I LEZIONE
EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Saper risolvere e verificare un’equazione di primo grado numerica intera; Saper
risolvere un’equazione di primo grado numerica fratta (con le CE);
Equazioni di primo grado
Un'equazione di primo grado e un'uguaglianza tra due espressioni algebriche di primo grado, vera solo per alcuni valori che si
attribuiscono all'incognita. Indichiamo con P(x) e con Q(x) le due espressioni letterali dette sopra, aventi incognita x; possiamo
indicare un’equazione di primo grado come P(x)=Q(x). P(x) è il primo membro dell’equazione di primo grado, Q(x) è il secondo
membro. Ogni numero che sostituito alla x fa assumere al primo e al secondo membro lo stesso valore è soluzione
dell’equazione.
Equazioni di primo grado
Classificazione delle equazioni di primo grado secondo la loro soluzione
1) L'equazione di primo grado non ha alcuna soluzione
Ciò si verifica quando nessun numero, sostituito all'incognita, soddisfa l'equazione di primo grado. In questo caso si dice che
l'equazione è impossibile.
Esempio:
3x + 1 = 5x - 2x - 8
2) L'equazione di primo grado ha una soluzione
Ciò si verifica quando un solo numero, sostituito all'incognita, soddisfa l'equazione di primo grado. In questo caso si dice che
l'equazione è determinata.
Esempio:
2x + 1 = 5x - 8
3) L'equazione di primo grado ha un numero infinito di soluzioni
Ciò si verifica quando qualsiasi numero, sostituito all'incognita, soddisfa l'equazione. In questo caso si dice che l'equazione
è indeterminata o che è un'identità.
Esempio:
3x + 1 = 5x - 2x - 8 + 9
Classificazione delle equazioni di primo grado secondo la loro forma
Equazioni di primo grado
1) Equazione di primo grado INTERA
Un'equazione di primo grado si dice intera quando i suoi membri sono polinomi di primo grado nell'incognita x.
Esempi:
2) Equazione di primo grado FRAZIONARIA
Un'equazione di primo grado si dice frazionaria quando, in almeno uno dei suoi membri, l'incognita compare a denominatore.
Esempi:
3) Equazione di primo grado LETTERALE
Un'equazione di primo grado si dice letterale quando essa contiene, oltre all'incognita, altre lettere che rappresentano numeri
ben
precisi.
Esempi:
4) Equazione di primo grado NUMERICA
Un'equazione di primo grado si dice numerica se non contiene altre lettere oltre all'incognita. Gli esempi ai punti 1. e 2. Sono
equazioni di primo grado numeriche.
ATTENZIONE: Equazioni di primo grado
Un errore molto frequente tra gli studenti è quello di confondere un'equazione di primo grado intera a coefficienti frazionari con
un'equazione di primo grado frazionaria. Si sottolinea nuovamente che un'equazione si definisce frazionaria SOLO SE
l'incognita compare a denominatore, NON se ci sono frazioni al suo interno!
Principi di equivalenza delle equazioni di primo grado
Primo principio di equivalenza: principio di addizione
Se si addiziona o si sottrae a entrambi i membri di un'equazione di primo grado uno stesso numero o
una stessa espressione algebrica contenente l'incognita, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
Principi di equivalenza delle equazioni di primo grado
Esempio:
data l'equazione 4x - 2 = 6 che ha soluzione x = 2, se si addiziona a entrambi i membri il numero 4 si ottiene l'equazione 4x - 2
+ 4 = 6 + 4 che ha ancora soluzione x = 2, quindi è equivalente a quella data.
Consideriamo ora la stessa equazione 4x - 2 = 6 e, questa volta, addizioniamo a entrambi i membri l'espressione algebrica x –
1. In questo modo otteniamo: 4x - 2 + x - 1 = 6 + x -1, che ha ancora soluzione x = 2, quindi è equivalente a quella data.
Principi di equivalenza delle equazioni di primo grado
Primo principio di equivalenza: principio di addizione
Se si addiziona o si sottrae a entrambi i membri di un'equazione di primo grado uno stesso numero o una stessa espressione algebrica
contenente l'incognita, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
Esempio:
data l'equazione 4x - 2 = 6 che ha soluzione x = 2, se si addiziona a entrambi i membri il numero 4 si ottiene l'equazione
4x - 2 + 4 = 6 + 4 che ha ancora soluzione x = 2, quindi è equivalente a quella data.
