Corso di Elettrotecnica (Allievi aerospaziali) Reti Elettriche Parte II Revisione aggiornata al 10 maggio 2011 (www.elettrotecnica.unina.it) Circuiti in regime lentamente variabile Bipoli elementari lineari Bipoli resistenza e induttanza v Ri v Ri di vL dt di v L dt In regime stazionario equivale ad un corto circuito ideale Bipoli capacità e generatori ideali di tensione e di corrente iC dv dt v e(t ) i C dv dt i j (t ) Flusso di autoinduzuine La corrente i crea B(t) e il flusso di autoinduzione γ concatenato con la spira orientata γ. Se γ è immersa in un mezzo lineare: γ=f(i)=Li L è il coefficiente di autoinduzione [Henry].Se il verso di γ è concorde con il verso di i, per i>0 γ>0 e per i<0 γ<0 → L= γ/i>0 i>0 B ndS f (i) S Bn 0 Esempi di realizzazione del bipolo induttanza Nella spira attraversata da i(t) insorge la f.e.m. e(t): e d / dt in cui φγ è il flusso d’autoinduzione Li. LKT fornisce: v+e=Ri Trascurando R: v d / dt 0 di vL dt Esempi di realizzazione del bipolo induttanza S di vL dt Esempio di realizzazione del bipolo capacità Dato il condensatore piano C la LKT fornisce: v-vC=Ri≈0 C v(t) v=vC q=cvC dvC dq i C dt dt dv iC dt Realizzazione di generatori di tensione sinusoidale t B ndS ( B cos )S BS cos t S e d dt BS sin t γ Richiami sulle funzioni periodiche Si dice periodica una funzione del tempo y=f(t) che assume valori che si ripetono a "intervalli" regolari T. Si ha: f (t ) f (t kT ) Si dice periodo il valore minimo di T (se esiste) che soddisfa tale relazione. % Richiami sulle funzioni periodiche La frequenza è il numero di cicli in un secondo: f=1/T [Hertz] La pulsazione è la quantità: ω=2πf=2π/T [Rad/sec] Si dice valore medio di f(t) nel periodo T la quantità: 1 Fm T t o T f (t )dt t0 indipendente da t0. Se Fm=0, f(t) si dice alternata o alternativa. Si dice valore efficace di f: 1 F T t 0 T t0 f 2 (t )dt (valore quadratico medio) Funzioni periodiche: significato fisico del valore efficace Regime periodico Regime stazionario p=vi=Ri2 P=VI=RI2 Energia assorbita nell’intervallo T T WP Ri (t )dt 2 0 I 2 regimi sono equivalenti se WP=WS T WS RI 2 dt RI 2T 0 1 I T t 0 T 2 i (t )dt t0 Circuiti in regime lentamente variabile Analisi dei circuiti in regime sinusoidale Grandezze sinusoidali a(t ) AM sin( t ) / / AM ampiezza α fase Valore efficace: 1 A T t 0 T A 2 M sin (t )dt 2 t0 Se f=50 Hz, T=20 ms, ω=100π rad/s a(t ) 2 A sin( t ) AM 2 Richiami sui numeri complessi Rappresentazione geometrica nel piano complesso z è l’affissa complessa di P Rappresentazione algebrica z=x+jy dove j è l’unità immaginaria definita da j2=-1. x è la parte reale di z y la parte immaginaria z è indicato anche come (x ,y). P è l’immagine di z. Gli assi x (asse reale) e y (asse immaginario) contengono le immagini di tutti i numeri reali e puramente immaginari. % Richiami sui numeri complessi Rappresentazione vettoriale di z sul piano complesso Complesso coniugato di z=x+jy: z*=x-jy Modulo di z: z OP ( x 2 y 2 ) Argomento di z (anomalia del vettore OP) arg( z ) arctg ( y / x) ρ e θ sono le coordinate polari di z che si può indicare anche come z=[ρ, θ] % Richiami sui numeri complessi