Circuiti in
regime sinusoidale
Parte 2
www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm
(versione del 27-10-2013)
Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale
v(t )  VM cos(t  V )
i(t )  I M cos(t   I )
  V   I
● Potenza assorbita dal bipolo
p(t )  v(t ) i(t )  VM cos(t  V )  I M cos(t   I ) 
1
VM I M cos(2t  V   I )  cos(V   I ) 
2
1
1
 VM I M cos(2t  V   I )  VM I M cos 
2
2

2
Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale
3
Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale
● La potenza è data dalla somma di un termine sinusoidale con
pulsazione 2 (potenza fluttuante) e di un termine costante
● Il termine costante rappresenta il valore medio sul periodo
della potenza istantanea
T
1
1
pm   p(t )dt  VM I M cos 
T 0
2
● L’ampiezza del termine oscillante è
1
VM I M
2
● Se la tensione e la corrente non sono in fase, esistono degli
intervalli in cui la potenza istantanea è negativa
4
Energia assorbita in un periodo
WT 
t 0 T
1
(
)
p
t
dt

p
T

VM I M T cos 
m
t
2
0
5
Fattore di potenza
● A parità di VM e IM il valore medio sul periodo della potenza istantanea
aumenta all’aumentare di cos
● cos è detto fattore di potenza
 Vale 1 se la tensione e la corrente sono in fase (  0)
 Aumentando || il fattore di potenza si riduce fino ad annullarsi
quando tensione e corrente sono in quadratura
 Per || > 2 il fattore di potenza diventa negativo e vale 1 se la
tensione e la corrente sono in opposizione di fase
● cos  0  in ogni periodo l’energia assorbita dal bipolo è  0
● cos  0  in ogni periodo l’energia assorbita dal bipolo è  0
 questa condizione si può verificare solo se il bipolo è attivo
 per un bipolo passivo si ha necessariamente cos  0
6
Potenza assorbita da un resistore
1
p(t )  VM I M 1  cos2t  2V 
2
1
1
1
  0  pm  VM I M  RI M2  GVM2
2
2
2
7
Potenza assorbita da un induttore
1
 1



p(t )  VM I M cos 2t  2V    LI M2 cos 2t  2V  
2
2 2
2



1

 pm  VM I M cos   0 Il valore medio sul periodo è nullo
2
2
8
Potenza assorbita da un condensatore

1
 1


p(t )  VM I M cos 2t  2V    CVM2 cos 2t  2V  
2
2 2
2



1
    pm  VM I M cos   0 Il valore medio sul periodo è nullo
2
2
9
Componenti attiva e reattiva della corrente
● Nel caso generale, si può scomporre la corrente istantanea nella
somma di due termini:
 uno in fase con la tensione (come nei resistori)
 componente attiva: iA(t)
 uno in quadratura con la tensione (come negli induttori e nei
condensatori)
 componente reattiva: iR(t)
i(t )  I M cos(t   I ) 
 I M cos[(t  V )  (V   I )] 



 I M cos  cos(t  V )  I M sen  sen(t  V ) 
 I M cos  cos(t  V )  I M sen  cos(t  V   / 2)
 


i A (t )
i R (t )
10
Componenti attiva e reattiva della corrente
Rappresentazione nel piano complesso
I A  I M cos  e jV
I R  I M sen  e


j  V  
2

  j I M sen  e jV
11
Potenza istantanea attiva e reattiva
● Scomposizione della potenza istantanea
p(t )  v(t )i A (t )  i R (t )  v(t ) i A (t )  v(t ) i R (t )  p A (t )  p R (t )
● Potenza istantanea attiva
p A (t )  VM cos(t  V )  I M cos  cos(t  V ) 
 VM I M cos  cos(t  V ) 
2

