Corso di Elettrotecnica
(Allievi aerospaziali)
Reti Elettriche Parte II
Revisione aggiornata al 16 maggio 2011
(www.elettrotecnica.unina.it)
Circuiti in regime lentamente
variabile
Bipoli elementari lineari
Bipoli resistenza e induttanza
v  Ri
v  Ri
di
vL
dt
di
v  L
dt
In regime stazionario
equivale ad un corto
circuito ideale
Bipoli capacità e generatori
ideali di tensione e di corrente
iC
dv
dt
v  e(t )
i  C
dv
dt
i  j (t )
Flusso di autoinduzuine
La corrente i crea B(t) e il
flusso di autoinduzione
γ concatenato con la
spira orientata γ. Se γ è
immersa in un mezzo
lineare:
γ=f(i)=Li
L è il coefficiente di
autoinduzione [Henry].Se
il verso di γ è concorde
con il verso di i, per i>0
γ>0 e per i<0 γ<0 →
L= γ/i>0

i>0
   B  ndS  f (i)
S
Bn  0
Esempi di realizzazione del
bipolo induttanza

Nella spira attraversata da i(t)
insorge la f.e.m. e(t):
e  d  / dt
in cui φγ è il flusso
d’autoinduzione Li.
LKT fornisce: v+e=Ri
Trascurando R:
v  d  / dt  0
di
vL
dt
Esempi di realizzazione del
bipolo induttanza
S
di
vL
dt
Esempio di realizzazione del
bipolo capacità
Dato il condensatore piano C la LKT fornisce:
v-vC=Ri≈0
C
v(t)
v=vC
q=cvC
dvC
dq
i
C
dt
dt
dv
iC
dt
Realizzazione di generatori di
tensione sinusoidale


  t
   B  ndS  ( B cos  )S  BS cos t

S
e
d 
dt
 BS  sin t
γ


Richiami sulle funzioni
periodiche
Si dice periodica una
funzione del tempo y=f(t)
che assume valori che si
ripetono a "intervalli"
regolari T. Si ha:
f (t )  f (t  kT )
Si dice periodo il valore
minimo di T (se esiste)
che soddisfa tale
relazione.
%
Richiami sulle funzioni
periodiche
La frequenza è il numero di cicli in un secondo:
f=1/T
[Hertz]
La pulsazione è la quantità:
ω=2πf=2π/T [Rad/sec]
Si dice valore medio di f(t) nel periodo T la quantità:
1
Fm 
T
t o T
 f (t )dt
t0
indipendente da t0. Se Fm=0, f(t) si dice alternata o
alternativa. Si dice valore efficace di f:
1
F
T
t 0 T

t0
f 2 (t )dt
(valore quadratico medio)
Funzioni periodiche: significato
fisico del valore efficace
Regime periodico
Regime stazionario
p=vi=Ri2
P=VI=RI2
Energia assorbita nell’intervallo T
T
WP   Ri (t )dt
2
0
I 2 regimi sono equivalenti se WP=WS
T
WS   RI 2 dt  RI 2T
0
1
I
T
t 0 T
2
i
 (t )dt
t0
Circuiti in regime lentamente
variabile
Analisi dei circuiti in regime
sinusoidale
Grandezze sinusoidali
a(t )  AM sin( t   )
 /
 /
AM ampiezza
α fase
Valore efficace:
1
A
T
t 0 T
A
2
M
sin (t   )dt 
2
t0
Se f=50 Hz, T=20 ms,
ω=100π rad/s
a(t )  2 A sin( t   )
AM
2
Richiami sui numeri complessi
Rappresentazione geometrica
nel piano complesso
z è l’affissa complessa di P
Rappresentazione algebrica
z=x+jy
dove j è l’unità immaginaria
definita da j2=-1.
x è la parte reale di z
y la parte immaginaria
z è indicato anche come
(x ,y). P è l’immagine di z.
Gli assi x (asse reale) e y
(asse immaginario)
contengono le immagini di
tutti i numeri reali e
puramente immaginari.
%
Richiami sui numeri complessi
Rappresentazione vettoriale
di z sul piano complesso


Complesso coniugato di
z=x+jy:
z*=x-jy
Modulo di z:
z  OP    ( x 2  y 2 )
Argomento di z
(anomalia del vettore OP)
arg( z )    arctg ( y / x)
ρ e θ sono le coordinate
polari di z che si può
indicare anche come
z=[ρ, θ]
%
Richiami sui numeri complessi
x   cos 
Rappresentazione
trigonometrica di z=x+jy:
z=ρ(cosθ+jsin θ)
Per la formula di Eulero
ejθ=cosθ+jsinθ
si ha la formulazione
esponenziale complessa
di z:
y   sin 
z=[ρ, θ]= ρ ejθ