x cos Rappresentazione trigonometrica di z=x+jy: z=ρ(cosθ+jsin θ) Per la formula di Eulero ejθ=cosθ+jsinθ si ha la formulazione esponenziale complessa di z: y sin z=[ρ, θ]= ρ ejθ Operazioni sui numeri complessi SOMMA z1 x1 jy1 z z1 z 2 z 2 x2 jy2 z z1 z2 ( x1 x2 ) j( y1 y2 ) x jy x x1 x2 y y1 y2 Prodotto di numeri complessi Rappresentazione algebrica z1 x1 jy1 z 2 x2 jy2 z z1 z 2 z z1 z 2 ( x1 x2 y1 y2 ) j( x1 y2 x2 y1 ) Rappresentazione polare z1 [ 1 ,1 ] 1e j1 z 2 [ 2 , 2 ] 2 e j 2 z z1 z 2 ( 1 2 )e j (1 2 ) e j [ , ] 12 1 2 Divisione di numeri complessi Rappresentazione algebrica z1 x1 jy1 z x z 2 x2 jy2 z1 x jy1 ( x1 jy1 )( x2 jy2 ) ( x1 x2 y1 y 2 ) j ( x2 y1 x1 y 2 ) 1 x jy 2 2 z 2 x2 jy2 ( x2 jy2 )( x2 jy2 ) x2 y 2 x1 x2 y1 y 2 x22 y 22 y x2 y1 x1 y 2 x22 y 22 Rappresentazione polare z1 [ 1 ,1 ] 1e j1 z 2 [ 2 , 2 ] 2 e j 2 z z1 / z 2 ( 1 / 2 )e j (1 2 ) e j [ , ] 1 / 2 1 2 I vettori rotanti La grandezza sinusoid. a(t ) 2 A sin( t ) è compiutamente identificata da A, α e ω, come la grandezza: a(t ) Ae j (t ) Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra le a(t) e le a(t ) . Si ha: a(t ) 2 Im[ a(t )] a (t ) 2 a (t ) I fasori Fissata ω, a(t ) 2 A sin( t ) A è compiutamente identificata da A e α, come il fasore α definito da: A Ae j a (t ) 2 A sin( t ) Si ha quindi una corrispondenza biunivoca 2 Im[ Ae j (t ) ] 2 Im[ Ae jt ] tra le a(t) nel dominio del tempo ed i fasori A nel A [a(t )]t 0 A A campo complesso. Le operazioni sulle grandezze sinusoidali: la somma Date a(t ) 2 A sin( t ) A Ae j b(t ) 2 B sin( t ) B Be C B j c(t ) a(t ) b(t ) 2 Im[ Ae jt ] 2 Im[ Be jt ] 2 Im[( A B)e jt ] 2 Im[ Ce jt ] A dove: C A B Ce j c(t ) 2C sin( t ) O a(t ) A b(t ) B c(t ) a(t ) b(t ) C A B Applicazione dei fasori nello studio delle reti in regime sinusoidale Date i1(t), i2(t) e i3(t) calcolare i(t). i2 (t ) 2 8 cos(t ) i (t ) 12 sin( t 45) 1 i3 (t ) 2 4,5 cos(t 27) f (t ) 2 F sin( t ) F Fe j i1 (t ) 12 sin( t 45) 2 ( 2 6) sin( t 45) I 1 2 6e j 45 6 j 6 i2 (t ) 2 8 cos(t ) 2 8 sin( t 90) I 2 8e J 90 j8 i3 (t ) 2 4,5 cos(t 27) 2 4,5 sin( t 63) I 3 4,5e j 63 2 j 4 i(t ) i1 (t ) i2 (t ) i3 (t ) I I 1 I 2 I 3 8 j 6 10e j 37 i (t ) 210 sin( t 37) Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali 0 a(t ) 2 A sin( t ) b(t ) 2 B sin( t ) b(t ) 2 B sin( t ) b(t) è sfasata in ritardo rispetto ad a(t) dell’angolo φ Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali 0 0 a(t ) 2 A sin( t ) b(t ) 2 B sin( t ) b(t ) 2 B sin( t ) b(t) è sfasata in anticipo rispetto a a(t) dell’angolo │φ│ Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali 0 a(t ) 2 A sin( t ) b(t ) 2 B sin( t ) 2 B sin( t ) a(t) e b(t) sono in fase Prodotto di una grandezza sinusoidale per una costante Date: a(t ) 2 A sin( t ) A Ae j A ed una costante reale k>0, c(t ) ka(t ) 2kAsin( t ) c(t ) C kAe j k A a (t ) A c(t ) ka(t ) C k A C α Prodotto di un fasore per un numero complesso A Ae j a(t ) 2 A sin( t ) D De j dove D D D A D Aei ( ) C Ce j C Ce j c(t ) 2C sin( t ) C D A A a (t ) D A c(t ) Prodotto di un fasore per l’unità immaginaria j A Ae j a(t ) 2 A sin( t ) e j / 2 cos( / 2) j sin( / 2) j C jA e j / 2 Ae j Ae j ( / 2 ) j fattore di rotazione di /2 c(t ) 2 A sin( t 2 ) A a (t ) j A c (t ) Derivata temporale di una grandezza sinusoidale Data a(t ) 2 A sin( t ) A Ae j c(t ) da 2 A cos(t ) dt 2 A sin( t c(t ) C Ae j ( / 2 ) j A 2 A C ) a (t ) A da c(t ) C j A dt α Prodotto di grandezze sinusoidali a(t ) 2 A sin( t ) b(t ) 2 B sin( t ) c(t ) a(t )b(t ) 2 A sin( t ) 2 B sin( t ) 1 sin x sin y cos( x y ) cos( x y ) 2 c(t ) ABcos( ) cos(2t Bipolo resistenza in regime sinusoidale v Ri Dominio dei fasori V Ve j I V RI I Dominio del tempo v(t ) 2V sin( t ) i(t ) 2 I sin( t ) 2 I sin( t ) V R I Ie j ( ) 0 V V j e R R z V R I impedenza Bipolo induttanza in regime sinusoidale Dominio dei fasori vL di dt V Ve j V j L I I Dominio del tempo v(t ) 2V sin( t ) i (t ) 2 I sin( t ) 2 I sin( t 2 ) I Ie j 1 e V V L X j j ( ) 2 L d j L dt V V j ( 2 ) I e jL L 2 z V jL I impedenza X L Reattanza Bipolo capacità in regime sinusoidale Dominio dei fasori d j j ( ) C j C dv V Ve I Ie dt iC j j ( ) dt V e 2 I jCV j 1 e 2 I 1 / C V V I Dominio del tempo 2 1 / C X v(t ) 2V sin( t ) i (t ) 2 I sin( t ) V 1 z j C I 2 I sin( t ) Impedenza 2 1 C Reattanza X Bipolo R-L in regime sinusoidale Dominio del tempo LKT v vR vL 0 v Ri L vR Ri di d R L i dt dt v(t ) 2V sin( t ) Dominio dei fasori v(t ) V Ve V ( R jL) I i (t ) I Ie j z j ( ) V R jL R jX I L arg( z ) arctg R di vL L dt i (t ) 2 I sin( t ) d R L R jL dt z ze j V V j ( ) I e z z z z R 2 (L) 2 I V z % Bipolo R-L in regime sinusoidale z P (z ) φ=arctg(ωL/R) Dominio del tempo i (t ) 2 V R (L) 2 2 sin t arctg (L / R) i(t) costituisce un integrale particolare dell’equazione differenziale v Ri L di dt Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale) L’integrale generale dell’equazione differenziale: v Ri L di dt i(t ) ket i p (t ) dove ip(t) è un integrale particolare e λ è la è radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata R+λL=0 t / T i (t ) ke R 1 L T (T=L/R costante di tempo) 2 V R (L) 2 lim t ke t / T 0 2 sin t arctg (L / R) ke t / T (trascurabile per t>5T) % Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale) Se ad es. R=10 Ω, X=ωL=10 Ω, per f=50 Hz ω=100π rad/s, L=0,1/π Henry, T=L/R=0,01/π=3,18 ms e dopo circa 16 ms il termine transitorio ke-t/T è trascurabile. Bipolo R-C in regime sinusoidale Dominio del tempo v vR vC 0 vR Ri v Ri vC v RC i (t ) I Ie j ( ) V RI V C LKT iC dvC dt dvC vC dt v(t ) 2V sin( t ) i (t ) 2 I sin( t ) Dominio dei fasori v(t ) V Ve j 1 VC j I C z ze j 1 V R j I C z z R 1 /(C ) 2 2 z I jCV C V 1 R j R jX C I 1 RC arg( z ) arctg % Bipolo R-C in regime sinusoidale V V j ( ) I e z z V I z 1 C z Dominio del tempo i (t ) 2 V R 1 /(C ) vC (t ) 2 2 2 sin[ t arctg (1 / RC )] V sin[ t arctg (1 / RC ) / 2] Cz Bipoli R-L e R-C in regime stazionario v(t)=V (costante) v(t)=V (costante) vR=V vR=0 i=V/R vL=0 i=0 vC=V Bipoli R,L,C in regime sinusoidale B=0 V z A jB I R=A 0 B>0 B<0 R=A L B 0 R=A 1 B C 0 Ammettenza di un bipolo z I 1 y V z Ammettenza z R jS y 1 R S 2 j G jB 2 2 2 R jS R S R S [Ω-1] Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Regime stazionario Regime sinusoidale z V RI I GV V z I I