Corso di Elettrotecnica
Allievi Ing. Navale e Scienza ed Ing, dei
Materiali
Reti Elettriche Parte II
Revisione aggiornata al 8 novembre 2013
(www.elettrotecnica.unina.it)
Circuiti in regime lentamente
variabile
Bipoli elementari lineari
Bipoli resistenza e induttanza
v  Ri
v  Ri
di
vL
dt
di
v  L
dt
In regime stazionario
equivale ad un corto
circuito ideale
Bipoli capacità e generatori
ideali di tensione e di corrente
iC
dv
dt
v  e(t )
i  C
dv
dt
i  j (t )
Flusso di autoinduzuine
La corrente i crea B(t) e il
flusso di autoinduzione
γ concatenato con la
spira orientata γ. Se γ è
immersa in un mezzo
lineare:
γ=f(i)=Li
L è il coefficiente di
autoinduzione [Henry].Se
il verso di γ è concorde
con il verso di i, per i>0
γ>0 e per i<0 γ<0 →
L= γ/i>0

i>0
   B  ndS  f (i)
S
Bn  0
Esempi di realizzazione del
bipolo induttanza

Nella spira attraversata da i(t)
insorge la f.e.m. e(t):
e  d  / dt
in cui φγ è il flusso
d’autoinduzione Li.
LKT fornisce: v+e=Ri
Trascurando R:
v  d  / dt  0
di
vL
dt
Esempi di realizzazione del
bipolo induttanza
S
di
vL
dt
Esempio di realizzazione del
bipolo capacità
Dato il condensatore piano C la LKT fornisce:
v-vC=Ri≈0
C
v(t)
v=vC
q=cvC
dvC
dq
i
C
dt
dt
dv
iC
dt
Realizzazione di generatori di
tensione sinusoidale


  t
   B  ndS  ( B cos  )S  BS cos t

S
e
d 
dt
 BS  sin t
γ


Realizzazione di generatori di
tensione sinusoidale
Richiami sulle funzioni
periodiche
Si dice periodica una
funzione del tempo y=f(t)
che assume valori che si
ripetono a "intervalli"
regolari T. Si ha:
f (t )  f (t  kT )
Si dice periodo il valore
minimo di T (se esiste)
che soddisfa tale
relazione.
%
Richiami sulle funzioni
periodiche
La frequenza è il numero di cicli in un secondo:
f=1/T
[Hertz]
La pulsazione è la quantità:
ω=2πf=2π/T [Rad/sec]
Si dice valore medio di f(t) nel periodo T la quantità:
1
Fm 
T
t o T
 f (t )dt
t0
indipendente da t0. Se Fm=0, f(t) si dice alternata o
alternativa. Si dice valore efficace di f:
1
F
T
t 0 T

t0
f 2 (t )dt
(valore quadratico medio)
Funzioni periodiche: significato
fisico del valore efficace
Regime periodico
Regime stazionario
p=vi=Ri2
P=VI=RI2
Energia assorbita nell’intervallo T
T
WP   Ri (t )dt
2
0
I 2 regimi sono equivalenti se WP=WS
T
WS   RI 2 dt  RI 2T
0
1
I
T
t 0 T
2
i
 (t )dt
t0
Circuiti in regime lentamente
variabile
Analisi dei circuiti in regime
sinusoidale
Grandezze sinusoidali
a(t )  AM sin( t   )
 /
 /
AM ampiezza
α fase
Valore efficace:
1
A
T
t 0 T
A
2
M
sin (t   )dt 
2
t0
Se f=50 Hz, T=20 ms,
ω=100π rad/s
a(t )  2 A sin( t   )
AM
2
Richiami sui numeri complessi
Rappresentazione geometrica
nel piano complesso
z è l’affissa complessa di P
Rappresentazione algebrica
z=x+jy
dove j è l’unità immaginaria
definita da j2=-1.
x è la parte reale di z
y la parte immaginaria
z è indicato anche come
(x ,y). P è l’immagine di z.
Gli assi x (asse reale) e y
(asse immaginario)
contengono le immagini di
tutti i numeri reali e
puramente immaginari.
%
Richiami sui numeri complessi
Rappresentazione vettoriale
di z sul piano complesso


Complesso coniugato di
z=x+jy:
z*=x-jy
Modulo di z:
z  OP    ( x 2  y 2 )
Argomento di z
(anomalia del vettore OP)
arg( z )    arctg ( y / x)
ρ e θ sono le coordinate
polari di z che si può
indicare anche come
z=[ρ, θ]
%
Richiami sui numeri complessi
x   cos 
Rappresentazione
trigonometrica di z=x+jy:
z=ρ(cosθ+jsin θ)
Per la formula di Eulero
ejθ=cosθ+jsinθ
si ha la formulazione
esponenziale complessa
di z:
y   sin 
z=[ρ, θ]= ρ ejθ


