Corso di Elettrotecnica
(Allievi aerospaziali)
Reti Elettriche Parte II
Revisione aggiornata al 14 aprile 2011
(www.elettrotecnica.unina.it)
Corso di Elettrotecnica
Lezione del giorno 11 aprile 2011
Circuiti in regime lentamente
variabile
Bipoli elementari lineari
Bipoli resistenza e induttanza
v  Ri
v  Ri
di
vL
dt
di
v  L
dt
In regime stazionario
equivale ad un corto
circuito ideale
Bipoli capacità e generatori
ideali di tensione e di corrente
iC
dv
dt
v  e(t )
i  C
dv
dt
i  j (t )
Flusso di autoinduzuine
La corrente i crea B(t) e il
flusso di autoinduzione
γ concatenato con la
spira orientata γ. Se γ è
immersa in un mezzo
lineare:
γ=f(i)=Li
L è il coefficiente di
autoinduzione [Henry].Se
il verso di γ è concorde
con il verso di i, per i>0
γ>0 e per i<0 γ<0 →
L= γ/i>0

i>0
   B  ndS  f (i)
S
Bn  0
Esempi di realizzazione del
bipolo induttanza

Nella spira attraversata da i(t)
insorge la f.e.m. e(t):
e  d  / dt
in cui φγ è il flusso
d’autoinduzione Li.
LKT fornisce: v+e=Ri
Trascurando R:
v  d  / dt  0
di
vL
dt
Esempi di realizzazione del
bipolo induttanza
S
di
vL
dt
Esempio di realizzazione del
bipolo capacità
Dato il condensatore piano C la LKT fornisce:
v-vC=Ri≈0
C
v(t)
v=vC
q=cvC
dvC
dq
i
C
dt
dt
dv
iC
dt
Realizzazione di generatori di
tensione sinusoidale

  t
   B  ndS  ( B cos  )S  BS cos t


S
e
d 
dt
 BS  sin t


Richiami sulle funzioni
periodiche
Si dice periodica una
funzione del tempo y=f(t)
che assume valori che si
ripetono a "intervalli"
regolari T. Si ha:
f (t )  f (t  kT )
Si dice periodo il valore
minimo di T (se esiste)
che soddisfa tale
relazione.
%
Richiami sulle funzioni
periodiche
La frequenza è il numero di cicli in un secondo:
f=1/T
[Hertz]
La pulsazione è la quantità:
ω=2πf=2π/T [Rad/sec]
Si dice valore medio di f(t) nel periodo T la quantità:
1
Fm 
T
t o T
 f (t )dt
t0
indipendente da t0. Se Fm=0, f(t) si dice alternata o
alternativa. Si dice valore efficace di f:
1
F
T
t 0 T

t0
f 2 (t )dt
(valore quadratico medio)
Funzioni periodiche: significato
fisico del valore efficace
Regime periodico
Regime stazionario
p=vi=Ri2
P=VI=RI2
Energia assorbita nell’intervallo T
T
WP   Ri (t )dt
2
0
I 2 regimi sono equivalenti se WP=WS
T
WS   RI 2 dt  RI 2T
0
1
I
T
t 0 T
2
i
 (t )dt
t0
Circuiti in regime lentamente
variabile
Analisi dei circuiti in regime
sinusoidale
Grandezze sinusoidali
a(t )  AM sin( t   )
 /
 /
AM ampiezza
α fase
Valore efficace:
1
A
T
t 0 T
A
2
M
sin (t   )dt 
2
t0
Se f=50 Hz, T=20 ms,
ω=100π rad/s
a(t )  2 A sin( t   )
AM
2
Richiami sui numeri complessi
Rappresentazione geometrica
nel piano complesso
z è l’affissa complessa di P
Rappresentazione algebrica
z=x+jy
dove j è l’unità immaginaria
definita da j2=-1.
x è la parte reale di z
y la parte immaginaria
z è indicato anche come
(x ,y). P è l’immagine di z.
Gli assi x (asse reale) e y
(asse immaginario)
contengono le immagini di
tutti i numeri reali e
puramente immaginari.
%
Richiami sui numeri complessi
Rappresentazione vettoriale
di z sul piano complesso


