I sistemi di equazioni di I grado
Un sistema di equazioni
DEFINIZIONE
Un sistema di equazioni è un insieme di due o più
equazioni, tutte nelle stesse incognite,di cui cerchiamo
soluzioni comuni
L’insieme delle soluzioni di un sistema è formato da
quei valori delle incognite che soddisfano tutte le
equazioni che compongono il sistema.
In questa unità didattica consideriamo
sistemi in cui tutte le equazioni sono di
primo grado, tali sistemi sono detti
sistemi lineari
Interpretazione grafica di un sistema
lineare di due equazioni in due
incognite
Consideriamo il sistema:
y = 2x - 5
y = -x + 1
commento
Tracciamo le due rette che rappresentano
graficamente le equazioni:
y = 2x – 5
e
y = -x + 5
Y 3
2
1
0
-2
-1
0
-1
1
2
3
4
X
Il sistema ha
una sola
soluzione,
poiché le
rette si
intersecano
in un sol
punto di
coordinate
(2 ; -1)
-2
commento
-3
Quante soluzioni ha un
sistema?
Un sistema può avere:
•Una soluzione (x ; y);
•Nessuna soluzione; il sistema è impossibile;
•Infinite soluzioni; il sistema è indeterminato
Una soluzione quanto le rette che rappresentano le
equazioni del sistema sono incidenti
Il sistema ha
Una sola soluzione
(x ; y)
1 punto in
comune
commento
Nessuna soluzione se le rette che rappresentano le equazioni del sistema
sono parallele e distinte
Il sistema
Non ha soluzione;
Il sistema è
IMPOSSIBILE
Nessun punto in
comune
Infinite soluzioni se le rette sono parallele e
coincidenti
Il sistema ha
Infinite soluzioni;
Il sistema è
INDETERMINATO
Infiniti punti in
comune
5 x  3 y  45

5 x  6 y  60
 x  6

 y  5
r
s
x
y
x
y
0
-15
0
-10
-9
0
-12
0
Metodi algebrici
per risolvere
un sistema lineare
Metodo di
sostituzione
Metodo del
confronto
Metodo di
riduzione
o di
eliminazione
Metodo di
Cramer
Metodo di sostituzione
Illustriamolo tramite un esempio:
•Si riduce il sistema a forma normale
3x  2 y  1

 x  4 y  3
•Si risolve una delle due equazioni rispetto ad
un incognita, nell’esempio la seconda delle
equazioni è stata risolta rispetto la x
3x  2 y  1

x  4 y  3
•Si sostituisce nell’altra equazione il
valore della x trovato, calcoliamo il
valore della y;
3(4 y  3)  2 y  1

x  4 y  3
•Una volta calcolato il valore di y lo
sostituiremo di nuovo nell’equazione esplicitata
in x
y 1

x  1
y 1

x  4 y  3
Troviamo così la soluzione
del sistema
Il metodo di sostituzione
:altro esempio
3x  2 y  12

x  2 y  4
•
Ridurre in forma normale;
3x  2 y  12

 x  2 y  4
•
Risolvere rispetto ad una delle
incognite, ad esempio x, una
equazione
•
Sostituire nell’altra equazione la
soluzione trovata (-2y+4);
•
risolvere rispetto all’incognita y
•
Infine, sostituire l’ultima
soluzione nell’altra equazione.
3(2 y  4)  2 y  12

 x  2 y  4
y  3

 x  2 y  4
y  3
y  3


 x  2(3)  4  x  2
Soluzione: (-2, 3)
RISOLUZIONE
GRAFICA
3x  2 y  12
Soluzione
(-2,
3)