Operazioni sui numeri
complessi
SOMMA
z1  x1  jy1
z  z1  z 2
z 2  x2  jy2
z  z1  z2  ( x1  x2 )  j( y1  y2 )  x  jy
x  x1  x2
y  y1  y2
Prodotto di numeri complessi
Rappresentazione algebrica
z1  x1  jy1
z 2  x2  jy2
z  z1 z 2
z  z1 z 2  ( x1 x2  y1 y2 )  j( x1 y2  x2 y1 )
Rappresentazione polare
z1  [ 1 ,1 ]  1e
j1
z 2  [  2 , 2 ]   2 e j 2
z  z1 z 2  ( 1  2 )e j (1  2 )  e j  [  , ]
  12
  1   2
Divisione di numeri complessi
Rappresentazione algebrica
z1  x1  jy1
z
x
z 2  x2  jy2
z1
x  jy1 ( x1  jy1 )( x2  jy2 ) ( x1 x2  y1 y 2 )  j ( x2 y1  x1 y 2 )
 1


 x  jy
2
2
z 2 x2  jy2 ( x2  jy2 )( x2  jy2 )
x2  y 2
x1 x2  y1 y 2
x22  y 22
y
x2 y1  x1 y 2
x22  y 22
Rappresentazione polare
z1  [ 1 ,1 ]  1e j1
z 2  [  2 , 2 ]   2 e j 2
z  z1 / z 2  ( 1 /  2 )e j (1  2 )  e j  [  , ]
  1 /  2
  1   2
I vettori rotanti
La grandezza sinusoid.
a(t )  2 A sin( t   )
è compiutamente
identificata da A, α e ω,
come la grandezza:
a(t )  Ae
j (t  )
Si ha quindi una
corrispondenza biunivoca
tra le a(t) e le a(t ) . Si ha:
a(t )  2 Im[ a(t )]
a (t )
2
a (t )
I fasori
Fissata ω,
a(t )  2 A sin( t   )
A
è compiutamente
identificata da A e α,
come il fasore
α
definito da:
A  Ae j
a (t )  2 A sin( t   ) 
Si ha quindi una
corrispondenza biunivoca  2 Im[ Ae j (t  ) ]  2 Im[ Ae jt ]
tra le a(t) nel dominio del
tempo ed i fasori A nel
A  [a(t )]t 0
A A
campo complesso.
Le operazioni sulle grandezze
sinusoidali: la somma
Date
a(t )  2 A sin( t   )  A  Ae j
b(t )  2 B sin( t   )  B  Be
C
B
j
c(t )  a(t )  b(t )  2 Im[ Ae jt ]  2 Im[ Be jt ] 
 2 Im[( A  B)e jt ]  2 Im[ Ce jt ]
A
dove:
C  A  B  Ce j
c(t )  2C sin( t   )
O
a(t )  A
b(t )  B
c(t )  a(t )  b(t )  C  A  B
Applicazione dei fasori nello studio delle reti
in regime sinusoidale (Esercizio 1)
Date i1(t), i2(t) e i3(t) calcolare i(t).
i2 (t )  2 8 cos(t )
i (t )  12 sin( t  45)
1
i3 (t )  2 4,5 cos(t  27)
f (t )  2 F sin( t   )  F  Fe j
i1 (t )  12 sin( t  45)  2 ( 2 6) sin( t  45)
I 1  2 6e  j 45  6  j 6
i2 (t )  2 8 cos(t )  2 8 sin( t  90)
I 2  8e J 90  j8
i3 (t )  2 4,5 cos(t  27)  2 4,5 sin( t  63)
I 3  4,5e j 63  2  j 4
i(t )  i1 (t )  i2 (t )  i3 (t )
I  I 1  I 2  I 3  8  j 6  10e j 37
i (t )  210 sin( t  37)
Relazioni di fase tra grandezze
sinusoidali
    0
a(t )  2 A sin( t   )
b(t )  2 B sin( t   )
b(t )  2 B sin( t     )
b(t) è sfasata in ritardo rispetto ad
a(t) dell’angolo φ
Relazioni di fase tra grandezze
sinusoidali
    0
    0
a(t )  2 A sin( t   )
b(t )  2 B sin( t   )
b(t )  2 B sin( t     )
b(t) è sfasata in anticipo rispetto a
a(t) dell’angolo │φ│
Relazioni di fase tra grandezze
sinusoidali
     0
a(t )  2 A sin( t   )
b(t )  2 B sin( t   ) 
 2 B sin( t   )
a(t) e b(t) sono in fase
Prodotto di una grandezza
sinusoidale per una costante
Date:
a(t )  2 A sin( t   )  A  Ae j
A
ed una costante reale k>0,
c(t )  ka(t )  2kAsin( t   )
c(t )  C  kAe j  k A
a (t )  A
c(t )  ka(t )  C  k A
C
α
Prodotto di un fasore per un
numero complesso
A  Ae j
 a(t )  2 A sin( t   )
D  De j
dove
D  D
D A  D  Aei (  )  C  Ce j
C  Ce j  c(t )  2C sin( t   )
C  D A
  