Complesso coniugato di
z=x+jy:
z*=x-jy
Modulo di z:
z  OP    ( x 2  y 2 )
Argomento di z
(anomalia del vettore OP)
arg( z )    arctg ( y / x)
ρ e θ sono le coordinate
polari di z che si può
indicare anche come
z=[ρ, θ]
%
Richiami sui numeri complessi
x   cos 
Rappresentazione
trigonometrica di z=x+jy:
z=ρ(cosθ+jsin θ)
Per la formula di Eulero
ejθ=cosθ+jsinθ
si ha la formulazione
esponenziale complessa
di z:
y   sin 
z=[ρ, θ]= ρ ejθ


Operazioni sui numeri
complessi
SOMMA
z1  x1  jy1
z  z1  z 2
z 2  x2  jy2
z  z1  z2  ( x1  x2 )  j( y1  y2 )  x  jy
x  x1  x2
y  y1  y2
Prodotto di numeri complessi
Rappresentazione algebrica
z1  x1  jy1
z 2  x2  jy2
z  z1 z 2
z  z1 z 2  ( x1 x2  y1 y2 )  j( x1 y2  x2 y1 )
Rappresentazione polare
z1  [ 1 ,1 ]  1e
j1
z 2  [  2 , 2 ]   2 e j 2
z  z1 z 2  ( 1  2 )e j (1  2 )  e j  [  , ]
  12
  1   2
Divisione di numeri complessi
Rappresentazione algebrica
z1  x1  jy1
z
x
z 2  x2  jy2
z1
x  jy1 ( x1  jy1 )( x2  jy2 ) ( x1 x2  y1 y 2 )  j ( x2 y1  x1 y 2 )
 1


 x  jy
2
2
z 2 x2  jy2 ( x2  jy2 )( x2  jy2 )
x2  y 2
x1 x2  y1 y 2
x22  y 22
y
x2 y1  x1 y 2
x22  y 22
Rappresentazione polare
z1  [ 1 ,1 ]  1e j1
z 2  [  2 , 2 ]   2 e j 2
z  z1 / z 2  ( 1 /  2 )e j (1  2 )  e j  [  , ]
  1 /  2
  1   2
I vettori rotanti
La grandezza sinusoid.
a(t )  2 A sin( t   )
è compiutamente
identificata da A, α e ω,
come la grandezza:
a(t )  Ae
j (t  )
Si ha quindi una
corrispondenza biunivoca
tra le a(t) e le a(t ) . Si ha:
a(t )  2 Im[ a(t )]
a (t )
2
a (t )
I fasori
Fissata ω,
a(t )  2 A sin( t   )
A
è compiutamente
identificata da A e α,
come il fasore
α
definito da:
A  Ae j
a (t )  2 A sin( t   ) 
Si ha quindi una
corrispondenza biunivoca  2 Im[ Ae j (t  ) ]  2 Im[ Ae jt ]
tra le a(t) nel dominio del
tempo ed i fasori A nel
A  [a(t )]t 0
A A
campo complesso.
Relazioni di fase tra grandezze
sinusoidali
    0
a(t )  2 A sin( t   )
b(t )  2 B sin( t   )
b(t )  2 B sin( t     )
b(t) è sfasata in ritardo rispetto ad
a(t) dell’angolo φ
Relazioni di fase tra grandezze
sinusoidali
    0
    0
a(t )  2 A sin( t   )
b(t )  2 B sin( t   )
b(t )  2 B sin( t     )
a(t) è sfasata in anticipo rispetto a
b(t) dell’angolo │φ│
Relazioni di fase tra grandezze
sinusoidali
a(t )  2 A sin( t   )
b(t )  2 B sin( t   )
a(t) e b(t) sono in fase
Le operazioni sulle grandezze
sinusoidali
Date
a(t )  2 A sin( t   )  A  Ae j
b(t )  2 B sin( t   )  B  Be
C
B
j
c(t )  a(t )  b(t )  2 Im[ Ae jt ]  2 Im[ Be jt ] 
 2 Im[( A  B)e jt ]  2 Im[ Ce jt ]
A
dove:
C  A  B  Ce j
c(t )  2C sin( t   )
O
a(t )  A
b(t )  B
c(t )  a(t )  b(t )  C  A  B
Applicazione dei fasori nello studio delle reti
in regime sinusoidale
Date i1(t), i2(t) e i3(t) calcolare i(t).
i2 (t )  2 8 cos(t )
i (t )  12 sin( t  45)
1
i3 (t )  2 4,5 cos(t  27)
f (t )  2 F sin( t   )  F  Fe j
i1 (t )  12 sin( t  45)  2 ( 2 6) sin( t  45)
I 1  2 6e  j 45  6  j 6
i2 (t )  2 8 cos(t )  2 8 sin( t  90)
I 2  8e J 90  j8
i3 (t )  2 4,5 cos(t  27)  2 4,5 sin( t  63)
I 3  4,5e j 63  2  j 4
i(t )  i1 (t )  i2 (t )  i3 (t )
I  I 1  I 2  I 3  8  j 6  10e j 37
i (t )  210 sin( t  37)
Prodotto di una grandezza
sinusoidale per una costante
Date:
a(t )  2 A sin( t   )  A  Ae j
A
ed una costante reale k>0,
c(t )  ka(t )  2kAsin( t   )
c(t )  C  kAe j  k A
a (t )  A
c(t )  ka(t )  C  k A
C
α
Derivata temporale di una
grandezza sinusoidale
Data
a(t )  2 A sin( t   )  A  Ae j
da
d
c(t ) 
 2 Im[ Ae jt ] 
dt
dt
 2 Im[ j Ae
jt
A
C
]  2A cos(t   )
c(t )  C  j A
a (t )  A
da
c(t ) 
 C  j A
dt
α
Prodotto di un fasore per un
numero complesso
A  Ae j
 a(t )  2 A sin( t   )
D  De j
dove
D  D
D A  D  Aei (  )  C  Ce j
C  Ce j  c(t )  2C sin( t   )
C  D A
  