x  2y  4

s
r
y
r
6
3
2
-4 -2
4
s
x
x
y
x
y
0
6
0
2
-4
0
4
0
1  2 x 1  y 5
 3  2  12

1 x  1 y  2  x
3
2
8 x  6 y  5

4 x  3 y  12
  3 y  12 
8 4   6 y  5

 x  3 y  12

4
 8x  6 y 5

 12
12

 2 x  3 y  12  6 x
 6
6
8 x  6 y  5

 3 y  12
 x  4
0  29


3 y  12
x


4
Sistema
Impossibile
RISOLUZIONE GRAFICA
(Sistema impossibile)
8 x  6 y  5

4 x  3 y  12
r
x
y
0
-5/6
5/8
0
r
x
y
0
4
-3
0
 x  2 y  ( x  1)  12

3x  2( y  3)  4
 x  2 y  x  1  12

3x  2 y  6  4
3x  2 y  10

3x  2 y  10
r =s
x
y
0
-5
10/3
0
2 y  10

x


3

3 2 y  10   2 y  10
  3 
2 y  10

x 
3

0  0
Sistema
Indeterminato
METODO DI
RIDUZIONE O
ELIMINAZIONE
Consiste nell’addizionare o sottrarre
membro a membro le equazioni del
sistema.
 Se i coefficienti dell’incognita da
eliminare sono uguali si sottraggono
membro a membro le due equazioni;
 Se tali coefficienti sono opposti si
sommano membro a membro le due
equazioni.
5 x  2 y  3

5 x  y  8
5 x  2 y  3

 5 x  y  8
5
y
3
5

y



3

5 x  5  8

3
5

y



3

 x  19
 15
Metodo di riduzione o eliminazione
Un altro esempio del metodo di riduzione. Analizziamo il seguente sistema:
2 x  5 y  6  0

 2 x  4 y  7  0
In questo sistema l’incognita x presenta coefficienti opposti nelle due equazioni, per cui
sommandole membro a membro si riducono ad un’equazione in y.
 2 x  5 y  6  0


 2 x  4 y  7  0
 y 1  0
Moltiplicando per -5 l’equazione in y (per ottenere il monomio +5y, opposto a quello
dell’altra equazione) applicheremo lo stesso metodo e avremo un’equazione in x.
 2 x  5 y  6  0


5 y  5  0
2 x  11  0
Risolvendo le due semplici equazioni ottenute avremo i valori delle incognite in questo
sistema.
RISOLUZIONE
GRAFICA
5 x  2 y  3

5 x  y  8
5

 y   3

 x  19
 15
r
s
x
y
x
y
0
3/2
0
-8
3/5
0
8/5
0
Secondo esempio
del metodo di
eliminazione
Se i coefficienti dell’incognita non sono né uguali
né opposti si moltiplica un’equazione per un
numero in modo che i coefficienti da eliminare
divengano uguali o opposti.
2 x  y  4

x  3 y  9
2 x  y  4

2  x  3 y  9
y  2

2 x  6(2)  18
y  2

x  3
2 x  y  4

 2 x  6 y  18
y2
RISOLUZIONE
GRAFICA
2 x  y  4

x  3 y  9
y  2

x  3
r
s
x
y
x
y
0
-4
0
3
2
0
9
0
METODO DI
CRAMER
 Per prima cosa si deve costruire una
matrice: entità matematica costituita da
un insieme di numeri, disposti
ordinatamente secondo righe e colonne.
 Poi si deve trovare il determinante: si
moltiplicano i termini della diagonale
principale e si sottrae il prodotto dei
termini della diagonale secondaria.
 Successivamente cerchiamo il
determinante dell’incognita X e Y
 Infine il valore di ciascuna incognita è
uguale a una frazione avente al
numeratore il determinante di
quell’incognita e al denominatore il
determinante del sistema.
ax  by  c

a x  b x  c
1
1
1
a
a
1
b
b
1
a
D
a
b
 (a  b )  (b  a )
b
c
Dx 
c
1
b
 (c  b )  (b  c )
b
a
Dy 
a
c
 ( a  c )  (c  a )
c
1
1
1
1
1
Dx
x
D
1
1
1
1
1
Dy
y
D
1
Esempio del metodo
di Cramer
•
Ridurre in forma tipica;
•
Creare una Matrice;
•
Trovare il determinante del
sistema e i determinanti
dell’incognite;
3x  2 y  4

3x  4 y  1
3 2
3 4
3 2
D
 (3  4)  (2  3)  18
3 4
3
4 2
Dx 
 (4  4)  (2 1)  18 Dy 
3
1 4
•
Il valore di ciascuna incognita è
uguale a una frazione avente al
numeratore il determinante di
quell’incognita e al denominatore il
determinante del sistema.
4
 (3 1)  ( 4  3)  9
1
Dx  18

1
D  18
Dy  9 1
y


D  18 2
x
RISOLUZIONE
GRAFICA
x  1
3x  2 y  4 

1

y
3x  4 y  1 

2
s
r
x
y
x
y
0
2
0
-1/4
4/3
0
1/3
0