I
SISTEMI
LINEARI
I SISTEMI LINEARI
Un sistema lineare prevede la ricerca delle
soluzioni comuni a due o più equazioni di
primo grado
Simbolo
di sistema
ax  by  c

a x  b x  c
1
1
1
Risolvere un sistema significa determinare
l’insieme delle sue soluzioni.
Si dice che un sistema è:
 IMPOSSIBILE se non ha soluzioni Ø;
 DETERMINATO se ha un numero finito
di soluzioni;
 INDETERMINATO se ha un numero
infinito di soluzioni
Metodi algebrici
per risolvere
un sistema lineare
Metodo di
sostituzione
Metodo del
confronto
Metodo di
riduzione
o di
eliminazione
Metodo di
Cramer
METODO DI
SOSTITUZIONE
• Il Metodo di Sostituzione si
articola nelle fasi seguenti:
• 1)
isolare in una delle due
equazioni la x o la y;
• 2)
sostituire l’espressione
ottenuta nell’altra equazione;
• 3)
risolvere l’equazione in una
incognita così ottenuta;
• 4) sostituire nell’altra
equazione il valore così trovato e
calcolare quello dell’incognita
rimanente.
Esempio del metodo
di sostituzione
3x  2 y  12

x  2 y  4
3(2 y  4)  2 y  12

 x  2 y  4
 6 y  12  2 y  12

 x  2 y  4
y  3

 x  2 y  4
y  3
y  3


 x  2(3)  4  x  2
METODO DEL
CONFRONTO
• Il Metodo del Confronto si
articola nelle fasi seguenti:
• 1. isolare in entrambe le
equazioni rispetto la stessa
incognita;
• 2. eguagliare le due
espressioni ottenute risolvendo;
• 3. sostituire il valore così
trovato in una qualunque delle
equazioni trovate al punto 1),
calcolando così il valore
dell’incognita rimanente.
Esempio del metodo
del confronto
5 x  3 y  45

5 x  6 y  60
 3 y  45

x


5

 x   6 y  60

5
 3 y  45  6 y  60

5
5
y  5
3 y  5 x  45

6 y  5 x  60
 5 x  45

y


3

 y   5 x  60

6
 5 x  45  5 x  60

3
6
x  6
METODO DI
RIDUZIONE O
ELIMINAZIONE
Consiste nell’addizionare o sottrarre
membro a membro le equazioni del
sistema.
 Se i coefficienti dell’incognita da
eliminare sono uguali si sottraggono
membro a membro le due equazioni;
 Se tali coefficienti sono opposti si
sommano membro a membro le due
equazioni.
5 x  2 y  3

5 x  y  8
5 x  2 y  3

 5 x  y  8
5
y
3
5

y



3

5 x  5  8

3
5

y



3

 x  19
 15
Secondo esempio
del metodo di
eliminazione
Se i coefficienti dell’incognita non sono né uguali
né opposti si moltiplica un’equazione per un
numero in modo che i coefficienti da eliminare
divengano uguali o opposti.
2 x  y  4

x  3 y  9
2 x  y  4

2  x  3 y  9
y  2

2 x  6(2)  18
y  2

x  3
2 x  y  4

 2 x  6 y  18
y2
METODO DI
CRAMER
Si costruiscono tre determinanti di
due righe per due colonne; il primo, Δ,
contiene i coefficienti delle incognite;
nel secondo, Δx, bisogna sostituire i
coefficienti della x con il termine
noto, e analogamente per Δy e y. In
pratica
METODO DI CRAMER
• Questi determinanti si calcolano in questo
modo:
Quindi
Adesso abbiamo le soluzioni:
Esempio del metodo
di Cramer
Ridurre in forma tipica;
3x  2 y  4

3x  4 y  1
2.
Creare una Matrice;
3 2
3 4
3.
Trovare il determinante del
sistema e i determinanti
dell’incognite;
3 2
D
 (3  4)  (2  3)  18
3 4
1.
3
4 2
Dx 
 (4  4)  (2 1)  18 Dy 
3
1 4
4.
Il valore di ciascuna incognita è
uguale a una frazione avente al
numeratore il determinante di
quell’incognita e al denominatore il
determinante del sistema.
4
 (3 1)  ( 4  3)  9
1
Dx  18

1
D  18
Dy  9 1
y


D  18 2
x