A  a (t )
D A  c(t )
Prodotto di un fasore per l’unità
immaginaria j
A  Ae j
 a(t )  2 A sin( t   )
e j / 2  cos( / 2)  j sin(  / 2)  j
C  jA  e
j / 2
Ae
j
 Ae
j (  / 2 )
j fattore di rotazione di /2
c(t )  2 A sin( t   

2
)
A  a (t )
j A  c (t )
Derivata temporale di una
grandezza sinusoidale
Data
a(t )  2 A sin( t   )  A  Ae j
c(t ) 
da
 2 A cos(t   ) 
dt
 2 A sin( t   
c(t )  C  Ae j (  / 2 ) 
 j A

2
A
C
)
a (t )  A
da
c(t ) 
 C  j A
dt
α
Prodotto di grandezze
sinusoidali
a(t )  2 A sin( t   )
b(t )  2 B sin( t   )
c(t )  a(t )b(t )  2 A sin( t   ) 2 B sin( t   )
1
sin x sin y  cos( x  y )  cos( x  y )
2
c(t )  ABcos(   )  cos(2t     
Bipolo resistenza in
regime sinusoidale
v  Ri
Dominio dei fasori
V  Ve
j
I
V  RI
I
Dominio del tempo
v(t )  2V sin( t   ) i(t )  2 I sin( t     ) 
 2 I sin( t   )
V
R
I  Ie j (  )
 0
V  V  j
  e
R R
z 
V
R
I
impedenza
Bipolo induttanza in
regime sinusoidale
Dominio dei fasori
vL
di
dt
V  Ve
j
V  j L I
I
Dominio del tempo
v(t )  2V sin( t   ) i (t ) 
2 I sin( t     ) 
 2 I sin( t   

2
)
I  Ie
j  1 e
V
V

L X
j
j (  )

2
L
d
 j L
dt

V
 V  j (  2 )
I

e
jL  L 


2
z 
V
 jL
I
impedenza
X  L
Reattanza
Bipolo capacità in
regime sinusoidale
Dominio dei fasori
d
j

j
(



)
C
 j C
dv
V

Ve
I

Ie
dt
iC


j
j (  )
dt
V


e 2
I  jCV j  1  e 2 I  
 1 / C 

V
V



I

Dominio del tempo
2
1 / C X
v(t )  2V sin( t   ) i (t )  2 I sin( t     ) 
V
1
z    j

C
I
 2 I sin( t    )
Impedenza
2
1
C
Reattanza
X 
Bipolo R-L
in regime sinusoidale
Dominio del tempo
LKT
v  vR  vL  0
v  Ri  L
vR  Ri
di 
d
  R  L i
dt 
dt 
v(t )  2V sin( t   )
Dominio dei fasori
v(t )  V  Ve
V  ( R  jL) I
i (t )  I  Ie
j
z 
j (  )
V
 R  jL  R  jX
I
 L 
  arg( z )  arctg 

R


di
vL  L
dt
i (t )  2 I sin( t     )
d

 R  L   R  jL
dt 

z  ze j
V V j (  )
I  e
z z
 
z  z  R 2  (L) 2
I
V
z
%
Bipolo R-L
in regime sinusoidale
z
P (z )
φ=arctg(ωL/R)
Dominio del tempo
i (t )  2
V
R  (L)
2
2
sin t    arctg (L / R)
i(t) costituisce un integrale particolare
dell’equazione differenziale
v  Ri  L
di
dt
Bipolo R-L in regime
transitorio (v(t) sinusoidale)
L’integrale generale dell’equazione differenziale:
v  Ri  L
di
dt
i(t )  ket  i p (t ) dove ip(t) è un integrale particolare e λ è la
è
radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata R+λL=0