Operazioni sui numeri
complessi
SOMMA
z1  x1  jy1
z  z1  z 2
z 2  x2  jy2
z  z1  z2  ( x1  x2 )  j( y1  y2 )  x  jy
x  x1  x2
y  y1  y2
Prodotto di numeri complessi
Rappresentazione algebrica
z1  x1  jy1
z 2  x2  jy2
z  z1 z 2
z  z1 z 2  ( x1 x2  y1 y2 )  j( x1 y2  x2 y1 )
Rappresentazione polare
z1  [ 1 ,1 ]  1e
j1
z 2  [  2 , 2 ]   2 e j 2
z  z1 z 2  ( 1  2 )e j (1  2 )  e j  [  , ]
  12
  1   2
Divisione di numeri complessi
Rappresentazione algebrica
z1  x1  jy1
z
x
z 2  x2  jy2
z1
x  jy1 ( x1  jy1 )( x2  jy2 ) ( x1 x2  y1 y 2 )  j ( x2 y1  x1 y 2 )
 1


 x  jy
2
2
z 2 x2  jy2 ( x2  jy2 )( x2  jy2 )
x2  y 2
x1 x2  y1 y 2
x22  y 22
y
x2 y1  x1 y 2
x22  y 22
Rappresentazione polare
z1  [ 1 ,1 ]  1e j1
z 2  [  2 , 2 ]   2 e j 2
z  z1 / z 2  ( 1 /  2 )e j (1  2 )  e j  [  , ]
  1 /  2
  1   2
I vettori rotanti
La grandezza sinusoid.
a(t )  2 A sin( t   )
è compiutamente
identificata da A, α e ω,
come la grandezza:
a(t )  Ae
j (t  )
Si ha quindi una
corrispondenza biunivoca
tra le a(t) e le a(t ) . Si ha:
a(t )  2 Im[ a(t )]
a (t )
2
a (t )
I fasori
Fissata ω,
a(t )  2 A sin( t   )
A
è compiutamente
identificata da A e α,
come il fasore
α
definito da:
A  Ae j
a (t )  2 A sin( t   ) 
Si ha quindi una
corrispondenza biunivoca  2 Im[ Ae j (t  ) ]  2 Im[ Ae jt ]
tra le a(t) nel dominio del
tempo ed i fasori A nel
A  [a(t )]t 0
A A
campo complesso.
Le operazioni sulle grandezze
sinusoidali: la somma
Date
a(t )  2 A sin( t   )  A  Ae j
b(t )  2 B sin( t   )  B  Be
C
B
j
c(t )  a(t )  b(t )  2 Im[ Ae jt ]  2 Im[ Be jt ] 
 2 Im[( A  B)e jt ]  2 Im[ Ce jt ]
A
dove:
C  A  B  Ce j
c(t )  2C sin( t   )
O
a(t )  A
b(t )  B
c(t )  a(t )  b(t )  C  A  B
Applicazione dei fasori nello studio delle reti
in regime sinusoidale
Date i1(t), i2(t) e i3(t) calcolare i(t).
i2 (t )  2 8 cos(t )
i (t )  12 sin( t  45)
1
i3 (t )  2 4,5 cos(t  27)
f (t )  2 F sin( t   )  F  Fe j
i1 (t )  12 sin( t  45)  2 ( 2 6) sin( t  45)
I 1  2 6e  j 45  6  j 6
i2 (t )  2 8 cos(t )  2 8 sin( t  90)
I 2  8e J 90  j8
i3 (t )  2 4,5 cos(t  27)  2 4,5 sin( t  63)
I 3  4,5e j 63  2  j 4
i(t )  i1 (t )  i2 (t )  i3 (t )
I  I 1  I 2  I 3  8  j 6  10e j 37
i (t )  210 sin( t  37)
Relazioni di fase tra grandezze
sinusoidali
    0
a(t )  2 A sin( t   )
b(t )  2 B sin( t   )
b(t )  2 B sin( t     )
b(t) è sfasata in ritardo rispetto ad
a(t) dell’angolo φ
Relazioni di fase tra grandezze
sinusoidali
    0
    0
a(t )  2 A sin( t   )
b(t )  2 B sin( t   )
b(t )  2 B sin( t     )
b(t) è sfasata in anticipo rispetto a
a(t) dell’angolo │φ│
Relazioni di fase tra grandezze
sinusoidali
     0
a(t )  2 A sin( t   )
b(t )  2 B sin( t   ) 
 2 B sin( t   )
a(t) e b(t) sono in fase
Prodotto di una grandezza
sinusoidale per una costante
Date:
a(t )  2 A sin( t   )  A  Ae j
A
ed una costante reale k>0,
c(t )  ka(t )  2kAsin( t   )
c(t )  C  kAe j  k A
a (t )  A
c(t )  ka(t )  C  k A
C
α
Prodotto di un fasore per un
numero complesso
A  Ae j
 a(t )  2 A sin( t   )
D  De j
dove
D  D
D A  D  Aei (  )  C  Ce j
C  Ce j  c(t )  2C sin( t   )
C  D A
  
A  a (t )
D A  c(t )
Prodotto di un fasore per l’unità
immaginaria j
A  Ae j
 a(t )  2 A sin( t   )
e j / 2  cos( / 2)  j sin(  / 2)  j
C  jA  e
j / 2
Ae
j
 Ae
j (  / 2 )
j fattore di rotazione di /2
c(t )  2 A sin( t   

2
)
A  a (t )
j A  c (t )
Derivata temporale di una
grandezza sinusoidale
Data
a(t )  2 A sin( t   )  A  Ae j
c(t ) 
da
 2 A cos(t   ) 
dt
 2 A sin( t   
c(t )  C  Ae j (  / 2 ) 
 j A

2
A
C
)
a (t )  A
da
c(t ) 
 C  j A
dt
α
Prodotto di grandezze
sinusoidali
a(t )  2 A sin( t   )
b(t )  2 B sin( t   )
c(t )  a(t )b(t )  2 A sin( t   ) 2 B sin( t   )
1
sin x sin y  cos( x  y )  cos( x  y )
2
c(t )  ABcos(   )  cos(2t     
Bipolo resistenza in
regime sinusoidale
v  Ri
Dominio dei fasori
V  Ve
j
I
V  RI
I
Dominio del tempo
v(t )  2V sin( t   ) i(t )  2 I sin( t     ) 
 2 I sin( t   )
V
R
I  Ie j (  )
 0
V  V  j
  e
R R
z 
V
R
I
impedenza
Bipolo induttanza in
regime sinusoidale
Dominio dei fasori
vL
di
dt
V  Ve
j
V  j L I
I
Dominio del tempo
v(t )  2V sin( t   ) i (t ) 
2 I sin( t     ) 
 2 I sin( t   

