Corso di Elettrotecnica
Allievi aerospaziali
Reti Elettriche – Parte II
Revisione aggiornata al 7 4 2011
(www.elettrotecnica.unina.it)
Circuiti in regime lentamente
variabile
Analisi dei circuiti in regime
sinusoidale
Bipoli elementari lineari
Bipoli resistenza e induttanza
v  Ri
di
vL
dt
v  Ri
di
v  L
dt
Bipoli capacità e generatori
ideali di tensione e di corrente
iC
dv
dt
v  e(t )
i  C
dv
dt
i  j (t )
Esempi di realizzazione del
bipolo induttanza

La spira γ è attraversata
da i(t) che crea B(t);
insorge la f.e.m. e(t):
e  d  / dt
φγ è il flusso
d’autoinduzione Li.
LKT fornisce: v+e=Ri
Trascurando R:
v  d  / dt  0
di
vL
dt
Esempi di realizzazione del
bipolo induttanza
S
di
vL
dt
Esempio di realizzazione del
bipolo capacità
Dato il condensatore piano C la LKT fornisce:
v-vC=Ri≈0
C
v(t)
v=vC
q=cvC
dvC
dq
i
C
dt
dt
dv
iC
dt
Realizzazione di generatori di
tensione sinusoidale

  t
   B  ndS  ( B cos  )S  BS cos t


S
e
d 
dt
 BS  sin t


Richiami sulle funzioni
periodiche
Si dice periodica una
funzione del tempo y=f(t)
che assume valori che si
ripetono a "intervalli"
regolari T. Si ha:
f (t )  f (t  kT )
Si dice periodo il valore
minimo di T (se esiste)
che soddisfa tale
relazione.
%
Richiami sulle funzioni
periodiche
La frequenza è il numero di cicli in un secondo:
f=1/T
[Hertz]
La pulsazione è la quantità:
ω=2πf=2π/T [Rad/sec]
Si dice valore medio di f(t) nel periodo T la quantità:
1
Fm 
T
t o T
 f (t )dt
t0
indipendente da t0. Se Fm=0, f(t) si dice alternata o
alternativa. Si dice valore efficace di f:
1
F
T
t 0 T

t0
f 2 (t )dt
(valore quadratico medio)
Funzioni periodiche: significato
fisico del valore efficace
Regime periodico
Regime stazionario
p=vi=Ri2
P=VI=RI2
Energia assorbita nell’intervallo T
T
WP   Ri (t )dt
2
0
I 2 regimi sono equivalenti se WP=WS
T
WS   RI 2 dt  RI 2T
0
1
I
T
t 0 T
2
i
 (t )dt
t0
Grandezze sinusoidali
a  AM sin( t   )
AM ampiezza
α fase
 /
 /
Valore efficace:
1
A
T
t 0 T
A
2
M
sin (t   )dt 
2
t0
Se f=50 Hz, T=20 ms,
ω=100π rad/s
AM
2
Richiami sui numeri complessi
Rappresentazione geometrica
nel piano complesso
z è l’affissa complessa di P
Rappresentazione algebrica
z=x+jy
dove j è l’unità immaginaria
definita da j2=-1.
x è la parte reale di z
y la parte immaginaria
z è indicato anche come
(x ,y). P è l’immagine di z.
Gli assi x (asse reale) e y
(asse immaginario)
contengono le immagini di
tutti i numeri reali e
puramente immaginari.
%
Richiami sui numeri complessi
Rappresentazione vettoriale
di z sul piano complesso


Complesso coniugato di
z=x+jy:
z*=x-jy
Modulo di z:
z  OP    ( x 2  y 2 )
Argomento di z
(anomalia del vettore OP)
arg( z )    arctg ( y / x)
ρ e θ sono le coordinate
polari di z che si può
indicare anche come
z=[ρ, θ]
%
Richiami sui numeri complessi
x   cos 
Rappresentazione
trigonometrica di z=x+jy:
z=ρ(cosθ+jsin θ)
Per la formula di Eulero
ejθ=cosθ+jsinθ
si ha la formulazione
esponenziale complessa
di z:
y   sin 
z=[ρ, θ]= ρ ejθ