t / T
i (t )  ke
R
1

L
T
(T=L/R costante di tempo)
 2
V
R  (L)
2
lim t  ke t / T  0
2
sin t    arctg (L / R)
ke t / T
(trascurabile per t>5T)
%
Bipolo R-L in regime
transitorio (v(t) sinusoidale)
Se ad es. R=10 Ω, X=ωL=10 Ω,
per f=50 Hz ω=100π rad/s, L=0,1/π Henry,
T=L/R=0,01/π=3,18 ms;
dopo circa 16 ms il termine transitorio ke-t/T è
trascurabile.
Bipolo R-C
in regime sinusoidale
Dominio del tempo
v  vR  vC  0
vR  Ri
v  Ri  vC
v  RC
i (t )  I  Ie j (  )
V  RI  V C
LKT
iC
dvC
dt
dvC
 vC
dt
v(t )  2V sin( t   ) i (t )  2 I sin( t     )
Dominio dei fasori
v(t )  V  Ve
j
1
VC  j
I
C
z  ze
j
1 

V  R j
I
C 

z  z  R  1 /(C )
2
2
z 
I  jCV C
V
1
 R j
 R  jX
C
I
 1 

 RC 
  arg( z )  arctg 
%
Bipolo R-C
in regime sinusoidale
V V j (  )
I  e
z z
 
V
I
z
1
C
z
Dominio del tempo
i (t )  2
V
R  1 /(C )
vC (t )  2
2
2
sin[ t    arctg (1 / RC )]
V
sin[ t    arctg (1 / RC )   / 2]
Cz
Bipoli R-L e R-C in regime
stazionario
v(t)=V (costante)
v(t)=V (costante)
v  vR  vL
vR  Ri
vL  L
v  Ri
i=V/R
di
0
dt
v  vR  vC
vR  Ri
dvC
iC
0
dt
vR  0
v  vC
Bipoli R,L,C
in regime sinusoidale
B=0
V
z   A  jB
I
z  R
R=A
 0
B>0
B<0
R=A
R=A
z  R  jL
L  B
 0
1
z  R  j
C
1
 B
C
 0
Ammettenza di un bipolo
z
I 1
y  
V z
Ammettenza
z  R  jS
y 
1
R
S
 2

j
 G  jB
2
2
2
R  jS R  S
R S
[Ω-1]
Corrispondenza tra regime
stazionario e regime sinusoidale
Regime stazionario
Regime sinusoidale
z
V RI
I  GV
V  z I
I  yV
Corrispondenza tra regime
stazionario e regime sinusoidale
Regime stazionario
m
LKT
LKC
 () E
k
  (  ) Rk I k
1
m
r
1
k
m
m
1
 () I
Regime sinusoidale
  ( ) J k
1
LKT
 () E
m
k
1
1
m
LKC
 () I
1
  () zk I k
r
k
  (  ) J k
1
Corrispondenza tra regime
stazionario e regime sinusoidale
Regime stazionario
Regime sinusoidale
n
n
Millmann
V AB 
EG
i
i
1
n
G
i
1
 E y
i
Millmann V AB 
1
n
 y
1
i
i
Corrispondenza tra regime
stazionario e regime sinusoidale
Bipolo di Thévenin in
regime stazionario
Bipolo di Thévenin in
regime sinusoidale
z
V  E  RI
V  E  z I
Corrispondenza tra regime
stazionario e regime sinusoidale
Bipolo di Norton in
regime stazionario
Bipolo di Norton in
regime sinusoidale
z
V  R( J  I )
V  z ( J  I )
Impedenze in serie
n
V  V k
z1
z2
1
zn
V k  zk I
n
V  I  z k  z eq I
1
zeq
n
zeq   zk
1
Impedenze in parallelo
z1
zeq
z2
V  zeq I
zn
n
I  Ik
1
V
Ik 
 y k V
zk
zeq 
1
n
 1 z
1
n
I  V  y k  y eq V
1
zeq 
1

y eq
k
1
n
 y
1
k
Bipolo R-L-C e risonanza
Impedenza
L’impedenza del bipolo è:
1 

z  R  j  L 

C 

il bipolo è in risonanza se:
L 
1
 0    0 
C
1
LC
ω0 pulsazione di risonanza.
1 

2
z  z  R   L 

C 

2
Bipolo R-L-C e risonanza
Corrente
Valore efficace della
corrente
V  Ve j
Se
V
I   Ie j (  )
z
I
V

z
V
1 

2
R   L 

C 

2
Il valore massimo di I si ha per
ω=ω0 ed è pari a V/R
Bipolo R-L-C e risonanza. Fase
Lo sfasamento φ:
1 


L




C

  arg( z)  arctg 
R






φ<0 per ω<ω0 il bipolo è equivalente
a un bipolo R-C
φ=0 per ω=ω0 il bipolo è equivalente
al bipolo R
φ >0 per ω>ω0 il bipolo è
equivalente ad un bipolo R-L
Bipolo R-L-C e risonanza
Fattore di merito
I
Per ω=ω0 si ha:
V L  j0 L I
VL 
ω=ω0
0 L
R
VL  VC
V
V
R
1
VC  j
I
0C
1
VC 
V
0CR
Q
0 L
R
Q fattore di merito
VL VC
Q