2
)
I  Ie
j  1 e
V
V

L X
j
j (  )

2
L
d
 j L
dt

V
 V  j (  2 )
I

e
jL  L 


2
z 
V
 jL
I
impedenza
X  L
Reattanza
Bipolo capacità in
regime sinusoidale
Dominio dei fasori
d
j

j
(



)
C
 j C
dv
V

Ve
I

Ie
dt
iC


j
j (  )
dt
V


e 2
I  jCV j  1  e 2 I  
 1 / C 

V
V



I

Dominio del tempo
2
1 / C X
v(t )  2V sin( t   ) i (t )  2 I sin( t     ) 
V
1
z    j

C
I
 2 I sin( t    )
Impedenza
2
1
C
Reattanza
X 
Bipolo R-L
in regime sinusoidale
Dominio del tempo
LKT
v  vR  vL  0
v  Ri  L
vR  Ri
di 
d
  R  L i
dt 
dt 
v(t )  2V sin( t   )
Dominio dei fasori
v(t )  V  Ve
V  ( R  jL) I
i (t )  I  Ie
j
z 
j (  )
V
 R  jL  R  jX
I
 L 
  arg( z )  arctg 

R


di
vL  L
dt
i (t )  2 I sin( t     )
d

 R  L   R  jL
dt 

z  ze j
V V j (  )
I  e
z z
 
z  z  R 2  (L) 2
I
V
z
%
Bipolo R-L
in regime sinusoidale
z
P (z )
φ=arctg(ωL/R)
Dominio del tempo
i (t )  2
V
R  (L)
2
2
sin t    arctg (L / R)
i(t) costituisce un integrale particolare
dell’equazione differenziale
v  Ri  L
di
dt
Bipolo R-L in regime
transitorio (v(t) sinusoidale)
L’integrale generale dell’equazione differenziale:
v  Ri  L
di
dt
i(t )  ket  i p (t ) dove ip(t) è un integrale particolare e λ è la
è
radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata R+λL=0

t / T
i (t )  ke
R
1

L
T
(T=L/R costante di tempo)
 2
V
R  (L)
2
lim t  ke t / T  0
2
sin t    arctg (L / R)
ke t / T
(trascurabile per t>5T)
%
Bipolo R-L in regime
transitorio (v(t) sinusoidale)
Se ad es. R=10 Ω, X=ωL=10 Ω, per f=50 Hz ω=100π
rad/s, L=0,1/π Henry, T=L/R=0,01/π=3,18 ms e dopo
circa 16 ms il termine transitorio ke-t/T è trascurabile.
Bipolo R-C
in regime sinusoidale
Dominio del tempo
v  vR  vC  0
vR  Ri
v  Ri  vC
v  RC
i (t )  I  Ie j (  )
V  RI  V C
LKT
iC
dvC
dt
dvC
 vC
dt
v(t )  2V sin( t   ) i (t )  2 I sin( t     )
Dominio dei fasori
v(t )  V  Ve
j
1
VC  j
I
C
z  ze
j
1 

V  R j
I
C 

z  z  R  1 /(C )
2
2
z 
I  jCV C
V
1
 R j
 R  jX
C
I
 1 

 RC 
  arg( z )  arctg 
%
Bipolo R-C
in regime sinusoidale
V V j (  )
I  e
z z
 
V
I
z
1
C
z
Dominio del tempo
i (t )  2
V
R  1 /(C )
vC (t )  2
2
2
sin[ t    arctg (1 / RC )]
V
sin[ t    arctg (1 / RC )   / 2]
Cz
Bipoli R-L e R-C in regime
stazionario
v(t)=V (costante)
v(t)=V (costante)
vR=V
vR=0
i=V/R
vL=0
i=0
vC=V
Bipoli R,L,C
in regime sinusoidale
B=0
V
z   A  jB
I
R=A
 0
B>0
B<0
R=A
L  B
 0
R=A
1
 B
C
 0
Ammettenza di un bipolo
z
I 1
y  
V z
Ammettenza
z  R  jS
y 
1
R
S
 2

j
 G  jB
2
2
2
R  jS R  S
R S
[Ω-1]
Corrispondenza tra regime
stazionario e regime sinusoidale
Regime stazionario
Regime sinusoidale
z
V RI
I  GV
V  z I
I  yV
Corrispondenza tra regime
stazionario e regime sinusoidale
Regime stazionario
m
LKT
LKC
 () E
k
  (  ) Rk I k
1
m
r
1
k
m
m
1
 () I
Regime sinusoidale
  ( ) J k
1
LKT
 () E
m
k
1
1
m
LKC
 () I
1
  () zk I k
r
k
  (  ) J k
1
Corrispondenza tra regime
stazionario e regime sinusoidale
Regime stazionario
Regime sinusoidale
n
n
Millmann
V AB 
EG
i
i
1
n
G
i
1
 E y
i
Millmann V AB 
1
n
 y
1
i
i
Corrispondenza tra regime
stazionario e regime sinusoidale
Bipolo di Thévenin in
regime stazionario
Bipolo di Thévenin in
regime sinusoidale
z
V  E  RI
V  E  z I
Corrispondenza tra regime
stazionario e regime sinusoidale
Bipolo di Norton in
regime stazionario
Bipolo di Norton in
regime sinusoidale
z
V  R( J  I )
V  z ( J  I )
Impedenze in serie
n
V  V k
z1
z2
1
zn
V k  zk I
n
V  I  zk  zeq I
1
zeq
n
zeq   zk
1
Impedenze in parallelo
z1
zeq
z2
V  zeq I
zn
n
I  Ik
1
V
Ik 
 y k V
zk
zeq 
1
n
 1 z
1
n
I  V  y k  y eq V
1
zeq 
1