yV Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Regime stazionario m LKT LKC () E k ( ) Rk I k 1 m r 1 k m m 1 () I Regime sinusoidale ( ) J k 1 LKT () E m k 1 1 m LKC () I 1 () zk I k r k ( ) J k 1 Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Regime stazionario Regime sinusoidale n n Millmann V AB EG i i 1 n G i 1 E y i Millmann V AB 1 n y 1 i i Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Bipolo di Thévenin in regime stazionario Bipolo di Thévenin in regime sinusoidale z V E RI V E z I Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Bipolo di Norton in regime stazionario Bipolo di Norton in regime sinusoidale z V R( J I ) V z ( J I ) Impedenze in serie n V V k z1 z2 1 zn V k zk I n V I zk zeq I 1 zeq n zeq zk 1 Impedenze in parallelo z1 zeq z2 V zeq I zn n I Ik 1 V Ik y k V zk zeq 1 n 1 z 1 n I V y k y eq V 1 zeq 1 y eq k 1 n y 1 k Bipolo R-L-C e risonanza Impedenza L’impedenza del bipolo è: 1 z R j L C il bipolo è in risonanza se: L 1 0 0 C 1 LC ω0 pulsazione di risonanza. 1 2 z z R L C 2 Bipolo R-L-C e risonanza Corrente Valore efficace della corrente V Ve j Se V I Ie j ( ) z I V z V 1 2 R L C 2 Il valore massimo di I si ha per ω=ω0 ed è pari a V/R Bipolo R-L-C e risonanza. Fase Lo sfasamento φ: 1 L C arg( z) arctg R φ<0 per ω<ω0 il bipolo è equivalente a un bipolo R-C φ=0 per ω=ω0 il bipolo è equivalente al bipolo R Φ>0 per ω>ω0 il bipolo è equivalente ad un bipolo R-L Bipolo R-L-C e risonanza Fattore di merito I Per ω=ω0 si ha: V L j0 L I VL ω=ω0 0 L R VL VC V V R 1 VC j I 0C 1 VC V 0CR Q 0 L R Q fattore di merito VL VC Q V V 1 0CR Bipolo R-L-C e risonanza Selettività La potenza massima assorbita dal bipolo si ha in ω=ω0: Pmax=RI2 In A e B la potenza P=Pmax/2. Δω è la larghezza di banda. Quanto più stretta è la banda tanto più selettivo è il bipolo. Al diminuire di R cresce Q=ω0L/R e Δω diminuisce. Bipolo R-L-C e risonanza Influenza di R Un esempio numerico v(t ) 2100 cos(t 30) f=10 Hz, R=7,32 Ω, R’=20 Ω, L=1/π Henry, C=1/(400π) Farad Calcolare i(t), i’(t), i”(t) v(t ) 2100 sin( t 60) V 100e j 60 50 j86,6 V ω=2πf=20π rad/s, XL=ωL=20 Ω, XC=20 Ω. z AB R j ( X L X C ) R' //( jX L ) z AB 17,32 j10 20e I' I j 30 Ω R' 3,41 j 0,91 3,53e j15 A R' jX L R' // jX L 20( j 20) 10 j10 Ω 20 j 20 V I 5e j 30 4,33 j 2,5 A z AB I '' I jX L 0,91 j 3,41 3,53e j 75A R' jX L % i (t ) 2 5 sin( t 30) i ' (t ) 2 3,53 sin( t 15) i" (t ) 2 3,53 sin( t 75) Potenza nei circuiti in regime sinusoidale Definizioni Se la tensione e la corrente di un bipolo sono: v(t ) 2V sin( t ) i (t ) 2 I sin( t ) Adottando per il bipolo la convenzione dell’utilizzatore per le potenze assorbite e quella del generatore per quelle erogate, si possono definire le seguenti grandezze: 1. p(t)=v(t)i(t) potenza istantanea [W] 2. P=VIcosφ potenza attiva [W] 3. Q=VIsinφ potenza reattiva (grandezza convenzionale) [VAr] % Definizioni 4. Papp=VI Potenza apparente (grandezza convenzionale) 5. [VA] P V I * Potenza complessa (grandezza convenzionale) La potenza istantanea, le potenze attiva, reattiva e complessa soddisfano il principio di conservazione delle potenze. Alle potenze non è applicabile