V
V

1
0CR
Bipolo R-L-C e risonanza
Selettività
La potenza massima
assorbita dal bipolo si ha in
ω=ω0:
Pmax=RI2
In A e B la potenza P=Pmax/2.
Δω è la larghezza di banda.
Quanto più stretta è la banda
tanto più selettivo è il
bipolo. Al diminuire di R
cresce Q=ω0L/R e Δω
diminuisce.
Bipolo R-L-C e risonanza
Influenza di R
Un esempio numerico (Esercizio 2)
A
v(t )  2100 cos(t  30)
f=10 Hz, R=7,32 Ω, R’=20 Ω,
L=1/π Henry, C=1/(400π) Farad
Calcolare i(t), i’(t), i”(t)
B
v(t )  2100 sin( t  60)  V  100e j 60  50  j86,6 V
ω=2πf=20π rad/s, XL=ωL=20 Ω, XC=20 Ω.
z AB  R  j ( X L  X C )  R' //( jX L )
z AB  17,32  j10  20e
I' I
j 30
Ω
R'
 3,41  j 0,91  3,53e  j15 A
R' jX L
R' // jX L 
20( j 20)
 10  j10 Ω
20  j 20
V
I
 5e j 30  4,33  j 2,5 A
z AB
I '' I
jX L
 0,91  j 3,41  3,53e j 75A
R' jX L
%
i (t )  2 5 sin( t  30)
i ' (t )  2 3,53 sin( t  15)
i" (t )  2 3,53 sin( t  75)
Potenza nei circuiti in regime
sinusoidale
Definizioni
Se la tensione e la corrente di un bipolo sono:
v(t )  2V sin( t   )
i (t )  2 I sin( t     )
Adottando per il bipolo la convenzione dell’utilizzatore
per le potenze assorbite e quella del generatore per
quelle erogate, si possono definire le seguenti
grandezze:
1.
p(t)=v(t)i(t) potenza istantanea [W]
2.
P=VIcosφ potenza attiva
[W]
3.
Q=VIsinφ
potenza reattiva (grandezza
convenzionale)
[VAr]
%
Definizioni
4. Papp=VI Potenza apparente (grandezza
convenzionale)
5.
[VA]
P  V I *
Potenza complessa (grandezza
convenzionale)
La potenza istantanea, le potenze attiva, reattiva e
complessa soddisfano il principio di conservazione
delle potenze.
Alle potenze non è applicabile la sovrapposizione degli
effetti.
La potenza apparente
Nel caso di reti di distribuzione dell’energia elettrica la
potenza apparente può essere correlata ai costi di
investimento sostenuti per la realizzazione delle reti
stesse. Infatti:
Papp=VI
La V è correlata ai costo relativi al sistema di
isolamento.
La I è correlata alla quantità di rame impiegata.
La potenza istantanea
p(t )  v(t )i (t )  2V sin( t   ) 2 I sin( t     ) 
 VI cos   VI cos( 2t  2   )
Potenza
attiva P
1
T