1
VM I M cos  1  cos(2t  2V )
2
● Potenza istantanea reattiva
p R (t )  VM cos(t  V )  I M sen  sen(t  V ) 
1
 VM I M sen  sen(2t  2V )
2
12
Potenza istantanea attiva e reattiva
13
Potenza istantanea attiva e reattiva
● La potenza istantanea attiva non cambia mai segno
(se cos > 0 è sempre  0)
 il valore medio sul periodo coincide con quello della potenza
istantanea: 12 VM I M cos 
 flusso unidirezionale di energia
(se cos > 0 l’energia è assorbita dal bipolo e convertita in energia
di tipo diverso, quindi sottratta al circuito)
● La potenza istantanea reattiva è una funzione sinusoidale del tempo
con pulsazione 2
 il valore medio sul periodo è nullo
 flusso bidirezionale di energia
(accumulata nel bipolo e poi restituita al circuito)
14
Potenza attiva
● Potenza attiva:
valore medio sul periodo della potenza istantanea attiva
= valore medio sul periodo della potenza istantanea
(unità di misura watt, W)
T
T
1
1
1
P   p A (t )dt   p(t )dt  VM I M cos 
T 0
T 0
2
15
Potenza reattiva
● Potenza reattiva: valore massimo della potenza istantanea
reattiva col segno di 
1
Q  maxp R (t )sgn()  VM I M sen 
2
● L’unità di misura della potenza reattiva è il volt-ampere reattivo
(VAR)
● Q è un indice dell’entità degli scambi energetici associati alla
potenza istantanea reattiva
● Convenzionalmente si attribuisce
 segno  alla potenza reattiva assorbita dagli induttori
 segno  alla potenza reattiva assorbita dai condensatori
16
Potenza apparente
● Potenza apparente: è definita dalla relazione
1
S  VM I M
2
● L’unità di misura della potenza apparente è il volt-ampere (VA)
● La potenza apparente coincide con l’ampiezza del termine
oscillante della potenza istantanea
● S è determinata dalle ampiezze della tensione e della corrente
● Fornisce una misura della sollecitazione a cui è sottoposto il
bipolo (massima tensione e massima corrente)
17
Triangolo delle potenze
● Rappresentazione grafica delle relazioni tra potenza attiva
reattiva e apparente
S  P2  Q2
P  S cos 
Q  S sen 
Q  P tg 
18
Potenza complessa
● Si definisce potenza complessa la quantità
N
1 *
VI
2
(I* indica il coniugato di I)
● Inserendo le espressioni di V e I si ottiene
1
1
VM e jV  I M e  j I  VM I M e j 
2
2
1
1
 VM I M cos   j VM I M sen   P  jQ
2
2
N
 Quindi si ha
1
ReN   VM I M cos   P
2
1
ImN   VM I M sen   Q
2
1
N  VM I M  S
2
arg(N)  
19
Conservazione delle potenze complesse
(Teorema di Boucherot)
● Ipotesi:
 Circuito con l lati
 Versi di riferimento scelti per tutti i lati secondo la convenzione
dell’utilizzatore
 Condizioni di regime sinusoidale
 Vk, Ik (k  1, ..., l)  fasori delle tensioni e delle correnti
 La somma delle potenze complesse assorbite dai componenti del
circuito è nulla
 Le somme delle potenze attive e delle potenze reattive assorbite dai
componenti sono nulle
1
N k   Vk I *k  0 