Operazioni sui numeri
complessi
SOMMA
z1  x1  jy1
z  z1  z 2
z 2  x2  jy2
z  z1  z2  ( x1  x2 )  j( y1  y2 )  x  jy
x  x1  x2
y  y1  y2
Prodotto di numeri complessi
Rappresentazione algebrica
z1  x1  jy1
z 2  x2  jy2
z  z1 z 2
z  z1 z 2  ( x1 x2  y1 y2 )  j( x1 y2  x2 y1 )
Rappresentazione polare
z1  [ 1 ,1 ]  1e
j1
z 2  [  2 , 2 ]   2 e j 2
z  z1 z 2  ( 1  2 )e j (1  2 )  e j  [  , ]
  12
  1   2
Divisione di numeri complessi
Rappresentazione algebrica
z1  x1  jy1
z
x
z 2  x2  jy2
z1
x  jy1 ( x1  jy1 )( x2  jy2 ) ( x1 x2  y1 y 2 )  j ( x2 y1  x1 y 2 )
 1


 x  jy
2
2
z 2 x2  jy2 ( x2  jy2 )( x2  jy2 )
x2  y 2
x1 x2  y1 y 2
x22  y 22
y
x2 y1  x1 y 2
x22  y 22
Rappresentazione polare
z1  [ 1 ,1 ]  1e j1
z 2  [  2 , 2 ]   2 e j 2
z  z1 / z 2  ( 1 /  2 )e j (1  2 )  e j  [  , ]
  1 /  2
  1   2
I vettori rotanti
La grandezza sinusoid.
a(t )  2 A sin( t   )
è compiutamente
identificata da A, α e ω,
come la grandezza:
a(t )  Ae
j (t  )
Si ha quindi una
corrispondenza biunivoca
tra le a(t) e le a(t ) . Si ha:
a(t )  2 Im[ a(t )]
a (t )
2
a (t )
I fasori
Fissata ω,
a(t )  2 A sin( t   )
A
è compiutamente
identificata da A e α,
come il fasore
α
definito da:
A  Ae j
Si ha quindi una
corrispondenza biunivoca
jt
a
(
t
)

2
A
sin(

t


)

2
Im[
A
e
]
tra le a(t) nel dominio del
tempo ed i fasori A nel
A  [a(t )]t 0
A A
campo complesso.
Relazioni di fase tra grandezze
sinusoidali
    0
a(t )  2 A sin( t   )
b(t )  2 B sin( t   )
b(t) è sfasata in ritardo rispetto ad
a(t) dell’angolo φ
Relazioni di fase tra grandezze
sinusoidali
    0
    0
a(t )  2 A sin( t   )
b(t )  2 B sin( t   )
b(t) è sfasata in anticipo rispetto a
a(t) dell’angolo φ
Relazioni di fase tra grandezze
sinusoidali
a(t )  2 A sin( t   )
b(t )  2 B sin( t   )
a(t) e b(t) sono in fase
Le operazioni sulle grandezze
sinusoidali
Date
a(t )  2 A sin( t   )  A  Ae j
b(t )  2 B sin( t   )  B  Be
C
B
j
c(t )  a(t )  b(t )  2 Im[ Ae jt ]  2 Im[ Be jt ] 
 2 Im[( A  B)e jt ]  2 Im[ Ce jt ]
A
dove:
C  A  B  Ce j
c(t )  2C sin( t   )
O
a(t )  A
b(t )  B
c(t )  a(t )  b(t )  C  A  B
Prodotto di una grandezza
sinusoidale per una costante
Date:
a(t )  2 A sin( t   )  A  Ae j
A
ed una costante reale k>0,
c(t )  ka(t )  2kAsin( t   )
c(t )  C  kAe j  k A
a (t )  A
c(t )  ka(t )  C  k A
C
α
Derivata temporale di una
grandezza sinusoidale
Data
a(t )  2 A sin( t   )  A  Ae j
da
d
c(t ) 
 2 Im[ Ae jt ] 
dt
dt
 2 Im[ j Ae
jt
A
C
]  2A cos(t   )
c(t )  C  j A
a (t )  A
da
c(t ) 
 C  j A
dt
α
Prodotto di un fasore per un
numero complesso
A  Ae j
 a(t )  2 A sin( t   )
D  De j
dove
D  D
D A  D  Aei (  )  C  Ce j
C  Ce j  c(t )  2C sin( t   )
C  D A
  