A  a (t )
D A  c(t )
Prodotto di grandezze
sinusoidali
a(t )  2 A sin( t   )
b(t )  2 B sin( t   )
c(t )  a(t )b(t )  2 A sin( t   ) 2 B sin( t   )
1
sin x sin y  cos( x  y )  cos( x  y )
2
c(t )  ABcos(   )  cos(2t     
Bipolo resistenza in
regime sinusoidale
v  Ri
Dominio dei fasori
V  Ve j
I  Ie
Dominio del tempo
I
v(t )  2V sin( t   ) i (t )  2 I sin( t     )
V
R
j (  )
 0
V  RI
I
V  V  j
  e
R R
z 
V
R
I
impedenza
Bipolo induttanza in
regime sinusoidale
Dominio dei fasori
V  Ve j
di
vL
dt
I  Ie j (  )
I
Dominio del tempo
v(t )  2V sin( t   )
i (t )  2 I sin( t   

2
)
V
V

L X
V  j L I
j  1 e
j


2
V
 V  j (  2 )
I

e
jL  L 


2
z 
V
 jL
I
impedenza
X  L
Reattanza
Bipolo capacità in
regime sinusoidale
Dominio dei fasori
V  Ve j
dv
iC
dt
Dominio del tempo
v(t )  2V sin( t   )
i (t )  2 I sin( t   
I  jCV
I  Ie j (  )
I

2
)
V
V

1 / C X
j  1 e
j

2

 V  j (  2 )
I 
e
 1 / C 


2
V
1
j
C
I
Impedenza
z 
1
C
Reattanza
X 
Bipolo R-L
in regime sinusoidale
Dominio del tempo
LKT
v  vR  vL  0
v  Ri  L
vR  Ri
di 
d
  R  L i
dt 
dt 
v(t )  2V sin( t   )
Dominio dei fasori
v(t )  V  Ve
V  ( R  jL) I
i (t )  I  Ie
j
z 
j (  )
V
 R  jL  R  jX
I
 L 
  arg( z )  arctg 