t 0 T
t0
Potenza
fluttuante
1
p(t )dt  VI cos  
T
1
P  VI cos  
T

t 0 T
t0

t 0 T
t0
p (t )dt
VI cos( 2t  2   )dt
0
La potenza attiva P è pari al
valore medio della potenza
Istantanea p(t)
%
La potenza istantanea
P=VIcosφ
Espressioni della potenza attiva
La potenza attiva P può essere espressa in funzione dei
vettori V ed I rappresentativi della tensione e della
corrente come:
P  VI cos   V  I
oppure:
P  V ( I cos  )  VI a
Ia componente attiva della corrente
Potenza attiva ed energia
t
W   VI cos dt  Pt
0
p fluttuante
Se un utilizzatore U assorbe una potenza attiva P=VIcosφ
costante nell’intervallo di tempo 0-t1>>T, l’energia assorbita è:
t1
W   p(t )dt  (VI cos  )t1
0
L’energia assorbita da U può essere associata alla resa economica per
l’impianto che alimenta U. Pertanto la potenza attiva P può essere
correlata a tale resa economica.
Potenza attiva e potenza
apparente
La potenza attiva P è legata alla potenza apparente Papp
dalla relazione:
P=(Papp)cosφ
Correlata
alla resa
economica
Correlata
ai costi di
investimento
Il cosφ è detto fattore di potenza
Potenza reattiva
La potenza reattiva Q=VIsinφ costituisce una grandezza convenzionale
priva in generale di uno specifico significato fisico. Essa costituisce un
indicatore di insoddisfacente resa economica e qualità del processo di
utilizzazione dell’energia elettrica ed è utile nell’analisi delle reti elettriche
poiché soddisfa il principio di conservazione. Essendo:
(VI ) 2  P 2  Q 2
P  P2  Q2
app
a parità di potenza apparente, quanto maggiore è la Q, minore è la P e
quindi la resa economica dell’impianto. Essendo inoltre:
P2  Q2
I
V
a parità di P, quanto maggiore è Q,
maggiore è I e quindi maggiori sono
le perdite per effetto Joule e le cadute
di tensione sulla linea elettrica che
alimenta l’utilizzatore U
%
Potenza reattiva
P1=P2
Q1<Q2
I1<I2
φ1<φ2
Potenza complessa
v(t )  2V sin( t   )
V  Ve j
i (t )  2 I sin( t     )
I  Ie j (  )
P  V I *  (Ve j )( Ie  j (  ) )  VIe j  VI (cos   j sin  )  P  jQ
OA  P  VI  Papp  P 2  Q 2
arg( P )    arctg (Q / P)
Q  Ptg
Principio di conservazione delle
potenze complesse
Ipotesi:
La stessa
convenzione dei segni su tutti
gli l lati della rete.
Siano P1,.. Pi,…Pn gli n nodi
della rete
l
l
Tesi
 P V
k
1
l
U ( P"
k
1
k
Generico bipolo costituente il
k-esimo lato della rete
I *k  0
1
l
) I *k  U ( P'k ) I *k  0
1
Somma parziale relativa al
nodo Pi
U Pi ( I *i1  I *i 2 ....  I *ih ....I *il' )  0
i
V k  U ( P"k )  U ( P'k )
Principio di conservazione delle
potenze complesse
Dal principio di conservazione delle potenze complesse:
l
 P
k
0
1
essendo:
Pk  Pk  jQk
si deducono i principi di conservazione delle potenze
attive e reattive:
l
 Pk  0
1
l
Q
k
1
0
Misura della potenza
i(t)
V(t)
Papp  VI
Q  (VI ) 2  P 2
P
cos  
VI
L’amperometro ed il
voltmetro misurano il
valore efficace (valore
quadratico medio) di v
ed i. Il wattmetro la
potenza attiva P (valore
medio della potenza
istantanea v(t)i(t)).
Potenze nel bipolo resistenza
 0
V  RI
P  VI cos   VI  RI 2
Q  VI sin   0
Papp  VI  P
P  P  RI 2
p(t )  v(t )i(t )  Ri 2 (t )
α=0
Potenze nel bipolo induttanza

V  j L I

2
X  L
V  jX I
α=0
P  VI cos   0
Q  VI sin   VI  LI  XI
2
Wmax
1
 L( 2 I ) 2  LI 2
2
Papp  VI  Q
2
W
1 2
Li
2
Q  Wmax
P  jQ  jXI 2
%
Potenze nel bipolo induttanza
v(t )  2V sin( t   )
α=0
i (t )  2 I sin( t     / 2)
p(t )  v(t )i (t ) 
 VI cos( 2t  2   / 2) 
 VI sin( 2t  2 )
Potenze nel bipolo capacità
V j
X 
1
I
C
1
C


2
α=0
V   jX I
P  VI cos   0
1 2
I   XI 2  CV 2
C
1
 C ( 2V ) 2  CV 2 Q  Wmax
2
Q  VI sin   VI  
1 2
W  Cv Wmax
2
Papp  VI  Q
P  jQ   jCV 2
%
Potenze nel bipolo capacità
v(t )  2V sin( t   )
i (t )  2 I sin( t     / 2)
p(t )  v(t )i (t ) 
 VI cos( 2t  2   / 2) 
 VI sin( 2t  2 )
α=0
Potenze nel bipolo R-L
α=0
φ>0
V  z I z  R  jL  R  jX
X  L
P  VI cos   zI 2 cos   RI 2
Q  VI sin   zI 2 sin   XI 2
Papp  VI
P  RI 2  jXI 2  zI 2
%
Potenze nel bipolo R-L
v(t )  2V sin( t   )
i (t )  2 I sin( t     )
p(t )  v(t )i (t ) 
 VI cos   VI cos( 2t  2   )
α=0
Passività dei bipoli in regime
lentamente variabile
bipolo si dice invece passivo se, applicando la convenzione
dell’utilizzatore, risulta per ogni t:
t
W   vidt  0