y eq
k
1
n
 y
1
k
Bipolo R-L-C e risonanza
Impedenza
L’impedenza del bipolo è:
1 

z  R  j  L 

C 

il bipolo è in risonanza se:
L 
1
 0    0 
C
1
LC
ω0 pulsazione di risonanza.
1 

2
z  z  R   L 

C 

2
Bipolo R-L-C e risonanza
Corrente
Valore efficace della
corrente
V  Ve j
Se
V
I   Ie j (  )
z
I
V

z
V
1 

2
R   L 

C 

2
Il valore massimo di I si ha per
ω=ω0 ed è pari a V/R
Bipolo R-L-C e risonanza. Fase
Lo sfasamento φ:
1 


L




C

  arg( z)  arctg 
R






φ<0 per ω<ω0 il bipolo è equivalente
a un bipolo R-C
φ=0 per ω=ω0 il bipolo è equivalente
al bipolo R
Φ>0 per ω>ω0 il bipolo è equivalente
ad un bipolo R-L
Bipolo R-L-C e risonanza
Fattore di merito
I
Per ω=ω0 si ha:
V L  j0 L I
VL 
ω=ω0
0 L
R
VL  VC
V
V
R
1
VC  j
I
0C
1
VC 
V
0CR
Q
0 L
R
Q fattore di merito
VL VC
Q

V
V

1
0CR
Bipolo R-L-C e risonanza
Selettività
La potenza massima
assorbita dal bipolo si ha in
ω=ω0:
Pmax=RI2
In A e B la potenza P=Pmax/2.
Δω è la larghezza di banda.
Quanto più stretta è la banda
tanto più selettivo è il
bipolo. Al diminuire di R
cresce Q=ω0L/R e Δω
diminuisce.
Bipolo R-L-C e risonanza
Influenza di R
Un esempio numerico
A
v(t )  2100 cos(t  30)
f=10 Hz, R=7,32 Ω, R’=20 Ω,
L=1/π Henry, C=1/(400π) Farad
Calcolare i(t), i’(t), i”(t)
B
v(t )  2100 sin( t  60)  V  100e j 60  50  j86,6 V
ω=2πf=20π rad/s, XL=ωL=20 Ω, XC=20 Ω.
z AB  R  j ( X L  X C )  R' //( jX L )
z AB  17,32  j10  20e
I' I
j 30
Ω
R'
 3,41  j 0,91  3,53e  j15 A
R' jX L
R' // jX L 
20( j 20)
 10  j10 Ω
20  j 20
V
I
 5e j 30  4,33  j 2,5 A
z AB
I '' I
jX L
 0,91  j 3,41  3,53e j 75A
R' jX L
%
i (t )  2 5 sin( t  30)
i ' (t )  2 3,53 sin( t  15)
i" (t )  2 3,53 sin( t  75)
Potenza nei circuiti in regime
sinusoidale
Definizioni
Se la tensione e la corrente di un bipolo sono:
v(t )  2V sin( t   )
i (t )  2 I sin( t     )
Adottando per il bipolo la convenzione dell’utilizzatore
per le potenze assorbite e quella del generatore per
quelle erogate, si possono definire le seguenti
grandezze:
1.
p(t)=v(t)i(t) potenza istantanea [W]
2.
P=VIcosφ potenza attiva
[W]
3.
Q=VIsinφ
potenza reattiva (grandezza
convenzionale)
[VAr]
%
Definizioni
4. Papp=VI Potenza apparente (grandezza
convenzionale)
5.
[VA]
P  V I *
Potenza complessa (grandezza
convenzionale)
La potenza istantanea, le potenze attiva, reattiva e
complessa soddisfano il principio di conservazione
delle potenze.
Alle potenze non è applicabile la sovrapposizione degli
effetti.
La potenza apparente
Nel caso di reti di distribuzione dell’energia elettrica la
potenza apparente può essere correlata ai costi di
investimento sostenuti per la realizzazione delle reti
stesse. Infatti:
Papp=VI
La V è correlata ai costo relativi al sistema di
isolamento.
La I è correlata alla quantità di rame impiegata.
La potenza istantanea
p(t )  v(t )i (t )  2V sin( t   ) 2 I sin( t     ) 
 VI cos   VI cos( 2t  2   )
Potenza
attiva P
1
T