k 1
k 1 2
l
l
l
P
k 1
k
0
l
Q
k 1
k
0
● Dimostrazione:
 I fasori Vk e Ik soddisfano le leggi di Kirchhoff. Se i fasori delle
correnti soddisfano la LKI, anche i loro coniugati la soddisfano
 La proprietà deriva direttamente dal teorema di Tellegen
20
Additività delle potenze complesse
● Si assume che il lato l del circuito sia costituito da un bipolo
● Si divide il circuito in due parti
 una formata dal solo lato l
 una formata dagli altri lati (che complessivamente costituiscono un
bipolo)
● Per il teorema di Boucherot vale la relazione
l 1
l 1
l 1
k 1
k 1
k 1
 N l   N k   Pl   Pk ,  Ql   Qk
● Nl è la potenza erogata dal bipolo l, cioè la potenza assorbita dal
bipolo formato dagli altri componenti
 La potenza complessa assorbita da un bipolo formato da più componenti collegati tra loro è pari alla somma delle potenze assorbite dai
singoli componenti
 La stessa proprietà vale per le potenze attive e per le potenze reattive
21
Potenza complessa in funzione di Z e Y
V  ZI  ( R  jX )I
I  YV  (G  jB)V
1
1 * 1
1
1
2
2
VI  ZII*  Z I  V (YV )*  Y * V
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
P  Re  Z I   R I  Re  Y * V   G V
2
 2
2
 2
N
1
1
2
2
2
2
1
1
Q  Im Z I   X I  Im Y * V    B V
2
2
 2
2

P  0  R  0, G  0
Q  0  X  0, B  0
22
Segni delle parti reali e immaginarie di Z e Y
● Si considera un bipolo formato da componenti R, L, C passivi
● Dalle espressioni delle potenze complesse in funzione di Z e Y e dalla
proprietà di additività delle potenze, a seconda del tipo di componenti
contenuti nel bipolo, si ricavano le seguenti condizioni:
Re[Z] Im[Z] Re[Y] Im[Y]
Componenti
P
Q
R






L






C






R-L






R-C






L-C

R-L-C








23
Valori efficaci
● Si definisce valore efficace o valore r.m.s. (root mean square) di
una funzione a(t) periodica di periodo T la quantità
T
1 2
Aeff 
a (t )dt
T 0
● In particolare, se a(t) è sinusoidale, risulta
Aeff 


2
2

A
2
M
cos 2 (t  )dt 
0
 A
2 2
2
M
2

 [1  cos(2t  2)]dt 
0
AM
2
24
Valori efficaci
● Espressioni della potenza attiva e reattiva in funzione dei valori efficaci
1
V I
P  VM I M cos   M M cos   Veff I eff cos 
2
2 2
1
Q  VM I M sen   Veff I eff sen 
2
● Potenza assorbita da un resistore
P  RI eff2  GVeff2
 Il valore efficace di una tensione (corrente) sinusoidale corrisponde al
valore di una tensione (corrente) costante che applicata a un resistore
dà luogo ad una dissipazione di potenza pari al valore medio sul
periodo della potenza assorbita dal resistore in regime sinusoidale
25
Valori efficaci
● E’ possibile definire la trasformata di Steinmetz anche facendo
riferimento ai valori efficaci invece che ai valori massimi
A e  Se a(t ) 
AM j AM
e 
(cos   j sen )
2
2
a(t )  Se1 A e   Re[ 2 A e e jt ]  Re[ AM e j ( t   ) ]  AM cos(t  )
● La trasformata così definita conserva le stesse proprietà della
trasformata basata sui valori massimi
● Le impedenze e le ammettenze (essendo definite come rapporti
tra fasori) non cambiano se si fa riferimento ai valori efficaci
● L’espressione della potenza complessa diviene
N  Ve I *e
26
Trasformatore ideale in regime sinusoidale
v1  kv2
V1  kV2
1
i1   i2
k
1
I1   I 2
k
● Le tensioni alla porta 1 e alla porta 2 sono in fase tra loro
● Le correnti alla porta 1 e alla porta 2 sono in opposizione di fase
27
Trasformazione dell’impedenza di carico
V1  kV2
1
I1   I 2
k
V2  Z C I 2
V1  kZ C I 2  k 2 Z C I1
Z eq 
V1
 k 2ZC
I1
L’impedenza equivalente di un trasformatore ideale con il secondario
caricato da un’impedenza ZC è pari all’impedenza di carico
moltiplicata k2
28
Trasferimento di impedenza (1)
V1  kV2  k V2  ZI 2 
I 2  kI1
V1  k
V2  k 2 ZI1
 V
1
Un’impedenza in serie al secondario può essere portata in serie
al primario moltiplicata per k2
29
Trasferimento di impedenza (2)
V 
1
1
I1   I2    I 2  2 
Z
k
k
V2 
1
V1
k
1
V
I1   I 2  2 1
k k Z

