x2 
a
Esempio
Sappiamo dall’esempio precedente che le
2
soluzioni dell’equazione x  3 x  10  0
(quindi a  1, b  3, c  10) sono x1  5  x2  2
Verifichiamo che
b
c
x1  x2   e x1  x2 
a
a
Infatti
x1  x2  5  2  3 e x1  x2  5  2  10
b
3
c  10
    3 e

 10
a
1
a
1
E le relazioni sono verificate!
Relazione fra coefficienti e soluzioni di
un’equazione di 2° grado
Se   0 abbiamo un’unica soluzione o, come
già detto, due soluzioni uguali. Le relazioni sono
le stesse del caso precedente tenendo conto che
x1  x2
Come risulta dal seguente esempio
Esempio
Le soluzioni dell’equazione
x  10 x  25  0
2
(quindi a  1, b  10, c  25) sono
Verifichiamo che
x1  x2  5
b
c
x1  x2   e x1  x2 
a
a
Infatti
x1  x2  5  5  10 e x1  x2  5  (5)  25
b
10
c 25
 
 10 e

 25
a
1
a
1
E le relazioni sono verificate!
Relazione fra coefficienti e soluzioni di
un’equazione di 2° grado
Se invece   0 non esistono soluzioni e
quindi non c’è alcuna relazione con i coefficienti!
Relazione fra coefficienti e soluzioni di
un’equazione di 2° grado
Quanto visto è utile per risolvere il seguente
Problema inverso: dati 2 numeri, determinare
un’equazione di 2° grado che abbia quei due
numeri come soluzione.
Affrontiamole coi seguenti esempi
Esempio
Determina un’equazione di 2° grado che abbia -4 e 7 come
soluzioni.
b
c
Sappiamo che:
x1  x2   e x1  x2 
a
a
Poniamo a  1 . Le equazioni precedenti diventano
x1  x2  b e x1  x2  c
In questo caso
x1  x2  4  7  3 e x1  x2  4  7  28
Esempio
Da cui
 b  3  b  3 e c  28
Per cui l’equazione cercata è (avendo posto a  1 ):
x  3 x  28  0
2
PROVARE PER CREDERE!
Esempio
Determina un’equazione di 2° grado che abbia 3 come
soluzione.
b
c
Sappiamo che:
x1  x2   e x1  x2 
a
a
Poniamo a  1 . Le equazioni precedenti diventano
x1  x2  b e x1  x2  c
In questo caso
x1  x2  3  3  6 e x1  x2  3  3  9
Esempio
Da cui
 b  6  b  6 e c  9
Per cui l’equazione cercata è (avendo posto a  1 ):
x  6x  9  0
2
Le equazioni di secondo grado per
scomporre i polinomi
Supponiamo di dover scomporre il seguente polinomio:
x  2 x  15  ( x  5)( x  3)
2
La tecnica più appropriata è la quarta. Cioè trovare due
numeri p e q tali che:
p  q  2
p  q  15
Dopo un po’ di fatica troviamo
p  5, q  3
E quindi la scomposizione risulta
Le equazioni di secondo grado per
scomporre i polinomi
Poniamo adesso il trinomio uguale a zero e risolviamo
l’equazione di secondo grado:
x  2 x  15  0
2
Determiniamo i coefficienti
a  1 b  2
c  15
Dai coefficienti possiamo ricavare il discriminante (delta)
  b  4ac  (2)  4 1 (15)  4  60  64
2
2
Risulta che   0 quindi l’equazione ha 2 soluzioni e vanno
trovate tramite la formula risolutiva
Le equazioni di secondo grado per
scomporre i polinomi
 b   2  64 2  8
x


2a
2 1
2
Prendiamo la soluzione col più e la soluzione col meno:
5
28
10

5
1
2
2
x
28
63
  1  3
2
2
Pertanto la soluzione è:
S  x  R | x  3  x  5
Le equazioni di secondo grado per
scomporre i polinomi
Risulta evidente la relazione fra la scomposizione e le
soluzioni dell’equazione:
x 2  2 x  15  ( x  3)( x  5)
S  x  R | x  3  x  5
Quindi per scomporre un particolare trinomio di 2°
grado possiamo risolvere l’equazione e, se ha due
soluzioni che chiamiamo x1 e x2 la scomposizione è:
( x  x1 )( x  x2 )
Come garantito dal seguente…
Le equazioni di secondo grado per
scomporre i polinomi
Teorema. Siano x1 e x2 le due soluzioni di
un’equazione di secondo grado. Vale la seguente
scomposizione :
x  bx  c  ( x  x1 )( x  x2 )
2
Dimostrazione. Basta effettuare il prodotto al secondo
termine e vedere che torna uguale al primo termine
dell’uguaglianza.
( x  x1 )( x  x2 ) 
x  xx2  xx1  x1 x2 
2
Il secondo e il terzo monomio contengono la
può quindi essere messa in evidenza:
x12 xxx
x  (xx
2 )1x  x1 x2 
2
x
che
Sappiamo che:
b
c
x1  x2  
e x1  x2 
a
a
Ma dal momento che a  1 le due precedenti
uguaglianze diventano
 ( xx11  xx22)bbee x1x1 xx2 2cc
E cambiando i segni alla prima uguaglianza
Quindi:
( x  x1 )( x  x2 )  x 
 bx
( x1cx2 ) x  x1x2
2
Che completa la dimostrazione
Esempio
Scomporre:
x  6x  8
2
Risolviamo l’equazione (fatelo per esercizio)
x
2
 6x  8  0
La soluzione è:
S  x  R | x  2  x  4
Pertanto la scomposizione risulta
x  6 x  8  ( x  2)( x  4)
2
Esercizi
Tramite le equazioni di secondo grado
scomponete i seguenti polinomi:
1) x  7 x  8
2
2) x  10 x  25
2
3) x  7 x  10
2
Problemi risolvibili tramite equazioni
di secondo grado
Vladimir invita a una festa un certo numero di persone.
Ciascuna di queste persone può invitare lo stesso
numero di persone invitate da Vladimir (ad esempio se
Vladimir invita 5 persone, ciascuna di queste 5 persone
ne invita altre 5). Alla festa in tutto ci sono 57 persone.
quanti sono gli invitati direttamente da Vladimir?
Problemi risolvibili tramite equazioni
di secondo grado
Poniamo x = numero invitati da Vladimir
Vincoli:
x positivo, x necessariamente intero.
Ciascuno degli x invitati invita altre x persone.
quindi altre x 2 persone. Da cui ricaviamo
x 2  x  1 57
Gli invitati dagli invitati
Gli invitati da Vladimir
Vladimir
Persone totali presenti alla festa
Esempi
x  x  1  57
2
Non è in forma normale. Portiamola in forma normale
x 2  x  56  0
adesso possiamo determinare i coefficienti
a 1
b 1
c  56
Dai coefficienti possiamo ricavare il discriminante (delta)
  b  4ac  1  4 1 (56)  1  224  225
2
2
0
Risulta che
quindi l’equazione ha 2 soluzioni e vanno trovate
Tramite la formula risolutiva
Esempi
 b    1  225  1  15
x


2a
2 1
2
Prendiamo la soluzione col più e la soluzione col meno:
7
 1  15
14

7
1
2
2
x
8
 1  15
16
  1  8 non accettabile
2
2
Pertanto Vladimir ha invitato 7 persone