la sovrapposizione degli effetti. La potenza apparente Nel caso di reti di distribuzione dell’energia elettrica la potenza apparente può essere correlata ai costi di investimento sostenuti per la realizzazione delle reti stesse. Infatti: Papp=VI La V è correlata ai costo relativi al sistema di isolamento. La I è correlata alla quantità di rame impiegata. La potenza istantanea p(t ) v(t )i (t ) 2V sin( t ) 2 I sin( t ) VI cos VI cos( 2t 2 ) Potenza attiva P 1 T t 0 T t0 Potenza fluttuante 1 p(t )dt VI cos T 1 P VI cos T t 0 T t0 t 0 T t0 p (t )dt VI cos( 2t 2 )dt 0 La potenza attiva P è pari al valore medio della potenza Istantanea p(t) % La potenza istantanea P=VIcosφ Potenza attiva ed energia Se un utilizzatore U assorbe una potenza attiva P=VIcosφ costante nell’intervallo di tempo 0-t1>>T, l’energia assorbita è: t1 W p(t )dt (VI cos )t1 0 t W VI cos dt Pt 0 p fluttuante L’energia assorbita da U può essere associata alla resa economica per l’impianto che alimenta U. Pertanto la potenza attiva P può essere correlata a tale resa economica. Espressioni della potenza attiva La potenza attiva P può essere espressa in funzione dei vettori V ed I rappresentativi della tensione e della corrente come: P VI cos V I oppure: P V ( I cos ) VI a Ia componente attiva della corrente Potenza attiva e potenza apparente La potenza attiva P è legata alla potenza apparente Papp dalla relazione: P=(Papp)cosφ Correlata alla resa economica Correlata ai costi di investimento Il cosφ è detto fattore di potenza Potenza reattiva La potenza reattiva Q=VIsinφ costituisce una grandezza convenzionale priva in generale di uno specifico significato fisico. Essa costituisce un indicatore di insoddisfacente resa economica e qualità del processo di utilizzazione dell’energia elettrica ed è utile nell’analisi delle reti elettriche poiché soddisfa il principio di conservazione. Essendo: (VI ) 2 P 2 Q 2 P P2 Q2 app a parità di potenza apparente, quanto maggiore è la Q, minore è la P e quindi la resa economica dell’impianto. Essendo inoltre: P2 Q2 I V a parità di P, quanto maggiore è Q, maggiore è I e quindi maggiori sono le perdite per effetto Joule e le cadute di tensione sulla linea elettrica che alimenta l’utilizzatore U % Potenza reattiva P1=P2 Q1<Q2 I1<I2 φ1<φ2 Potenza complessa v(t ) 2V sin( t ) V Ve j i (t ) 2 I sin( t ) I Ie j ( ) P V I * (Ve j )( Ie j ( ) ) VIe j VI (cos j sin ) P JQ OA P VI Papp P 2 Q 2 arg( P ) arctg (Q / P) Q Ptg Principio di conservazione delle potenze complesse Ipotesi: La stessa convenzione dei segni su tutti gli l lati della rete. Siano P1,.. Pi,…Pn gli n nodi della rete l l Tesi P V k 1 l U ( P" k 1 k Generico bipolo costituente il k-esimo lato della rete I *k 0 1 l ) I *k U ( P'k ) I *k 0 1 Somma parziale relativa al nodo Pi U Pi ( I *i1 I *i 2 .... I *ih ....I *il' ) 0 i V k U ( P"k ) U ( P'k ) Principio di conservazione delle potenze complesse Dal principio di conservazione delle potenze complesse: l P k 0 1 essendo: Pk Pk jQk si deducono i principi di conservazione delle potenze attive e reattive: l Pk 0 1 l Q k 1 0 Misura della potenza i(t) V(t) Papp VI Q (VI ) 2 P 