 I
1
Un’impedenza in parallelo al secondario può essere portata in
parallelo al primario moltiplicata per k2
30
Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva
● Si considera un bipolo formato da un generatore di tensione
sinusoidale VG in serie con un’impedenza Z caricato da
un’impedenza ZC
Z  R  jX
Z C  RC  jX C
 Al variare di ZC, la potenza attiva ceduta al carico è massima
quando vale la condizione ZC Z* (adattamento coniugato)
 In queste condizioni la potenza attiva (potenza disponibile) vale
Pd 
2
VG
8R

VGeff
2
4R
31
Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva
dimostrazione (1)
● Corrente e tensione nel carico
I
VG
Z  ZC
V
VG Z C
Z  ZC
● Potenza attiva ceduta al carico
 VG ReZ C 
 1 VG Z C
VG RC
VG*
PC  Re 


*
2
2
2


2
2
[(
R

R
)

(
X

X
)
]
Z

Z


Z

Z
2

Z
Z
C
C
C
C


C
2
2
● Al variare di XC il denominatore è minimo (e quindi PC è massimo) se
XC  X
● In queste condizioni
PC 
VG
2
2
RC
( R  RC ) 2
32
Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva
dimostrazione (2)
● Al variare di PC il massimo si ottiene per
2
VG ( R  RC ) 2  2 RC ( R  RC )
PC

0
RC
2
( R  RC ) 4
cioè RC  R infatti:
 PC è positivo per RC > 0 e si annulla per R  0 e R  
 la derivata di PC si annulla solo per RC  R
 questo punto deve corrispondere a un massimo
 Quindi deve essere RC  R, XC  X  ZC Z*
● In queste condizioni si ha
PC max  Pd 
VG
2
2
VG
R

( R  R) 2
8R
2
33
Rendimento
● In condizioni di adattamento coniugato la potenza attiva erogata dal
generatore vale
2
1  VG*  VG
PG  Re VG

2  2R  4R
 Il rendimento  definito come
rapporto tra la potenza attiva
erogata dal generatore e la
potenza attiva ceduta al carico è
2
V
P
4R
 C  G
 0.5
PG
8 R VG 2
 La condizione di adattamento coniugato non rappresenta una soluzione
ottimale nel caso in cui è importante ottenere rendimenti elevati
34
Adattamento del carico
● Se il valore dell’impedenza di carico non può essere scelto liberamente,
si può realizzare la condizione di adattamento coniugato inserendo tra il
bipolo VG-Z e il carico una rete a due porte tale che l’impedenza Zin
vista all’ingresso della porta 1 sia pari a Z* (rete di adattamento)
● Poiché si vuole che la potenza attiva erogata dal bipolo VG-Z sia
assorbita dall’impedenza ZC, la rete di adattamento deve essere
formata esclusivamente da componenti privi di perdite (come
condensatori induttori, e trasformatori ideali)
35
Esempio (1)
● Un possibile metodo per realizzare l’adattatore consiste nell’utilizzare
un trasformatore ideale e un bipolo puramente reattivo
● I valori di k e X1 devono essere scelti in modo che Zin  Z*
Z in  jX 1  k 2 Z C  k 2 RC  j (k 2 X C  X 1 )
Z in  k 2 (Z C  jX 1 )  k 2 RC  jk 2 ( X C  X 1 )
36
Esempio (2)
● Se il bipolo reattivo è collegato in parallelo a una porta del trasformatore
è più semplice porre la condizione nella forma Yin  Y*
Yin  jB1 
Yin 
YC GC
 BC