R


di
vL  L
dt
i (t )  2 I sin( t     )
d

 R  L   R  jL
dt 

z  ze j
V V j (  )
I  e
z z
 
z  z  R 2  (L) 2
I
V
z
%
Bipolo R-L
in regime sinusoidale
z
P (z )
φ=arctg(ωL/R)
Dominio del tempo
i (t )  2
V
R  (L)
2
2
sin t    arctg (L / R)
i(t) costituisce un integrale particolare
dell’equazione differenziale
v  Ri  L
di
dt
Bipolo R-L in regime
transitorio (v(t) sinusoidale)
L’integrale generale dell’equazione differenziale:
v  Ri  L
di
dt
i(t )  ket  i p (t ) dove ip(t) è un integrale particolare e λ è la
è
radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata R+λL=0

t / T
i (t )  ke
R
1

L
T
(T=L/R costante di tempo)
 2
V
R  (L)
2
lim t  ke t / T  0
2
sin t    arctg (L / R)
ke t / T
(trascurabile per t>5T)
%
Bipolo R-L in regime
transitorio (v(t) sinusoidale)
Se ad es. R=10 Ω, X=ωL=10 Ω, per f=50 Hz ω=100π rad/s,
L=0,1/π Henry, T=L/R=0,01/π=3,18 ms e dopo circa 16 ms
il termine transitorio ke-t/T è trascurabile.
Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0+ .
La corrente i nell’induttanza è una variabile di stato, per cui i(0+)=i(0-). Se
I0=[i(t)]t=0- imponendo i(0+)=I0 si ha:
k  I0  2
V
R  (L)
2
2
sin   arctg (L / R)
Se il circuito è inizialmente a riposo I0=0
%
Bipolo R-L in regime
transitorio (v(t) sinusoidale)
Bipolo R-C
in regime sinusoidale
Dominio del tempo
v  vR  vC  0
vR  Ri
v  Ri  vC
v  RC
i (t )  I  Ie j (  )
V  RI  V C
LKT
iC
dvC
dt
dvC
 vC
dt
v(t )  2V sin( t   ) i (t )  2 I sin( t     )
Dominio dei fasori
v(t )  V  Ve
j
1
VC  j
I
C
z  ze
j
1 

V  R j
I
C 

z  z  R  1 /(C )
2
2
z 
I  jCV C
V
1
 R j
 R  jX
C
I
 1 

 RC 
  arg( z )  arctg 
 
%
Bipolo R-C
in regime sinusoidale
1
C
z
Dominio del tempo
i (t )  2
vC (t )  2
V
R  1 /(C )
2
2
sin[ t    arctg (1 / RC )]
V
sin[ t    arctg (1 / RC )   / 2]
Cz
Bipolo R-C in regime
transitorio (v(t) sinusoidale)
v(t )  2V sin( t   )
v  Ri  vC
dvC
v  RC
 vC
dt
L’integrale generale dell’equazione differenziale è:
vc (t )  ket  vcp (t )
dove vcp(t) è un integrale particolare e λ è la
radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata RCλ+1=0

1
1

RC
T
(T=RC costante di tempo)
%
Bipolo R-C in regime
transitorio (v(t) sinusoidale)
V
 2
sin[ t    arctg (1 / RC )   / 2]
Cz
t / T
vC (t )  ke
Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0+ .
La tensione vC è una variabile di stato, per cui vC(0+)=vC (0-).
Se V0=[vC(t)]t=0- imponendo vC(0+)=V0 si ha:
V
k  V0  2
sin[   arctg (1 / RC )   / 2]
Cz
La i è data da:
i (t )  C
dvC
V
k
 2 sin[ t    arctg (1 / RC )]  C e t / T
dt
z
T
Se la capacità è inizialmente scarica V0=0.
%
Bipolo R-C in regime
transitorio (v(t) sinusoidale)
%
Bipoli R-L e R-C in regime
stazionario
v(t)=V (costante)
v(t)=V (costante)
vR=V
vR=0
i=V/R
vL=0
i=0
vC=V
Risposta del bipolo R-L
ad un gradino di tensione
v  Ri  L
di
dt
L’integrale generale dell’equazione è:
i (t )  ket / T  i p (t )  ket / T 
V
R
Imponendo i(0+)=i(0-)=0:
V
k  
R
i (t ) 