2 P cos VI L’amperometro ed il voltmetro misurano il valore efficace (valore quadratico medio) di v ed i. Il wattmetro la potenza attiva P (valore medio della potenza istantanea v(t)i(t)). Potenze nel bipolo resistenza 0 V RI P VI cos VI RI 2 Q VI sin 0 Papp VI P P P RI 2 p(t ) v(t )i(t ) Ri 2 (t ) α=0 Potenze nel bipolo induttanza V j L I 2 X L V jX I α=0 P VI cos 0 Q VI sin VI LI XI 2 Wmax 1 L( 2 I ) 2 LI 2 2 Papp VI Q 2 W 1 2 Li 2 Q Wmax P jQ jXI 2 % Potenze nel bipolo induttanza v(t ) 2V sin( t ) i (t ) 2 I sin( t / 2) p(t ) v(t )i (t ) VI cos( 2t 2 / 2) VI sin( 2t 2 ) α=0 Potenze nel bipolo capacità V j X 1 I C 1 C 2 α=0 V jX I P VI cos 0 1 2 I XI 2 CV 2 C 1 C ( 2V ) 2 CV 2 Q Wmax 2 Q VI sin VI 1 2 W Cv Wmax 2 Papp VI Q P jQ jCV 2 % Potenze nel bipolo capacità v(t ) 2V sin( t ) i (t ) 2 I sin( t / 2) p(t ) v(t )i (t ) VI cos( 2t 2 / 2) VI sin( 2t 2 ) α=0 Potenze nel bipolo R-L α=0 φ>0 V z I z R jL R jX X L P VI cos zI 2 cos RI 2 Q VI sin zI 2 sin XI 2 Papp VI P RI 2 jXI 2 zI 2 % Potenze nel bipolo R-L v(t ) 2V sin( t ) i (t ) 2 I sin( t ) p(t ) v(t )i (t ) VI cos VI cos( 2t 2 ) α=0 Potenze nel bipolo R-C V z I X z R j 1 C 1 R jX C P VI cos zI 2 cos RI 2 Q VI sin zI 2 sin XI 2 Papp VI P RI 2 jXI 2 zI 2 α=0 Una formulazione del principio di conservazione delle potenze P potenze complesse erogate P P P Ei Ji i Ri i i i 2 P P R I Ei Ji i Ri i i PLi jLi I Li2 PRi Ri I Ri2 i PLi PCi 0 i PCi j CiVCi2 2 2 Q Q L I C V Ei Ji i Li i Ci i i i i Rifasamento P cos Papp Quanto minore è il cosφ di un impianto peggiore è la sua resa economica per l’ente distributore dell’energia elettrica e a parità di P maggiore è la corrente assorbita. Per impianti con P>15 kW non è consentito il funzionamento con cosφ medio (cosφm) minore di 0,7. Per 0,7< cosφm<0,9 occorre pagare una penale commisurata all’energia reattiva assorbita (WQ). tg m t 0 t0 t 0 t0 Qdt Pdt WQ t 0 t0 Qdt dove τ è l’intervallo di fatturazione % Rifasamento U utilizzatore ohmicoinduttivo C capacità di rifasamento DIME φ*: φ desiderato DIMENSIONAMENTO DI C QC AD BD QU PU tg* PU (tgU tg*) QC CV 2 C QC 2fV 2 Passività dei bipoli in regime lentamente variabile Negli intervalli 0-t1 e t2-t3 la potenza p=v(t)i(t) è minore di zero e le energie: t1 t3 W ' vidt e W " vidt 0 sono anche esse negative e rappresentano t2 energie erogate dal bipolo alla rete a monte. Applicando le definizioni di di bipolo passivo e attivo adottate in regime stazionario si dovrebbe ritenere che tale bipolo sia attivo. In regime lentamente variabile un % Passività dei bipoli in regime lentamente variabile bipolo si dice invece passivo se, applicando la convenzione dell’utilizzatore, risulta per ogni t: t W vidt 0 Si ha quindi che l’energia che un bipolo passivo può erogare in un determinato intervallo di tempo non è mai maggiore di quella precedentemente assorbita. Sono passivi i bipoli R, L, C e tutti quelli risultanti dalla loro connessione. Caratterizzazione dei bipoli passivi Oltre che con l’equazione caratteristica: V z I i bipoli passivi si possono caratterizzare mediante: V ...... P ...... Q ........ V ...... Q ...... cos ........ V ...... P ...... cos ........ (ritardo) V ...... P ...... sin ........ V ...... Q ...... sin ........ V ...... P ...... cos ........ (anticipo) In particolare possono essere forniti i dati nominali. % Caratterizzazione dei bipoli passivi Da ciascuna di queste caratterizzazione si può dedurre l’operatore impedenza. Ad es. dalla prima si ha: Papp P Q VI 2 V z I 2 I arctg (Q / P) Papp V z ze j Utilizzazione del principio di conservazione delle potenze Esempi numerici Es.1) v(t ) 2 220 sin( t ) + R=10 Ω, ωL=19,6 Ω. Dati di targa utilizzatore U Vn=220 V, Pn=1,76 kW, cosφu=0,8 (rit.) Calcolare indicazione amperometro A (valore efficace della corrente i) Applicazione conservazione potenze P’=RI’2, Q’=ωLI’2. I’=220/z’. Q’=1,96 kVAr. z ' R 2 (L) 2 22 Ω. I’=10 A, P’=1 kW, P”=Pn=1,76 kW, Q”=P”tgφu, tgφu=0,75, Q”=1,32 kVAr % Ptot=P’+P”=2,76 kW, Qtot=Q’+Q”=3,28 kVAr, 2 Papp Ptot2 Qtot VI 4,29 kVA, cosφ=Ptot/Papp=0,643, φ=49,9° I=Papp/V=19,48 A (Indicaz. amperometro) % Applicazione dei fasori V 220e 220 V; j0 Pn I" 10 Vn cos u A V I' 4,54 j8,9 10e j 63 A R jL I " I " e ju 10e j 36,9 8 j 6 A I I ' I " 12,54 j14,9 19,48e j 49,9 A I I 19,48 A % Es. 2) B Rl Ll B’ R=10 Ω, ωL=19,6 Ω. Dati di targa utilizzatore U Vn=220 V, Pn=1,76 kW, cosφu=0,8 (rit.) Rl=0,5 Ω ωLl=1 Ω Calcolare il valore efficace V della tensione a monte v(t) affinché a valle ai capi dell’utilizzatore U sia applicata la sua tensione nominale Vn Applicazione conservazione potenze Dall’esempio 1) si ricavano i seguenti dati relativi alla sezione A,A’: I=19,48 A, PA=2,76 kW, QA= 3,28 kVAr. I dati corrispondenti nella sez. B,B’ % PB=RlI2 + PA=2,95 kW QB=ωLlI2 + QA =3,66 kVAr PappB PB2 QB2 VI 4,7 kVA V=PappB/I=241,2 V ΔV=V-Vn=21,2 V (8,7 %) Applicazione dei fasori Dall’esempio 1 nella sezione A-A’: VA 220 V I 12,54 j14,9 A Nella sezione B-B’: V VA ( Rl jLl ) I 241,1 j5 V V V 241,2 V % Es. 3) v(t ) 2 220 sin( t ) R=10 Ω, ωL=19,6 Ω. f=50 Hz Dati di targa utilizzatore U Vn=220 V, Pn=1,76 kW, cosφu=0,8 (rit.) Calcolare C in maniera tale da rifasare totalmente l’impianto (cosφ=1) Dall’esempio 1) si ricavano i seguenti dati relativi alla sezione A,A’: IA=19,48 A, PA=2,76 kW, QA= 3,28 kVAr, cosφA=0,643 . QC CV QA 3,28 2 PB=PA=VIB kVAr C QC /(V 2 ) 216 μF IB=12,54 A % Es. 4) Nella stessa rete dell’esempio 3) calcolare C in maniera tale che il cosφ nella sezione B-B’ sia pari a 0,9. PA=2,76 kW, QA= 3,28 kVAr, cosφA=0,643 φA=49,9° cosφ*=0,9 φ*=25,8° QC AD BD QA PAtg* 1,94 kVAr PB=PA=VIBcosφ* IB=13,94 A C QC /(V 2 ) 128 μF Reti con generatori a frequenza diversa Non è direttamente applicabile il metodo dei fasori. Se la rete è lineare si può applicare la sovrapposizione degli effetti nel dominio del tempo, considerando separatamente agenti i generatori a eguale frequenza. Per ciascun gruppo di generatori isofrequenziali si può applicare il metodo dei fasori. Un esempio numerico e1 (t ) 2100 sin( t 30) V e2 (t ) 2100 cos( 2t 30) V e3=200 V (costante) R=ωL= 1/(ωC)= 20 Ω Calcolare i1(t), i2(t), i3(t). ik(t)=i’k(t) + i’’k(t) + i’’’k(t) (k=1, 2, 3) % Calcolo delle i’k(t) (componenti a pulsazione ω) zL j 20 Ω zC j 20 Ω zBD ( R zL ) // zC 20 j 20 Ω z