t 0 T
t0
Potenza
fluttuante
1
p(t )dt  VI cos  
T
1
P  VI cos  
T

t 0 T
t0

t 0 T
t0
p (t )dt
VI cos( 2t  2   )dt
0
La potenza attiva P è pari al
valore medio della potenza
Istantanea p(t)
%
La potenza istantanea
P=VIcosφ
Potenza attiva ed energia
Se un utilizzatore U assorbe una potenza attiva P=VIcosφ
costante nell’intervallo di tempo 0-t1>>T, l’energia assorbita è:
t1
W   p(t )dt  (VI cos  )t1
0
t
W   VI cos dt  Pt
0
p fluttuante
L’energia assorbita da U può essere associata alla resa economica per
l’impianto che alimenta U. Pertanto la potenza attiva P può essere
correlata a tale resa economica.
Espressioni della potenza attiva
La potenza attiva P può essere espressa in funzione dei
vettori V ed I rappresentativi della tensione e della
corrente come:
P  VI cos   V  I
oppure:
P  V ( I cos  )  VI a
Ia componente attiva della corrente
Potenza attiva e potenza
apparente
La potenza attiva P è legata alla potenza apparente Papp
dalla relazione:
P=(Papp)cosφ
Correlata
alla resa
economica
Correlata
ai costi di
investimento
Il cosφ è detto fattore di potenza
Potenza reattiva
La potenza reattiva Q=VIsinφ costituisce una grandezza convenzionale
priva in generale di uno specifico significato fisico. Essa costituisce un
indicatore di insoddisfacente resa economica e qualità del processo di
utilizzazione dell’energia elettrica ed è utile nell’analisi delle reti elettriche
poiché soddisfa il principio di conservazione. Essendo:
(VI ) 2  P 2  Q 2
P  P2  Q2
app
a parità di potenza apparente, quanto maggiore è la Q, minore è la P e
quindi la resa economica dell’impianto. Essendo inoltre:
P2  Q2
I
V
a parità di P, quanto maggiore è Q,
maggiore è I e quindi maggiori sono
le perdite per effetto Joule e le cadute
di tensione sulla linea elettrica che
alimenta l’utilizzatore U
%
Potenza reattiva
P1=P2
Q1<Q2
I1<I2
φ1<φ2
Potenza complessa
v(t )  2V sin( t   )
V  Ve j
i (t )  2 I sin( t     )
I  Ie j (  )
P  V I *  (Ve j )( Ie  j (  ) )  VIe j  VI (cos   j sin  )  P  JQ
OA  P  VI  Papp  P 2  Q 2
arg( P )    arctg (Q / P)
Q  Ptg
Principio di conservazione delle
potenze complesse
Ipotesi:
La stessa
convenzione dei segni su tutti
gli l lati della rete.
Siano P1,.. Pi,…Pn gli n nodi
della rete
l
l
Tesi
 P V
k
1
l
U ( P"
k
1
k
Generico bipolo costituente il
k-esimo lato della rete
I *k  0
1
l
) I *k  U ( P'k ) I *k  0
1
Somma parziale relativa al
nodo Pi
U Pi ( I *i1  I *i 2 ....  I *ih ....I *il' )  0
i
V k  U ( P"k )  U ( P'k )
Principio di conservazione delle
potenze complesse
Dal principio di conservazione delle potenze complesse:
l
 P
k
0
1
essendo:
Pk  Pk  jQk
si deducono i principi di conservazione delle potenze
attive e reattive:
l
 Pk  0
1
l
Q
k
1
0
Misura della potenza
i(t)
V(t)
Papp  VI
Q  (VI ) 2  P 2
P
cos  
VI
L’amperometro ed il
voltmetro misurano il
valore efficace (valore
quadratico medio) di v
ed i. Il wattmetro la
potenza attiva P (valore
medio della potenza
istantanea v(t)i(t)).
Potenze nel bipolo resistenza
 0
V  RI
P  VI cos   VI  RI 2
Q  VI sin   0
Papp  VI  P
P  P  RI 2
p(t )  v(t )i(t )  Ri 2 (t )
α=0
Potenze nel bipolo induttanza

V  j L I

2
X  L
V  jX I
α=0
P  VI cos   0
Q  VI sin   VI  LI  XI
2
Wmax
1
 L( 2 I ) 2  LI 2
2
Papp  VI  Q
2
W
1 2
Li
2
Q  Wmax
P  jQ  jXI 2
%
Potenze nel bipolo induttanza
v(t )  2V sin( t   )
i (t )  2 I sin( t     / 2)
p(t )  v(t )i (t ) 
 VI cos( 2t  2   / 2) 
 VI sin( 2t  2 )
α=0
Potenze nel bipolo capacità
V j
X 
1
I
C
1
C


2
α=0
V   jX I
P  VI cos   0
1 2
I   XI 2  CV 2
C
1
 C ( 2V ) 2  CV 2 Q  Wmax
2
Q  VI sin   VI  
1 2
W  Cv Wmax
2
Papp  VI  Q
P  jQ   jCV 2
%
Potenze nel bipolo capacità
v(t )  2V sin( t   )
i (t )  2 I sin( t     / 2)
p(t )  v(t )i (t ) 
 VI cos( 2t  2   / 2) 
 VI sin( 2t  2 )
α=0
Potenze nel bipolo R-L
α=0
φ>0
V  z I z  R  jL  R  jX
X  L
P  VI cos   zI 2 cos   RI 2
Q  VI sin   zI 2 sin   XI 2
Papp  VI
P  RI 2  jXI 2  zI 2
%
Potenze nel bipolo R-L
v(t )  2V sin( t   )
i (t )  2 I sin( t     )
p(t )  v(t )i (t ) 
 VI cos   VI cos( 2t  2   )
α=0
Potenze nel bipolo R-C
V  z I
X 
z  R  j
1
C
1
 R  jX
C
P  VI cos   zI 2 cos   RI 2
Q  VI sin   zI 2 sin    XI 2
Papp  VI
P  RI 2  jXI 2  zI 2
α=0
Una formulazione del principio
di conservazione delle potenze
P potenze complesse
erogate
 P   P   P
Ei
Ji
i
Ri
i
i
i
2
P