j
 2  B1 
2
2
k
k
k

BC  B1
YC  jB1 GC
j


k2
k2
k2
37
Rifasamento
● Distribuzione dell’energia elettrica (schema semplificato)
Linea di distribuzione
Generatore
Utilizzatore
● Impedenza equivalente della linea: Z L  RL  jX L
● Condizioni di funzionamento ottimali:
 Ampiezza della tensione sul carico praticamente indipendente dalla
corrente (normalmente gli utilizzatori sono progettati facendo
riferimento a un valore nominale della tensione  sono tollerati
scostamenti di pochi percento dal valore nominale prefissato)
 Minima dissipazione di potenza nella linea
38
Rifasamento
Linea di distribuzione
Utilizzatore
Generatore
● Al crescere dell’ampiezza della corrente I nella linea
 si riduce l’ampiezza della tensione sul V carico
VM  V  VG  Z L I
 aumentano le perdite per effetto Joule lungo la linea
PL 
1
RL I M2
2
39
Rifasamento
● Fissata l’ampiezza tensione VM, a parità di potenza attiva P assorbita
dal carico l’ampiezza della corrente è inversamente proporzionale al
fattore di potenza
IM 
2P
VM cos 
 L’ampiezza della componente attiva della
corrente è fissata dal valore della potenza
attiva
 Al diminuire del fattore di potenza (cioè
all’aumentare dell’angolo ) aumenta
l’ampiezza della componente reattiva
della corrente (e quindi l’ampiezza della
corrente totale)
 Per ridurre le perdite occorre aumentare il fattore di potenza del carico
40
Rifasamento
● Un basso fattore di potenza risulta svantaggioso per il fornitore di
energia elettrica
 Se il valore medio mensile del fattore di potenza risulta inferiore a certi
limiti vengono applicate delle maggiorazioni sul costo dell’energia
● Le norme attuali, per impianti a bassa tensione con potenza impegnata
 15 kW, prevedono:
 per cos  0.9  nessuna penale
 per 0.7  cos  0.9  pagamento di una penale commisurata al
rapporto tra l’integrale della potenza reattiva (energia reattiva) e
quello della potenza attiva (energia attiva) nel periodo di fatturazione
 i limiti sono prossimi ai valori di cos per cui l’energia attiva e
quella reattiva sono uguali (cos  0.707) e l’energia reattiva è
pari al 50% dell’energia attiva (cos  0.894)
 per cos < 0.7  obbligo da parte dell’utente di prendere provvedimenti per aumentare il fattore di potenza
41
Rifasamento
● Per aumentare il fattore di potenza si ricorre al rifasamento del carico
● Si collega in parallelo all’utilizzatore un bipolo puramente reattivo con
reattanza di segno opposto a quella del utilizzatore stesso
● Se il carico è ohmico-induttivo  XU  0,  (caso più comune)
la reattanza XR deve essere negativa ( condensatore)
42
Rifasamento
● Dimensionando opportunamente la reattanza XR si può fare in modo che
 gli scambi di potenza reattiva avvengano prevalentemente tra il
carico e il bipolo di rifasamento, riducendo gli scambi di potenza
reattiva con il generatore
 la componente reattiva IR della corrente nel carico circoli prevalentemente nel bipolo di rifasamento, riducendo l’ampiezza della corrente reattiva IR nella linea
43
Rifasamento
● La potenza reattiva assorbita complessivamente dal carico e dal bipolo
di rifasamento è
Q  Q  QR
● Per portare il fattore di potenza da cos ad un valore accettabile cos
la potenza reattiva assorbita dal bipolo di rifasamento deve essere
QR  (Q  Q)  P(tg  tg)
● Se il bipolo di rifasamento è un condensatore (capacità = CR) si ha
1
QR   CRVM2
2
 Quindi la capacità di rifasamento vale
CR 
2 P(tg   tg ) P(tg   tg )