AD R zL zBD 40 Ω R z L I '2 I '1 3,41 j 0,91 3,53e j15 A R z L zC i '1 (t ) 2 2,5 sin( t 30) A E1 2,5e j 30 A z AD zC I '3 I '1 2,5e j120 A R z L zC I '1 e1 (t ) E1 100e j 30 86,6 j 50 V i '2 (t ) 2 3,53 sin( t 15) A i'3 (t ) 2 2,5 sin( t 120) A % Calcolo delle i’’k(t) (componenti a pulsazione 2ω) zL j 40 Ω zC j10 Ω ze zC ( R zL ) / 2 10 j10 Ω e2 (t ) E 2 100e j 60 50 j86,6 V I "2 I "2 E2 j15 j165 A j15 I " 3 , 53 e I " 3 , 53 e A A I "2 7,07e 1 3 2 2 ze i ' '1 (t ) 2 3,53 sin( 2t 15) A i ' '2 (t ) 2 7,07 sin( 2t 15) A i' '3 (t ) 2 3,53 sin( 2t 165) A % Calcolo delle i’’’k(t) (componenti stazionarie) i1''' i3''' e3 5 A 2R i2''' 0 Correnti risultanti i1 (t ) 2 2,5 sin( t 30) 2 3,53 sin( 2t 15) 5 i2 (t ) 2 3,53 sin( t 15) 2 7,07 sin( 2t 15) A A i3 (t ) 2 2,5 sin( t 120) 2 3,53 sin( 2t 165) 5 A Circuiti in regime sinusoidale Reti trifasi Sistemi simmetrici trifasi di grandezze sinusoidali a1 (t ) 2 A sin( t ) a2 (t ) 2 A sin( t 2 / 3) A1 Ae j A2 Ae j ( 2 / 3) a3 (t ) 2 A sin( t 4 / 3) costituiscono un sistema simmetrico diretto di grandezze sinusoidali. A3 Ae j ( 4 / 3) A1 A2 A3 0 a1 (t ) a2 (t ) a3 (t ) 0 Sistemi simmetrici trifasi di grandezze sinusoidali a1 (t ) 2 A sin( t ) a2 (t ) 2 A sin( t 2 / 3) a3 (t ) 2 A sin( t 4 / 3) costituiscono un sistema simmetrico inverso di grandezze sinusoidali. A1 A2 A3 0 a1 (t ) a2 (t ) a3 (t ) 0 A1 Ae j A2 Ae j ( 2 / 3) A3 Ae j ( 4 / 3) Generazione di una f.e.m. sinusoidale t B ndS ( B cos )S BS cos t ω S e α ω d dt BS sin t Generazione di un sistema simmetrico di f.e.m. sinusoidali e1 BS sin( t ) e2 BS sin( t 2 / 3) ω e3 BS sin( t 4 / 3) Genesi di una rete trifase Genesi di una rete trifase z ze j E1 Ee j E 2 E j ( 2 / 3) E 3 E j ( 4 / 3) E1 E j ( ) I1 e Ie j ( ) z z I E z E 2 E j ( 2 / 3) I2 e Ie j ( 2 / 3) z z E 3 E j ( 4 / 3) I3 e Ie j ( 4 / 3) z z Genesi di una rete trifase I 0 I1 I 2 I 3 0 V O'O 0 E1 V 1O E 2 V 2O 3 V O 'O E '1 V 1O ' E 1 E '3 V 3O' E 3 E 1 3 y E 3 V 3O 3 k y E 1 3 k 0 E '2 V 2 O ' E 2 Sistema trifase simmetrico ed equilibrato- Carico a stella α=0 v12, v23, v31, costituiscono una terna simmet. diretta V 12 V 23 V 31 V V 2 M 3 2 E cos 30 3E V 12 3 E1e j 30 Nelle reti di distribuzione E=220 V, V=380 V. V 23 j 3 E 1 Reti trifasi - Carico a stella - Denominazioni z: impedenza di fase e1, e2, e3 tensioni stellate di alimentazione e’1, e’2, e’3 tensioni stellate sul carico o di fase i1, i2, i3 correnti di linea o di fase v12, v23, v31 tensioni di linea o concatenate Stelle equilibrate- Circuito monofase equivalente V O 'O E '1 E1 0 E '1 z I 1 V O'O 0 E1 z I 1 E1 I1 z I 2 I 1e j 2 / 3 I 3 I 1e j 4 / 3 Circuito monofase equivalente % 3 V O 'O E 3 k y ' 1 3 y ' E k 0 1 3 E 1 V O 'O z ' I '1 E 1 z ' I '1 3 V O"O E 3 k y" 1 3 y" E 1 3 k 0 E 1 V O"O z" I "1 E 1 z" I "1 9 lati, 3 nodi I 1 I '1 I "1 I '1 E 1 / z ' Circuito monofase equivalente I k I 1e j ( k 1) 2 / 3 I "k I "1e j ( k 1) 2 / 3 I "1 E 1 / z" I 'k I '1 e j ( k 1) 2 / 3 k 2,3 Sistema trifase simmetrico ed equilibrato- Carico a triangolo 3E I1 1 z J 12 i1, i2, i3 e j12, j23, j31, sono 2 terne simmetriche V 12 3 E1e j 30 1 I 1e j 30 z z 3 I 3J Carico equilibrato