Si ha quindi che l’energia che un bipolo passivo può erogare
in un determinato intervallo di tempo non è mai maggiore di
quella precedentemente assorbita.
Sono passivi i bipoli R, L, C e tutti quelli risultanti dalla loro
connessione.
Potenze nel bipolo R-C
V  z I
X 
z  R  j
1
C
1
 R  jX
C
P  VI cos   zI 2 cos   RI 2
Q  VI sin   zI 2 sin    XI 2
Papp  VI
P  RI 2  jXI 2  zI 2
α=0
Una formulazione del principio
di conservazione delle potenze
P potenze complesse
erogate
 P   P   P
Ei
Ji
i
Ri
i
i
i
2
P

P

R
I
 Ei  Ji  i Ri
i
i
PLi   jLi I Li2
PRi   Ri I Ri2
i
  PLi   PCi  0
i

PCi   j  CiVCi2

2
2
Q

Q


L
I


C
V
 Ei  Ji  i Li  i Ci
i
i
i
i
Rifasamento
P
cos  
Papp
Quanto minore è il cosφ di un impianto
peggiore è la sua resa economica per l’ente
distributore dell’energia elettrica e a parità di
P maggiore è la corrente assorbita.
Per impianti con P>15 kW non è consentito il funzionamento con cosφ
medio (cosφm) minore di 0,7. Per 0,7< cosφm<0,9 occorre pagare una
penale commisurata all’energia reattiva assorbita (WQ).
tg m



t 0 
t0
t 0 
t0
Qdt
Pdt
WQ  
t 0 
t0
Qdt
dove τ è l’intervallo di
fatturazione
%
Rifasamento
U utilizzatore ohmicoinduttivo
C capacità di
rifasamento
DIME
φ*: φ desiderato
DIMENSIONAMENTO DI C
QC  AD  BD  QU  PU tg* 
 PU (tgU  tg*)
QC  CV 2
C
QC
2fV 2
Caratterizzazione dei bipoli
passivi
Oltre che con l’equazione caratteristica:
V  z I
i bipoli passivi si possono caratterizzare mediante:
V  ......

 P  ......
Q  ........

V  ......

Q  ......
cos   ........

V  ......

 P  ......
cos   ........ (ritardo)

V  ......

 P  ......
sin   ........

V  ......

Q  ......
sin   ........

V  ......

 P  ......
cos   ........ (anticipo)