A  a (t )
D A  c(t )
Prodotto di grandezze
sinusoidali
a(t )  2 A sin( t   )
b(t )  2 B sin( t   )
c(t )  a(t )b(t )  2 A sin( t   ) 2 B sin( t   )
1
sin x sin y  cos( x  y )  cos( x  y )
2
c(t )  ABcos(   )  cos(2t     
Bipolo resistenza in
regime sinusoidale
v  Ri
Dominio dei fasori
V  Ve j
I  Ie
Dominio del tempo
I
v(t )  2V sin( t   ) i (t )  2 I sin( t     )
V
R
j (  )
 0
V  RI
I
V  V  j
  e
R R
z 
V
R
I
impedenza
Bipolo induttanza in
regime sinusoidale
Dominio dei fasori
V  Ve j
di
vL
dt
I  Ie j (  )
I
Dominio del tempo
v(t )  2V sin( t   )
i (t )  2 I sin( t   

2
)
V
V

L X
V  j L I
j  1 e
j


2
V
 V  j (  2 )
I

e
jL  L 


2
z 
V
 jL
I
impedenza
X  L
Reattanza
Bipolo capacità in
regime sinusoidale
Dominio dei fasori
V  Ve j
dv
iC
dt
Dominio del tempo
v(t )  2V sin( t   )
i (t )  2 I sin( t   
I  jCV
I  Ie j (  )
I

2
)
V
V

1 / C X
j  1 e
j

2

 V  j (  2 )
I 
e
 1 / C 


2
V
1
j
C
I
Impedenza
z 
1
C
Reattanza
X 
Bipolo R-L
in regime sinusoidale
Dominio del tempo
LKT
v  vR  vL  0
v  Ri  L
vR  Ri
di 
d
  R  L i
dt 
dt 
v(t )  2V sin( t   )
Dominio dei fasori
v(t )  V  Ve
V  ( R  jL) I
i (t )  I  Ie
j
z 
V
 R  jL  R  jX
I
 L 

R


  arg( z )  arctg 
j (  )
di
vL  L
dt
i (t )  2 I sin( t     )
d

 R  L   R  jL
dt 

z  ze j
V V j (  )
I  e
z z
z  z  R 2  (L) 2
 
%
Bipolo R-L
in regime sinusoidale
z
P (z )
φ=arctg(ωL/R)
Dominio del tempo
i (t )  2
V
R  (L)
2
2
sin t  arctg (L / R)
i(t) costituisce un integrale particolare
dell’equazione differenziale
v  Ri  L
di
dt
Bipolo R-L
in regime transitorio
L’integrale generale dell’equazione differenziale:
v  Ri  L
è
di
dt
i(t )  ket  i p (t ) dove ip(t) è un integrale particolare e λ è la
radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata R+λL=0

R
1

L
T
i (t )  ket / T  2
(T=L/R costante di tempo)
V
R  (L)
2
lim t  ke t / T  0
2
sin t  arctg (L / R )
ke t / T
(trascurabile per t>5T)
%
Bipolo R-L
in regime transitorio
Se ad es. R=10 Ω, X=ωL=10 Ω, per f=50 Hz ω=100π rad/s,
L=0,1/π Henry, T=L/R=0,01/π=3,18 ms e dopo circa 16 ms
il termine transitorio ke-t/T è trascurabile.
Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per
t=0+ . Se I0=[i(t)]t=0- essendo i(0+)=i(0-) si ha:
k  I0  2
VL
sin arctg (L / R)  I 0  2 2
2
2
R  (L) 2
R  (L)
V
Se il circuito è inizialmente a riposo I0=0