Veff2
VM2
44
Risonanza serie
● Bipolo RLC serie in regime sinusoidale
● Si studia il comportamento del bipolo al variare della pulsazione 
Z  R  j L 
1
1 

 R  j  L 

jC
C 

1 

Z  R 2   L 

C 

2
arg(Z)  arctg
● Pulsazione di risonanza: 0 
● Per   0
1
C
L 
R
1
LC
 Im[Z]  0
 |Z| è minimo
 arg(Z)  0
45
Risonanza serie
1 

Z  R  j  L 


C


1 

Z  R   L 

C 

2
2
●   prevale la reattanza capacitiva
●   prevale la reattanza induttiva
●   la reattanza si annulla
46
Risonanza serie
arg(Z)  arctg
L 
1
C
R
●   la corrente è in anticipo sulla tensione
●   la tensione è in anticipo sulla corrente
●   la tensione e la corrente sono in fase
47
Risonanza serie
48
Risonanza serie
● Potenza complessa assorbita:
N
1
1
1  2
2
Z I   R  j (L 
) IM
2
2
C 
1 2
RI M
2
1
1 2
● Potenza reattiva: Q  LI M2 
IM
2
2 C
   Q  0
   Q  0
   Q  0
● Potenza attiva:
P
49
Risonanza serie
● Corrente nell’induttore: i L (t )  i(t )  I M cos(t   I )
2
2
2
1
1
 Energia nell’induttore: w L (t )  2 L i (t )  2 LI M cos (t   I )
1 I  v (t )  1 I sen(t   )
● Tensione del condensatore: VC   j
C
M
I
C
C
 Energia nel condensatore:
w C (t )  12 C v C2 (t ) 
1
I M2 sen 2 (t   I )
2
2 C
● In condizioni di risonanza:
w C (t ) 
1
I M2 0 sen 2 (0t   I )  12 LI M2 0 sen 2 (0t   I )
2
20 C
2
 w L (t )  w C (t )  12 LI M 0
 In condizioni di risonanza l’energia totale accumulata
nel bipolo RLC si mantiene costante
50
Fattore di merito
● In condizioni di risonanza, si definisce fattore di merito la quantità
Q0  2
Energia accumulata
Energia dissipata in un periodo
● Per un bipolo RLC serie, se l’ampiezza della corrente in condizioni di
risonanza è IM0 si ottiene
L
1
LI M2 0
 0 
Q0  2 1 2
R
0 RC
2 RI M 0  T0
1
2

2 
 T0 


0 

● L’espressione dell’impedenza del bipolo può essere posta nella forma
1 


Z  R  j  L 
  R 1 
C 



  0 
1 
 L
R
1
jQ


j



0
    
R
RC



 0


51
Curve di risonanza
● Per caratterizzare la risposta in frequenza di un bipolo RLC serie,
di solito si considera la funzione di trasferimento
H( ) 
VR R
 
V Z
1
  
1  jQ0   0 
 0  
● Se V è fissato, H rappresenta anche il rapporto tra la corrente nel
bipolo al variare di  e la corrente in condizioni di risonanza I0
H( ) 
I
I0
52
Curve di risonanza
53
Curve di risonanza
54
Larghezza di banda
● Se V è fissato, l’ampiezza della corrente nel bipolo, e quindi la potenza
attiva assorbita, sono massime per 0
● In queste condizioni si ha
1 VM2 1 2
P0 
 RI M 0
2 R 2
● La potenza attiva assorbita può essere espressa in funzione di  come
P
1 2 1
2
2
RI M  R H( ) I M2 0  H( ) P0
2
2
● Larghezza di banda (a metà potenza), B: ampiezza dell’intervallo
compreso tra le pulsazioni 1 e 2 per cui risulta P = P0/2
B  2  1
● All’aumentare di Q0 il modulo di H() presenta un picco sempre più
stretto nell’intorno di 0
 La larghezza di banda diminuisce con l’aumentare del fattore di merito
55
Larghezza di banda
● La potenza attiva assorbita dal bipolo vale P = P0/2 se è verificata la
relazione
  