Consideriamo ora la stessa equazione 4x - 2 = 6 e, questa volta, addizioniamo a entrambi i membri l'espressione
algebrica x – 1. In questo modo otteniamo: 4x - 2 + x - 1 = 6 + x -1, che ha ancora soluzione x = 2, quindi è equivalente a
quella data.
CONSEGUENZE DEL PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
1) Regola del trasporto
In
ogni
equazione
un
termine
si
può spostare
da
un
membro all'altro,
purché
si
cambi
segno.
Tale regola è molto utile nel procedimento di risoluzione delle equazioni e permette di velocizzare l'applicazione del primo principio di
equivalenza.
ATTENZIONE:
Ripetiamo che lo scopo di un'equazione di primo grado è quello di trovare la sua soluzione, ossia di scrivere: x = numero; perciò si
deve cercare di avere a primo membro la sola incognita e a secondo membro tutto quello che non è incognita (numeri o altre
lettere). Per fare questo si applica più volte il principio del trasporto, spostando a primo membro tutte le incognite e a secondo
membro il resto, ricordando di cambiare segno a ciò che si trasporta e di mantenerlo invariato a tutto quello che rimane ferm o.
Successivamente si procede sommando tra loro i termini simili come imparato nel calcolo algebrico.
Esempio:
Consideriamo l'equazione di primo grado 3x + 1 = 2x + 6; notiamo che l'incognita x compare sia a primo membro che a secondo e
che il numero 1 dovrebbe essere spostato a secondo membro, vicino al 6. Applicando il principio del trasporto otteniamo: 3x - 2x =
6 - . A questo punto sommiamo i termini simili a primo e secondo membro e abbiamo: x = 5 che è la nostra soluzione.
2) Regola della cancellazione
Se in entrambi i membri dell'equazione compaiono termini uguali, questi si possono cancellare.
Esempio:
Data l'equazione di primo grado 3x + 1 = 2x + 6 + 1, possiamo applicare la regola del trasporto e otteniamo: 3x - 2x = 6 + 1 - 1;
+1 e -1, essendo opposti, danno come risultato 0, quindi si possono cancellare. Osserviamo che il numero -1 è stato ottenuto
dal trasporto del +1 di partenza da primo a secondo membro. Senza passare attraverso la strada del trasporto, possiamo
notare che nell'equazione di partenza il numero +1 compare in entrambi i membri, quindi può essere cancellato
immediatamente come segue 3x + 1 = 2x + 6 + 1, ottenendo l'equazione equivalente 3x = 2x + 6.
Principi di equivalenza delle equazioni di primo grado
Secondo principio di equivalenza delle equazioni di primo grado: il principio di
moltiplicazione
Se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri di un'equazione di primo grado per uno stesso numero diverso da zero o
una stessa espressione algebrica contenente l'incognita (che abbia significato per qualunque valore dell'incognita e non si
annulli mai), si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
Principi di equivalenza delle equazioni di primo grado
CONSEGUENZE DEL SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
1) Cambio Segno
Se si cambiano i segni di tutti i termini dell'equazione di primo grado, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
Esempio: Consideriamo l'equazione di primo grado 2x + 8 = 3x - 2, applichiamo la regola del trasporto: 2x - 3x = -2 - 8;
sommando i termini simili otteniamo -x = -10. Voglio togliere il segno negativo dall'incognita, lo posso fare grazie al secondo
principio di equivalenza; in questo modo si ottiene x = 10.
Principi di equivalenza delle equazioni di primo grado
2) Denominatore comune
Un'equazione di primo grado con i coefficienti interi si può trasformare in un'equazione equivalente con i coefficienti interi,
moltiplicando entrambi i membri per il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori.
Principi di equivalenza delle equazioni di primo grado
Esempio:
Consideriamo l'equazione di primo grado
Per facilitare il calcolo vogliamo liberarla dai denominatori; per fare questo calcoliamo il denominatore comune (m.c.m. tra i
denominatori) delle due frazioni
Applichiamo il secondo principio di equivalenza moltiplicando entrambi i membri per 4, in modo da semplificare i denominatori
Eseguendo le moltiplicazioni otteniamo così l'equazione
14x - 2 = 3x -3
che è equivalente a quella di partenza.
