CLASSIFICAZIONE DI FUNZIONI
Andrea Barberis
Classe: 4°E
Anno scolastico 2007/2008
ORGANIGRAMMA FUNZIONI
FUNZIONI
RR
ALGEBRICHE
TRASCENDENTE
RAZIONALI
INTERE
IRRAZIONALI
FRATTE
INTERE
ESPONENZIALE
FRATTE
LOGARITMICHE
GONIOMETRICHE
FUNZIONE
• Funzioni matematiche
• Sono quelle funzioni tali che le operazioni che
•
•
•
•
permettono di passare dal valore della x al valore della y
sono di tipo matematico.
Se le operazioni sopraindicate si possono ridurre alle
quattro operazioni algebriche allora la funzione si dice
Algebrica
esempio: y=x3-x2 -5x-3
In caso contrario la funzione si dice Trascendente
esempio y=logx oppure y=senx+cosx
FUNZIONI ALGEBRICHE
• Si chiama funzione algebrica una funzione costruita
•
attraverso un numero finito di applicazioni delle quattro
operazioni dell'aritmetica e dell'elevamento a potenza.
Una sottoclasse molto importante è data dalle funzioni
polinomiali, cioè quelle il cui valore coincide punto per
punto con il valore assunto da un determinato polinomio;
in altre parole, fissato il valore della variabile
indipendente x, è possibile determinare il rispettivo
valore f(x) applicando un numero finito di volte le
quattro operazioni dell'aritmetica. Queste funzioni sono
definite per tutti i numeri reali.
RAZIONALI
• Le funzioni razionali sono quelle date dal
rapporto di due
funzioni
polinomiali, cioè del tipo
n
n 1
f ( x) 
N ( x) a0 x  a1 x      an

P( x) b0 x m  b1 x m1      bm
• Il dominio D della funzione è l'insieme degli
elementi tali che . A volte queste sono chiamate
funzioni razionali fratte e le polinomiali funzioni
razionali intere.
IRRAZIONALE
• Le funzioni irrazionali sono quelle per cui, fissato il valore
•
•
•
•
•
della variabile indipendente x, è possibile determinare il
rispettivo valore della f(x) applicando per un numero
finito di volte le quattro operazioni dell'aritmetica e
l'operazione di estrazione di radice.
Una funzione irrazionale è del tipo f ( x)  n g ( x)
dove g(x) è una funzione razionale definita in un certo
sottoinsieme. I  R
Il dominio D della funzione dipende dall'indice n della
radice: se n è dispari allora il dominio della funzione
coincide con l'insieme I di g.
Se n è pari allora il dominio D della funzione è dato
dall'insieme degli elementi x  I che soddisfano la
disequazione. g ( x)  o
Le funzioni irrazionali possono essere a loro volta intere
e fratte.
TRASCENDENTI
• Si chiamano funzioni trascendenti tutte quelle funzioni
•
che non sono algebriche, cioè che contengano operazioni
diverse dalle quattro operazioni standard dell'aritmetica e
dall'operazione di potenza (e radice): logaritmo,
esponenziale, espressioni trigonometriche...
Fanno parte di questa classe anche le funzioni cosidette
non elementari o non esprimibili analiticamente (da non
confondere con le funzioni analitiche, che riguardano un
altro aspetto), cioè per cui non esiste formula chiusa che
consenta di calcolare i valori f(x) a partire da x arbitrari:
tra queste funzioni si trovano ad esempio la campana di
Gauss o la funzione degli errori, ma anche molte delle
funzioni definite ricorsivamente.
LOGARITMICHE
•
•
•
•
•
Dicesi funzione logaritmica una funzione g : R   R
del tipo: g ( x)  log k ( x ) f ( x)
e relative trasformate.
Il dominio della funzione è l'insieme degli
elementi contenuti nell'intersezione dei due
domini di k e f tali che f(x) > 0, k(x) > 0 e k ( x)  1
Tale funzione è l'inversa della funzione
esponenziale.
ESPONENZIALI
• Dicesi funzioni esponenziali una funzione
•
•
g : R  R
del tipo: g ( x)  k ( x) f ( x )
e relative trasformate.
Il dominio della funzione è l'insieme degli
elementi contenuti nell'intersezione dei due
domini di k e f che soddisfano la condizione k(x)
> 0. Tale funzione è l’inversa della funzione
logaritmica.
INTERE
• Le funzioni razionali intere sono quelle nelle quali
•
compaiono le operazioni algebriche escluse la divisione e
la radice . Un esempio è: y  3x 2  3x  4
Funzioni di questo genere sono definite per ogni valore
reale di x in quanto le operazioni che occorre svolgere
per determinare il valore della y, noto quello della x,
sono sempre possibili. In altri termini, la potenza, il
prodotto, l’addizione e la sottrazione si possono eseguire
su tutti i numeri reali. Il dominio, quindi, delle funzioni
razionali intere è costituito dall’insieme R di tutti i numeri
reali.
FRATTE
• Le funzioni razionali fratte sono quelle che hanno la
variabile indipendente al denominatore. Funzioni di
questo tipo sono definite per tutti i valori reali di x esclusi
quelli che annullano il denominatore. Infatti nell’insieme
dei numeri reali la divisione per lo zero non è possibile.
La funzione y  x 2  3x  2
x 1
• è definita per x  1 , alla variabile x non si può attribuire
il valore 1 perché in tal caso il denominatore diventa
nullo. Un altro modo di indicare il dominio della suddetta
funzione è :  ;1 1; .
GONIOMETRICHE
• Le funzioni dove la variabile indipendente è un
angolo vengono dette goniometriche o circolari.
Per definire le funzioni goniometriche
elementari si consideri fisso il lato di origine
degli angoli (identificato, nel caso del riferimento
cartesiano ortogonale xOy, col semiasse positivo
delle ascisse) e variabile il secondo.
INTERE
y  3x  1
y  1 x
y  x 4
y  x 1
4
2
3
FRATTE
y
1
x 1
3x  1
y
2 x
y
x2
x7
x2 1
y
x  5x
3