Q0   0   1
 0  
2 
0
  02  0
Q0
● Le soluzioni positive di questa equazione sono
 1
1
1 , 2  0  
 1
2
2
Q
4
Q
0
o

 Quindi si ha
0
Q0




L
 02 RC
R
● Per valori sufficientemente elevati di Q0 (in pratica per Q0 ≥ 10), si può
B  2  1 
B
ritenere

B
1 
  0 
1 , 2  0 1 
2
 2Q0 
56
Risonanza parallelo
● Bipolo RLC parallelo in regime sinusoidale
● Si studia il comportamento del bipolo al variare della pulsazione 
Y  G  jC 
1
1 

 G  j  C 

j L
L 

1 

Y  G 2   C 

L 

2
arg(Y)  arctg
● Pulsazione di risonanza: 0 
● Per   0
1
L
C 
G
1
LC
 Im[Y]  0
 |Y| è minimo
 arg(Y)  0
57
Risonanza parallelo
1 

Y  G  j  C 


L


1 

Y  G   C 

L 

2
2
●   prevale la suscettanza induttiva
●   prevale la suscettanza capacitiva
●   la suscettanza si annulla
58
Risonanza parallelo
arg(Y)  arctg
C 
1
L
G
●   la tensione è in anticipo sulla corrente
●   la corrente è in anticipo sulla tensione
●   la tensione e la corrente sono in fase
59
Risonanza parallelo
60
Risonanza parallelo
● Potenza complessa assorbita: N 
1 * 2 1
1  2
Y V  G  j (C 
) VM
2
2
L 
1
P  GVM2
2
1
1
● Potenza reattiva: Q 
VM2  CVM2
2L
2
   Q  0
   Q  0
   Q  0
● Potenza attiva:
61
Risonanza parallelo
● Tensione del condensatore: v C (t )  v(t )  VM cos(t  V )
2
2
2
1
1
 Energia nel condensatore: w C (t )  2 C v (t )  2 CVM cos (t  V )
1 V  i (t )  1 V sen(t   )
● Corrente nell’induttore: I L   j
L
M
V
L
L
 Energia nell’induttore:
w L (t )  12 L i 2L (t ) 
1
VM2 sen 2 (t  V )
2
2 L
● In condizioni di risonanza:
w L (t ) 
1
VM2 0 sen 2 ( 0t  V )  12 CVM2 0 sen 2 ( 0t  V )
2
20 L
2
 w L (t )  w C (t )  12 CVM 0
 In condizioni di risonanza l’energia totale accumulata nel bipolo RLC si
mantiene costante
62
Fattore di merito
● Per un bipolo RLC parallelo il fattore di merito è
CVM2 0
0C
1
Q0  2 1


2
G
0 LG
2 GVM 0  T0
1
2
 In questo caso l’ammettenza può essere espressa come
1 


Y  G  j  C 
  G 1 
L 



  0 
1 
 C
j
G
1
jQ


 



0

 G LG 
 0  

63
Larghezza di banda
● Per caratterizzare la risposta in frequenza di un bipolo RLC serie,
di solito si considera la funzione di trasferimento
H( ) 
IR G
 
I Y
1
  
1  jQ0   0 
 0  
● Se I è fissato, H rappresenta anche il rapporto tra la tensione nel bipolo
al variare di  e la tensione in condizioni di risonanza V0
H( ) 
V
V0
● L’andamento di H in funzione di  coincide con quello visto per il bipolo
RLC serie
● La larghezza di banda in questo caso vale
B
0 C
  02 LG
Q0 G
64