Come risolvere le equazioni di primo grado
1) Equazioni di primo grado numeriche intere
Le equazioni numeriche intere di primo grado sono le equazioni nelle quali l'incognita non compare a denominatore.
Il procedimento da seguire è il seguente:
Si eliminano eventuali denominatori e si eseguono i calcoli presenti
Si spostano a primo membro i termini contenenti l'incognita e a secondo membro i termini noti (numeri)
Si riducono i termini simili del primo membro e si effettuano i calcoli nel secondo membro, scrivendo l'equazione nella forma:
ax = b
A questo punto si possono presentarsi 3 casi:
L'equazione è determinata. Se a è diverso da zero basta applicare il secondo principio di equivalenza, come visto
sopra, e si ottiene
;
L'equazione è indeterminata. Se sia a che b sono uguali a zero, si ottiene un'equazione del tipo 0x = 0 che è vera per
qualsiasi valore attribuito all'incognita x, perché qualunque numero moltiplicato per zero dà zero. Quindi si ha a che fare
con un'identità;
L'equazione è impossibile. Se a = 0 ma b è diverso da zero, si ottiene un'equazione del tipo 0x = b che non è verificata
per alcun valore dell'incognita x perché non esiste alcun numero che moltiplicato per zero dia un numero diverso da
zero.
Come risolvere le equazioni di primo grado
2) Equazioni di primo grado frazionarie
Le equazioni di primo grado frazionarie sono equazioni in cui l'incognita compare a denominatore; queste equazioni richiedono
passaggi e attenzione maggiore rispetto a quelle numeriche.
I problemi derivano dalla presenza di denominatori di cui non si conosce il valore. Sappiamo che una frazione del tipo
esiste solo se b (denominatore) è diverso da zero. Innanzitutto, quindi, prima di procedere con i calcoli, si devono individuare
tutti i valori che fanno perdere significato all'equazione, ossia tutti i numeri che, sostituiti all'incognita, annullano i denominatori.
Tali valori dovranno venire esclusi dalle soluzioni dell'equazione.
L'insieme dei numeri da escludere definisce le condizioni di accettabilità delle soluzioni (C.A.) (spesso dette
anche condizioni di esistenza). Dopo aver studiato le condizioni di accettabilità si procede come segue:
Si calcola il denominatore comune (m.c.m. tra i denominatori) tra le frazioni dell'equazione, allo scopo di eliminare i
denominatori e trasformare l'equazione frazionaria in intera;
si eseguono i calcoli, applicando i principi di equivalenza delle equazioni;
una volta trovata la soluzione, questa deve essere confrontata con le condizioni di accettabilità: la soluzione deve
essere scartata se coincide con uno dei valori trovati nelle condizioni suddette.
3) Equazioni di primo grado letterali intere
Il procedimento risolutivo delle equazioni di primo grado letterali è uguale a quello delle equazioni di primo grado
numeriche, si deve però ricordare che quando si applica il secondo principio di equivalenza delle equazioni nella
divisione di entrambi i membri per una stessa quantità contenente parametri, è obbligatorio richiedere che essa sia
diversa da zero, per non far perdere significato all'equazione. Si stabiliscono così delle limitazioni riguardanti i
parametri che si dicono condizioni di esistenza (C.E.) dell'equazione. I ragionamenti che riguardano i possibili valori
assunti dai parametri costituiscono la discussione dell'equazione.
ESERCIZI
Equazioni di primo grado - Esercizi Risolti 2(3x + 1) + x - 3(2x + 1) = x + 4 (x - 1) - (4x + 3) equazione di primo grado numerica intera
Svolgimento:
EQUAZIONE IMPOSSIBILE
Equazioni di primo grado - Esercizi Risolti -
Esercizio 2
EQUAZIONE INDETERMINATA
Esercizio 3
Esercizio 4
Dopo aver scomposto i denominatori, notiamo che il primo e il secondo si assomigliano, a parte il segno cambiato; cerchiamo
quindi di raccoglierlo per far diventare uguali i denominatori.
SOLUZIONE ACCETTABILE
Esercizio 5
La soluzione sarebbe x = -1 ma NON SI Può ACCETTARE perché compare nelle C.A.. quindi si deve concludere che
l'equazione è IMPOSSIBILE.
Esercizio 6
Esercizio 7
Esercizio 8