Segnali e Sistemi
• Un segnale è una qualsiasi grandezza che
evolve nel tempo.
• Sono funzioni che hanno come dominio il
tempo e codominio l’insieme di tutti i valori
che può assumere la grandezza
• I sistemi trasformano uno o più segnali in
ingresso in uno o più segnali in uscita.
– Operatore che trasforma una funzione del
tempo in una funzione del tempo
1
Proprietà dei sistemi ed operatori
• Linearità:
• Invarianza temporale: (L’effetto non dipende
dall’istante di aplicazione della causa)
• Causalità:
 t  t0
 t  t0
2
Proprietà dei sistemi ed operatori
• Un sistema è causale se i segnali d’uscita
precedenti a tO non dipendono dai valori
assunti dopo tO
• I sistemi sono generalmente tempo varianti e
non-lineari. La ipotesi di sistemi lineari e
temporalmente invariabili è utilizzabile in
prima approssimazione.
3
Circuiti Elettronici
• Una rete elettrica è un sistema costituito da
componenti connessi
– resistori, condensatori, induttori, generatori
tensione e corrente, diodi, transistori,…
• Un circuito con N nodi ed R rami con L
generatori di tensione ed M generatori di
corrente associa alle tensioni e correnti di
ingresso le tensioni di tutti i nodi e le correnti
di tutti i rami
4
Bipoli
• I componenti circuitali si
possono classificare in base al
numero dei terminali
• I più semplici sono i BIPOLI
• Lo stato di un bipolo è
caratterizzato da due
grandezze: tensione e
corrente
5
Versi coordinati di tensione e corrente
• I versi di tensione e corrente vanno scelti in
modo che il prodotto
sia pari alla
potenza assorbita
6
Relazione costitutiva del bipolo
• relazione tra corrente che attraversa e tensione ai
capi
• se la conoscenza di v consente di ricavare i
• La conoscenza di i consente di ricavare v
7
Relazione costitutiva
• In generale i bipoli definiscono sia Z che W
– eccezione: generatori di corrente e
tensione
8
Proprietà del bipolo
• Le proprietà del bipolo dipendono dalle
proprietà degli operatori Z e W
– in particolare:
• linearità
• invarianza temporale
• causalità
9
Bipoli istantanei (senza memoria)
• corrente e tensione sono determinabili,
univocamente, nel medesimo istante
– istantaneo: corrente e tensione dipendono solo dai
valori al tempo t.
• La relazione tensione corrente è una funzione
rappresentata in un piano (v,i)
– Tale funzione è denominata caratteristica del del bipolo
• Sono causali e tempo invarianti
• Lineari se:
10
Bipolo non istantaneo
•
•
un bipolo non istantaneo è detto “con
memoria” perché per determinare v o i al
tempo tO occorre conoscere i valori nei
tempi precedenti.
“sistemi dinamici”
11
Bipoli ideali:
generatore ideale di Tensione
• relazione costitutiva
– dove f non dipende da altre grandezze
elettriche del circuito
12
Generatori ideali di tensione
• Fisicamente non realizzabili
V1
V2
13
Bipoli ideali:
generatore ideale di Corrente
• relazione costitutiva
– dove f non dipende da altre grandezze
elettriche del circuito
14
Generatori ideali di Corrente
• Fisicamente non realizzabili
I1
I2
15
Resistore Ideale
• relazione costitutiva
• unità:  Ohm
• bipolo lineare, istantaneo, tempo
invariante
• potenza assorbita (eff. Joule):
16
Condensatore Ideale
• relazione costitutiva
• unità F: Farad ([F]=[-1s])
• bipolo lineare, tempo-invariante, con
memoria
• V=cost.  I=0.
17
Condensatore Ideale
• elemento inerziale:
– si oppone alle variazioni della tensione ai
suoi capi
I<Imax
La limitazione sulla massima corrente
erogata limita la variazione della tensione
nel tempo.
18
Condensatore Ideale
• può assorbire e cedere energia ma non
dissipare.
• Energia immagazzinata:
19
Condensatore Ideale
• calcolo energia:
20
Condensatore Ideale
• calcolo energia:
– considerando v=0 a t=tO
• a cui corrisponde E=0
• Densità volumetrica
di energia
S ε
C
d
– condensatore piano
Campo elettrico
21
Induttanza Ideale
• relazione costitutiva
• unità H: Henry ([H]=[s])
• bipolo lineare, tempo-invariante, con memoria
• I=cost.  V=0.
22
Induttanza Ideale
• elemento inerziale:
– si oppone alle variazioni della corrente che
la attraversa
V<Vmax
La limitazione sulla massima tensione
erogata limita la variazione della
corrente.
23
Induttanza Ideale
• può assorbire e cedere energia ma non
dissipare.
• Energia immagazzinata:
24
Induttanza Ideale
• calcolo energia:
25
Induttanza Ideale
• calcolo energia:
– considerando i=0 a t=tO
• a cui corrisponde E=0
• Densità volumetrica di
energia
– interna alle spire
26
Calcolo energia per volume
  n  BS  n   H S
in
H
l
2

n   H S
n  S i  n
 S n
L 


i
i
i
l
l
i2  S  n 2 i2
lH

EL  L 
V  Sl; i 

2
l
2
n 

n V l H
EL 
l2
2 n2
2
2
2

E L 1
   H2
V
2
27
Linearizzazione di bipoli istantanei
• Un generico bipolo istantaneo non-lineare può
essere linearizzato attorno ad un punto di lavoro
(Vo,Io)  caso della tensione
V(I 0 )
V  V(I)  V  V(I 0 ) 
 (I  I 0 )
I
V(I 0 )
V(I 0 )
v  V(I)  V(I 0 ) 
 (I  I 0 ) 
i
I
I
V(I 0 )
R
I
28
Linearizzazione di bipoli istantanei
• Un generico bipolo istantaneo non-lineare può
essere linearizzato attorno ad un punto di lavoro
(Vo,Io)  caso della corrente
I(V0 )
I  I(V)  I  I(V0 ) 
 (V  V0 )
V
I(V0 )
I(V0 )
i  I(V)  I(V0 ) 
 (V  V0 ) 
v
V
V
V(I 0 )
R
I
29
Generatori di tensione reali
• Circuito equivalente
VO: generatore ideale, R resistenza interna
v  V0
RL
1
 V0
RL  R