P

R
I
 Ei  Ji  i Ri
i
i
PLi   jLi I Li2
PRi   Ri I Ri2
i
  PLi   PCi  0
i

PCi   j  CiVCi2

2
2
Q

Q


L
I


C
V
 Ei  Ji  i Li  i Ci
i
i
i
i
Rifasamento
P
cos  
Papp
Quanto minore è il cosφ di un impianto
peggiore è la sua resa economica per l’ente
distributore dell’energia elettrica e a parità di
P maggiore è la corrente assorbita.
Per impianti con P>15 kW non è consentito il funzionamento con cosφ
medio (cosφm) minore di 0,7. Per 0,7< cosφm<0,9 occorre pagare una
penale commisurata all’energia reattiva assorbita (WQ).
tg m



t 0 
t0
t 0 
t0
Qdt
Pdt
WQ  
t 0 
t0
Qdt
dove τ è l’intervallo di
fatturazione
%
Rifasamento
U utilizzatore ohmicoinduttivo
C capacità di
rifasamento
DIME
φ*: φ desiderato
DIMENSIONAMENTO DI C
QC  AD  BD  QU  PU tg* 
 PU (tgU  tg*)
QC  CV 2
C
QC
2fV 2
Passività dei bipoli in regime
lentamente variabile
Negli intervalli 0-t1 e t2-t3 la potenza p=v(t)i(t) è minore di zero e le energie:
t1
t3
W '   vidt e W "   vidt
0
sono anche esse negative e rappresentano
t2
energie erogate dal bipolo alla rete a monte. Applicando le definizioni di
di bipolo passivo e attivo adottate in regime stazionario si dovrebbe
ritenere che tale bipolo sia attivo. In regime lentamente variabile un
%
Passività dei bipoli in regime
lentamente variabile
bipolo si dice invece passivo se, applicando la convenzione
dell’utilizzatore, risulta per ogni t:
t
W   vidt  0

Si ha quindi che l’energia che un bipolo passivo può erogare
in un determinato intervallo di tempo non è mai maggiore di
quella precedentemente assorbita.
Sono passivi i bipoli R, L, C e tutti quelli risultanti dalla loro
connessione.
Caratterizzazione dei bipoli
passivi
Oltre che con l’equazione caratteristica:
V  z I
i bipoli passivi si possono caratterizzare mediante:
V  ......

 P  ......
Q  ........

V  ......

Q  ......
cos   ........

V  ......

 P  ......
cos   ........ (ritardo)

V  ......

 P  ......
sin   ........

V  ......

Q  ......
sin   ........

V  ......

 P  ......
cos   ........ (anticipo)