V
1  e t / T
R

T=L/R
Risposta del bipolo R-C
ad un gradino di tensione
v  Ri  vC
dvC
v  RC
 vC
dt
L’integrale generale dell’equazione è:
vc (t )  ket / T  vcp (t )  ket / T  V
Imponendo vc(0+)=vc(0-)=0 si ha k=-V.

vC (t )  V 1  e
t / T

dvC V t / T
i (t )  C
 e
dt
R
T=RC
Bipoli R,L,C
in regime sinusoidale
B=0
V
z   A  jB
I
R=A
 0
B>0
B<0
R=A
L  B
 0
R=A
1
 B
C
 0
Ammettenza di un bipolo
z
I 1
y  
V z
Ammettenza
z  R  jS
y 
1
R
S
 2

j
 G  jB
2
2
2
R  jS R  S
R S
[Ω-1]
Corrispondenza tra regime
stazionario e regime sinusoidale
Regime stazionario
Regime sinusoidale
z
V RI
I  GV
V  z I
I  yV
Corrispondenza tra regime
stazionario e regime sinusoidale
Regime stazionario
m
LKT
LKC
 () E
k
  (  ) Rk I k
1
m
r
1
k
m
m
1
 () I
Regime sinusoidale
  ( ) J k
1
LKT
 () E
m
k
1
1
m
LKC
 () I
1
  () zk I k
r
k
  (  ) J k
1
Corrispondenza tra regime
stazionario e regime sinusoidale
Regime stazionario
Regime sinusoidale
n
n
Millmann
V AB 
EG
i
i
1
n
G
i
1
 E y
i
Millmann V AB 
1
n
 y
1
i
i
Corrispondenza tra regime
stazionario e regime sinusoidale
Bipolo di Thévenin in
regime stazionario
Bipolo di Thévenin in
regime sinusoidale
z
V  E  RI
V  E  z I
Corrispondenza tra regime
stazionario e regime sinusoidale
Bipolo di Norton in
regime stazionario
Bipolo di Norton in
regime sinusoidale
z
V  R( J  I )
V  z ( J  I )
Impedenze in serie
n
V  V k
z1
z2
1
zn
V k  zk I
n
V  I  zk  zeq I
1
zeq
n
zeq   zk
1
Impedenze in parallelo
z1
zeq
z2
V  zeq I
zn
n
I  Ik
1
V
Ik 
 y k V
zk
zeq 
1
n
 1 z
1
n
I  V  y k  y eq V
1
zeq 
1

y eq
k
1
n
 y
1
k
Bipolo R-L-C e risonanza
Impedenza
L’impedenza del bipolo è:
1 

z  R  j  L 

C 

il bipolo è in risonanza se:
L 
1
 0    0 
C
1
LC
ω0 pulsazione di risonanza.
1 

2
z  z  R   L 

C 

2
Bipolo R-L-C e risonanza
Corrente
Valore efficace della
corrente
V  Ve j
Se
V
I   Ie j (  )
z
I
V

z
V
1 

2
R   L 

C 

2
Il valore massimo di I si ha per
ω=ω0 ed è pari a V/R
Bipolo R-L-C e risonanza. Fase
Lo sfasamento φ:
1 


L




C

  arg( z)  arctg 
R






φ<0 per ω<ω0 il bipolo è equivalente
a un bipolo R-C
φ=0 per ω=ω0 il bipolo è equivalente
al bipolo R
φ=0 per ω=ω0 il bipolo è equivalente
al bipolo R
Bipolo R-L-C e risonanza
Fattore di merito
I
Per ω=ω0 si ha:
V L  j0 L I
VL 
ω=ω0
0 L
R
VL  VC
V
V
R
1
VC  j
I
0C
1
VC 
V
0CR
Q
0 L
R
Q fattore di merito
VL VC
Q

V
V

1
0CR
Bipolo R-L-C e risonanza
Selettività
La potenza massima
assorbita dal bipolo si ha in
ω=ω0:
Pmax=RI2
In A e B la potenza P=Pmax/2.
Δω è la larghezza di banda.
Quanto più stretta è la banda
tanto più selettivo è il
bipolo. Al diminuire di R
cresce Q=ω0L/R e Δω
diminuisce.
Bipolo R-L-C e risonanza
Influenza di R