R 
1 

 RL 
30
Generatori di Corrente reali
• Circuito equivalente
IO: generatore ideale, R resistenza interna
R RL
R
1
i  I 0
 I 0
 I 0
R  R L R L
R  R L 
 RL 
1 

R 

31
Resistore reale
• La relazione ideale (legge di Ohm) vale nei
metalli fino a che l’effetto Joule non introduce
deviazioni dalla linearità.
• Dipendenza di R dal materiale (r) e dalla
geometria (L,s).
32
Resistore reale
• circuito equivalente
33
Condensatore Reale
• circuito equivalente
perdita del dielettrico
contatti
34
Induttore Reale
• Circuito Equivalente
– R: resistenza del filo
35
Induttore reale
• calcolo del coefficiente di autoinduzione di un
solenoide
– induzione magnetica: B0  μ0  i n
• n=numero spire, i=corrente, :
permeabilità magnetica
• nel vuoto:
– fem indotta (legge di Faraday-Neumann)
v(i)  
d (B)
dt
36
Induttanza reale
• calcolo coefficiente autoinduzione:
 B L  i t 
 B B n  S   i  n n  S   n2  S i
L    n2  S
– esempio: r=1cm, l=5cm, n=100spire/cm
n  n  l ; S  2  r
2
L    n  l  2  r
2
2
2
37
Induzione Elettromagnetica
– In un circuito elettrico, ogni volta che varia
il flusso magnetico concatenato, si
manifesta un fem indotta
d
vi  
dt
legge di Lenz: la fem indotta è tale
da opporsi alla corrente che genera il
flusso magnetico
38
Autoinduzione
• ogni circuito elettrico, percorso da corrente,
determina un campo magnetico le cui linee di forza
sono sempre concatenate col circuito stesso.
• Se la corrente varia nel tempo, varia nel tempo il
flusso magnetico concatenato, quindi si genera un
fem indotta.
  Li
• L: coefficiente di autoinduzione: induttanza
39
fem di autoinduzione
d  L  di;
d
di
vi  
 L
dt
dt
di
vi  L  R  i
dt
vi
40
espressione di L
• solenoide: avvolgimento su un nucleo di
permeabilità magnetica 
  B  S    H  S;
l
n
H I
l
S
n
c  n  
  n2  S
l
2
 n S
L c 
I
l
I
41
circuito RC
uscita su R
VA
VA
2
1
Vo
Vo
VB
1
C
R
Vu
1
2
12
t
21
Vu
Vo
• Inerzia del condensatore: non
cambia la v istantaneamente
Vu= VB- VA
t
-Vo
42
circuito RC
uscita su R
vu  R i;
2
1
1
Vo 
C
C
R
Vo
• io corrente iniziale
– il condensatore non potendo
cambiare istantaneamente
carica (quindi V) all’inizio è
come un corto circuito
Vu
t
 i  dt R i;
0
dVo
1
di
0  i R ;
dt
C
dt
di
1
i
t

dt  ln  
;
i
RC
iO
RC

t
RC ;
Vo
 i  iO  e
iO 
R
t
V  t 

vu  R i  R  o  e RC Vo43 e RC
 R



Il condensatore blocca la componente DC
VA
Vo
valor medio diverso da 0
t
Vu
Vo
valor medio uguale a da 0
t
-Vo
44
circuito differenziatore
• nell’ipotesi in cui R e C siano piccoli:
vu  R i;
1
Vo 
C
t
 i  dt R i;
0
dVo 1
di
 i  R ;
dt
C
dt
dVo
i  C
;
dt
dVo
vu  R C 
dt
45
circuito RC
uscita su C
VA
Vo
R
2
1
1
Vo
C
VA
Vu
VB
1
2
12
t
21
Vu
Vo
• Inerzia del condensatore: non
cambia la v istantaneamente
Vu= VA- VB
t
46
circuito RC
1
vu  vc 
C
1
Vo 
C
2
Vo
1
R
C
VA V
u
VB
t

0
uscita su C
t
 i  dt;
0
dVo
1
di
i  dt R i;
0  i R ;
dt
C
dt
di
1
i
t

dt  ln  
;
i
RC
iO
RC

 i  iO  e
t
RC ;
iO 
Vo
R
t
t 


Vo RC
Vo
RC
e
 dt 
RC
1
e




R
RC
0


t 


RC 
vu Vo  
1
e
47




1
vu  
C
t

circuito integratore
• nell’ipotesi in cui R e C siano grandi:
vu 
Vo 
t
1
C
 i  dt ;
1
C
t
0
 i  dt R i;
0
dVo 1
di
 i  R ;
dt
C
dt
Vo
i ;
R
1
vu 
RC
t
V
o
0
 dt
48
circuito RL
uscita su R
VA
L
Vo
1
R
Vu
1
12
Vo
1
2
t
21
Vu
vu  R i ;
di
Vo Vo  RL t
Vo  L   R i  i    e
dt
R R
Vo 
 Rt
Rt

L 
vu  R  1  e  Vo  1 e L 

R
Vo
t
49