In particolare possono essere forniti i dati nominali.
%
Caratterizzazione dei bipoli passivi
Da ciascuna di queste caratterizzazione si può dedurre
l’operatore impedenza. Ad es. dalla prima si ha:
Papp  P  Q  VI
2
V
z
I
2
I
  arctg (Q / P)
Papp
V
z  ze j
Utilizzazione del principio di
conservazione delle potenze
Esempi numerici
Es.1)
v(t )  2 220 sin( t )
+
R=10 Ω, ωL=19,6 Ω.
Dati di targa utilizzatore U
Vn=220 V, Pn=1,76 kW, cosφu=0,8 (rit.)
Calcolare indicazione amperometro A
(valore efficace della corrente i)
Applicazione conservazione potenze
P’=RI’2, Q’=ωLI’2. I’=220/z’.
Q’=1,96 kVAr.
z '  R 2  (L) 2  22 Ω. I’=10 A, P’=1 kW,
P”=Pn=1,76 kW, Q”=P”tgφu, tgφu=0,75, Q”=1,32 kVAr
%
Ptot=P’+P”=2,76 kW, Qtot=Q’+Q”=3,28 kVAr,
2
Papp  Ptot2  Qtot
 VI  4,29 kVA, cosφ=Ptot/Papp=0,643, φ=49,9°
I=Papp/V=19,48 A
(Indicaz. amperometro)
%
Applicazione dei fasori
V  220e  220 V;
j0
Pn
I"
 10
Vn cos u
A
V
I'
 4,54  j8,9  10e  j 63 A
R  jL
I "  I " e  ju  10e  j 36,9  8  j 6 A
I  I ' I "  12,54  j14,9  19,48e  j 49,9 A
I  I  19,48 A
%
Es. 2)
B
Rl
Ll
B’
R=10 Ω, ωL=19,6 Ω.
Dati di targa utilizzatore U
Vn=220 V, Pn=1,76 kW, cosφu=0,8 (rit.)
Rl=0,5 Ω
ωLl=1 Ω
Calcolare il valore efficace V della tensione a monte v(t) affinché a valle
ai capi dell’utilizzatore U sia applicata la sua tensione nominale Vn
Applicazione conservazione potenze
Dall’esempio 1) si ricavano i seguenti dati relativi alla sezione A,A’:
I=19,48 A, PA=2,76 kW, QA= 3,28 kVAr. I dati corrispondenti nella sez. B,B’
%
PB=RlI2 + PA=2,95 kW
QB=ωLlI2 + QA =3,66 kVAr
PappB  PB2  QB2  VI  4,7
kVA
V=PappB/I=241,2 V
ΔV=V-Vn=21,2 V (8,7 %)
Applicazione dei fasori
Dall’esempio 1 nella sezione A-A’:
VA  220 V
I  12,54  j14,9 A
Nella sezione B-B’:
V  VA  ( Rl  jLl ) I  241,1  j5 V
V  V  241,2
V
%
Es. 3)
v(t )  2 220 sin( t )
R=10 Ω, ωL=19,6 Ω.
f=50 Hz
Dati di targa utilizzatore U
Vn=220 V, Pn=1,76 kW,
cosφu=0,8 (rit.)
Calcolare C in maniera tale da rifasare totalmente l’impianto (cosφ=1)
Dall’esempio 1) si ricavano i seguenti dati relativi alla sezione A,A’:
IA=19,48 A, PA=2,76 kW, QA= 3,28 kVAr, cosφA=0,643 .
QC  CV  QA  3,28
2
PB=PA=VIB
kVAr
C  QC /(V 2 )  216 μF
IB=12,54 A
%
Es. 4)
Nella stessa rete dell’esempio 3) calcolare C in maniera tale che il cosφ
nella sezione B-B’ sia pari a 0,9.
PA=2,76 kW,
QA= 3,28 kVAr,
cosφA=0,643
φA=49,9°
cosφ*=0,9
φ*=25,8°
QC  AD  BD  QA  PAtg*  1,94 kVAr
PB=PA=VIBcosφ*
IB=13,94 A
C  QC /(V 2 )  128 μF
Reti con generatori a frequenza diversa
Non è direttamente applicabile il metodo dei fasori. Se la rete è lineare si
può applicare la sovrapposizione degli effetti nel dominio del tempo,
considerando separatamente agenti i generatori a eguale frequenza.
Per ciascun gruppo di generatori isofrequenziali si può applicare il
metodo dei fasori.
Un esempio numerico
e1 (t )  2100 sin( t  30) V
e2 (t )  2100 cos( 2t  30) V
e3=200 V (costante)
R=ωL= 1/(ωC)= 20 Ω
Calcolare i1(t), i2(t), i3(t).
ik(t)=i’k(t) + i’’k(t) + i’’’k(t) (k=1, 2, 3)
%
Calcolo delle i’k(t) (componenti a pulsazione ω)
zL  j 20 Ω
zC   j 20 Ω
zBD  ( R  zL ) // zC  20  j 20 Ω
z AD  R  zL  zBD  40 Ω
R  z L
I '2  I '1
 3,41  j 0,91  3,53e j15 A
R  z L  zC
i '1 (t )  2 2,5 sin( t  30) A
E1
 2,5e  j 30 A
z AD
zC
I '3  I '1
 2,5e  j120 A
R  z L  zC
I '1 
e1 (t )  E1  100e  j 30  86,6  j 50 V
i '2 (t )  2 3,53 sin( t  15) A
i'3 (t )  2 2,5 sin( t 120) A
%
Calcolo delle i’’k(t) (componenti a pulsazione 2ω)
zL  j 40
Ω
zC   j10 Ω
ze  zC  ( R  zL ) / 2  10  j10 Ω
e2 (t )  E 2  100e j 60  50  j86,6 V
I "2
I "2
E2
j15
 j165 A
j15
I
"


3
,
53
e
I
"



3
,
53
e
A
A
I "2 
 7,07e
1
3
2
2
ze
i ' '1 (t )  2 3,53 sin( 2t  15) A
i ' '2 (t )  2 7,07 sin( 2t  15) A
i' '3 (t )  2 3,53 sin( 2t 165) A
%
Calcolo delle i’’’k(t) (componenti stazionarie)
i1'''  i3'''  
e3
5 A
2R
i2'''  0
Correnti risultanti
i1 (t )  2 2,5 sin( t  30)  2 3,53 sin( 2t  15)  5
i2 (t )  2 3,53 sin( t  15)  2 7,07 sin( 2t  15)
A
A
i3 (t )  2 2,5 sin( t 120)  2 3,53 sin( 2t 165)  5
A
Circuiti in regime sinusoidale
Reti trifasi
Sistemi simmetrici trifasi di
grandezze sinusoidali
a1 (t )  2 A sin( t   )
a2 (t )  2 A sin( t    2 / 3)
A1  Ae j
A2  Ae j ( 2 / 3)
a3 (t )  2 A sin( t    4 / 3)
costituiscono un sistema simmetrico
diretto di grandezze sinusoidali.
A3  Ae j ( 4 / 3)
A1  A2  A3  0
a1 (t )  a2 (t )  a3 (t )  0
Sistemi simmetrici trifasi di
grandezze sinusoidali
a1 (t )  2 A sin( t   )
a2 (t )  2 A sin( t    2 / 3)
a3 (t )  2 A sin( t    4 / 3)
costituiscono un sistema simmetrico
inverso di grandezze sinusoidali.
A1  A2  A3  0
a1 (t )  a2 (t )  a3 (t )  0
A1  Ae j
A2  Ae j ( 2 / 3)
A3  Ae j ( 4 / 3)
Generazione di una f.e.m.
sinusoidale
  t
   B  ndS  ( B cos  )S  BS cos t
ω
S
e
α
ω
d 
dt
 BS  sin t
Generazione di un sistema
simmetrico di f.e.m. sinusoidali
e1  BS sin( t )
e2  BS sin( t  2 / 3)
ω
e3  BS sin( t  4 / 3)
Genesi di una rete trifase
Genesi di una rete trifase
z  ze j
E1  Ee j
E 2  E j ( 2 / 3)
E 3  E j ( 4 / 3)
E1 E j (  )
I1 
 e
 Ie j (  )
z
z
I
E
z
E 2 E j (  2 / 3)
I2 
 e
 Ie j (  2 / 3)
z
z
E 3 E j (  4 / 3)
I3 
 e
 Ie j (  4 / 3)
z
z
Genesi di una rete trifase
I 0  I1  I 2  I 3  0
V O'O  0
E1  V 1O
E 2  V 2O
3
V O 'O 
E '1  V 1O '  E 1
E '3  V 3O'  E 3
E
1
3 y
E 3  V 3O
3
k
y

E
1
3
k
0
E '2  V 2 O '  E 2
Sistema trifase simmetrico ed
equilibrato- Carico a stella
α=0
v12, v23, v31, costituiscono
una terna simmet. diretta
V 12  V 23  V 31  V
V  2 M 3  2 E cos 30  3E
V 12  3 E1e j 30
Nelle reti di distribuzione E=220 V, V=380 V.
V 23   j 3 E 1
Reti trifasi - Carico a stella - Denominazioni
z: impedenza di fase
e1, e2, e3 tensioni stellate di
alimentazione
e’1, e’2, e’3 tensioni stellate sul
carico o di fase
i1, i2, i3 correnti di linea o di fase
v12, v23, v31 tensioni di linea o concatenate
Stelle equilibrate- Circuito
monofase equivalente
V O 'O  E '1  E1  0
E '1  z I 1
V O'O  0  E1  z I 1
E1
I1 
z
I 2  I 1e j 2 / 3
I 3  I 1e j 4 / 3
Circuito monofase equivalente
%
3
V O 'O 
E
3
k
y '

1
3 y '
E
k
0
1
3
E 1  V O 'O  z ' I '1  E 1  z ' I '1
3
V O"O 
E
3
k
y"
1
3 y"

E
1
3
k
0
E 1  V O"O  z" I "1  E 1  z" I "1
9 lati,
3 nodi
I 1  I '1  I "1
I '1  E 1 / z '
Circuito
monofase
equivalente
I k  I 1e
 j ( k 1) 2 / 3
I "k  I "1e j ( k 1) 2 / 3
I "1  E 1 / z"
I 'k  I '1 e j ( k 1) 2 / 3
k  2,3
%
Un esempio
e1 (t )  2100 sin( t  60)
e2 (t )  2100 sin( t  60)
e3 (t )   2100 sin( t )
f=10 Hz, R=7,32 Ω, R’=20 Ω,
L=1/π Henry, C=1/(400π) Farad
Circuito monofase equivalente;
circuito già precedentemente
analizzato
%
I1  5e j 30
I '1  3,53e j 75
I ' '1  3,53e  j15
Le correnti relative alle fasi 2 e 3 si deducono sfasando tali correnti di
120° e 240° in ritardo.
Sistema trifase simmetrico ed
equilibrato- Carico a triangolo
3E
I1  1
z
J 12
i1, i2, i3 e j12, j23, j31, sono
2 terne simmetriche
V 12
3 E1e j 30
1



I 1e j 30
z
z
3
I  3J
Carico
equilibrato
Confronto tra sistemi equilibrati
con carico a stella e a triangolo
Carico a stella
Carico a triangolo
ilinea=ifase
ilinea≠ifase(j)
vlinea ≠vfase(e)
vlinea =vfase
V  3E
I  3J
Potenza nei sistemi trifasi
simmetrici ed equilibrati
Per il principio di conservazione delle
potenze le potenze attiva e reattiva
assorbite dal carico trifase sono pari alla
somma di quelle erogate dai 3 generatori:
P  E1  I 1  E 2  I 2  E 3  I 3 
 3EI cos   3VI cos 
Q  3EI sin   3VI sin 
φ è lo sfasamento tra e1 e i1
Rete trifase a tre fili:
stella squilibrata
3
V OO'  
E
k
y k
1
3
 y
k
Tensione di spostamento
del centro stella
E'k  E k  V OO'
I k  E'k y k
1
Le terne delle tensioni stellate e’k e delle correnti ik non sono simmetriche.
Sistema trifase a quattro fili:
stella squilibrata
1, 2, 3 conduttori di fase
N conduttore di neutro
V OO'  0
E'k  E k  V OO'  E k
I k  E k y k
3
IN  Ik
1
Sistema trifase: triangolo squilibrato
J 12
V 12

z12
J 31 
V 23
J 23 
z23
V 31
z31
I 1  J 12  J 31
I 3  J 31  J 23
I 2  J 23  J 12
Un esempio di rete di distribuzione in BT
Misura della potenza in una rete trifase
simmetrica ed equilibrata
P  3EI cos   3VI cos   3W
cos  
3W
VA
Q  3VA sin 
%
Inserzione Aron
W '  V 12  I 1  VI cos(  30) 
3
1
 VI
cos   VI sin 
2
2
W "  V 32  I 3  VI cos(30   ) 
 VI
3
1
cos   VI sin 
2
2
W 'W "  3VI cos   P
W "W '  VI sin   Q / 3
Misura della potenza in una rete trifase a 3 fili
non equilibrata
W '  V 12  I 1  ( E1  E 2 )  I 1
W "  V 32  I 3  ( E 3  E 2 )  I 3
W 'W "  ( E 1  E 2 )  I 1  ( E 3  E 2 )  I 3 
 E1  I 1  E 3  I 3  E 2  ( I 1  I 3 )
I 1  I 3  I 2
W 'W "  E1  I 1  E 2  I 2  E 3  I 3  P