In particolare possono essere forniti i dati nominali.
%
Caratterizzazione dei bipoli passivi
Da ciascuna di queste caratterizzazione si può dedurre
l’operatore impedenza. Ad es. dalla prima si ha:
Papp  P  Q  VI
2
V
z
I
2
I
  arctg (Q / P)
Papp
V
z  ze j
Utilizzazione del principio di
conservazione delle potenze
Esempi numerici
Esercizio 3
v(t )  2 220 sin( t )
+
R=10 Ω, ωL=19,6 Ω.
Dati di targa utilizzatore U
Vn=220 V, Pn=1,76 kW, cosφu=0,8 (rit.)
Calcolare indicazione amperometro A
(valore efficace della corrente i)
Applicazione conservazione potenze
P’=RI’2, Q’=ωLI’2. I’=220/z’.
Q’=1,96 kVAr.
z '  R 2  (L) 2  22 Ω. I’=10 A, P’=1 kW,
P”=Pn=1,76 kW, Q”=P”tgφu, tgφu=0,75, Q”=1,32 kVAr
%
Ptot=P’+P”=2,76 kW, Qtot=Q’+Q”=3,28 kVAr,
2
Papp  Ptot2  Qtot
 VI  4,29 kVA, cosφ=Ptot/Papp=0,643, φ=49,9°
I=Papp/V=19,48 A
(Indicaz. amperometro)
%
Applicazione dei fasori
V  220e  220 V;
j0
Pn
I"
 10
Vn cos u
A
V
I'
 4,54  j8,9  10e  j 63 A
R  jL
I "  I " e  ju  10e  j 36,9  8  j 6 A
I  I ' I "  12,54  j14,9  19,48e  j 49,9 A
I  I  19,48 A
Es.4
B
Rl
Ll
B’
R=10 Ω, ωL=19,6 Ω.
Dati di targa utilizzatore U
Vn=220 V, Pn=1,76 kW, cosφu=0,8 (rit.)
Rl=0,5 Ω
ωLl=1 Ω
Calcolare il valore efficace V della tensione a monte v(t) affinché a valle
ai capi dell’utilizzatore U sia applicata la sua tensione nominale Vn
Applicazione conservazione potenze
Dall’esercizio 3 si ricavano i seguenti dati relativi alla sezione A,A’:
I=19,48 A, PA=2,76 kW, QA= 3,28 kVAr. I dati corrispondenti nella sez. B,B’
%
PB=RlI2 + PA=2,95 kW
QB=ωLlI2 + QA =3,66 kVAr
PappB  PB2  QB2  VI  4,7
kVA
V=PappB/I=241,2 V
ΔV=V-Vn=21,2 V (8,7 %)
Applicazione dei fasori
Dall’esercizio 3 nella sezione A-A’:
VA  220 V
I  12,54  j14,9 A
Nella sezione B-B’:
V  VA  ( Rl  jLl ) I  241,1  j5 V
V  V  241,2
V
Eserc. 5
v(t )  2 220 sin( t )
R=10 Ω, ωL=19,6 Ω.
f=50 Hz
Dati di targa utilizzatore U
Vn=220 V, Pn=1,76 kW,
cosφu=0,8 (rit.)
Calcolare C in maniera tale da rifasare totalmente l’impianto (cosφ=1)
Dall’esercizio 3 si ricavano i seguenti dati relativi alla sezione A,A’:
IA=19,48 A, PA=2,76 kW, QA= 3,28 kVAr, cosφA=0,643 .
QC  CV  QA  3,28
2
PB=PA=VIB
kVAr
IB=12,54 A
C  QC /(V 2 )  216 μF
ω =2πf=100π rad/sec
Esercizio 6
Nella stessa rete dell’esempio 3) calcolare C in maniera tale che il cosφ
nella sezione B-B’ sia pari a 0,9.
PA=2,76 kW,
QA= 3,28 kVAr,
cosφA=0,643
φA=49,9°
cosφ*=0,9
φ*=25,8°
QC  AD  BD  QA  PAtg*  1,94 kVAr
PB=PA=VIBcosφ*
IB=13,94 A
C  QC /(V 2 )  128 μF
Reti con generatori a frequenza diversa
Non è direttamente applicabile il metodo dei fasori. Se la rete è lineare si
può applicare la sovrapposizione degli effetti nel dominio del tempo,
considerando separatamente agenti i generatori a eguale frequenza.
Per ciascun gruppo di generatori isofrequenziali si può applicare il
metodo dei fasori.
Un esempio numerico (esercizio 7)
e1 (t )  2100 sin( t  30) V
e2 (t )  2100 cos( 2t  30) V
e3=200 V (costante)
R=ωL= 1/(ωC)= 20 Ω
Calcolare i1(t), i2(t), i3(t).
ik(t)=i’k(t) + i’’k(t) + i’’’k(t) (k=1, 2, 3)
%
Calcolo delle i’k(t) (componenti a pulsazione ω)
zL  j 20 Ω
zC   j 20 Ω
zBD  ( R  zL ) // zC  20  j 20 Ω
z AD  R  zL  zBD  40 Ω
R  z L
I '2  I '1
 3,41  j 0,91  3,53e j15 A
R  z L  zC
i '1 (t )  2 2,5 sin( t  30) A
E1
 2,5e  j 30 A
z AD
zC
I '3  I '1
 2,5e  j120 A
R  z L  zC
I '1 
e1 (t )  E1  100e  j 30  86,6  j 50 V
i '2 (t )  2 3,53 sin( t  15) A
i'3 (t )  2 2,5 sin( t 120) A
%
Calcolo delle i’’k(t) (componenti a pulsazione 2ω)
zL  j 40
Ω
zC   j10 Ω
ze  zC  ( R  zL ) / 2  10  j10 Ω
e2 (t )  E 2  100e j 60  50  j86,6 V
I "2
I "2
E2
j15
 j165 A
j15
I
"


3
,
53
e
I
"



3
,
53
e
A
A
I "2 
 7,07e
1
3
2
2
ze
i ' '1 (t )  2 3,53 sin( 2t  15) A
i ' '2 (t )  2 7,07 sin( 2t  15) A
i' '3 (t )  2 3,53 sin( 2t 165) A
%
Calcolo delle i’’’k(t) (componenti stazionarie)
i1'''  i3'''  
e3
 5 A
2R
i2'''  0
Correnti risultanti
i1 (t )  2 2,5 sin( t  30)  2 3,53 sin( 2t  15)  5
i2 (t )  2 3,53 sin( t  15)  2 7,07 sin( 2t  15)
A
A
i3 (t )  2 2,5 sin( t 120)  2 3,53 sin( 2t 165)  5
A
Circuiti in regime sinusoidale
Reti trifasi
Sistemi simmetrici trifasi di
grandezze sinusoidali
a1 (t )  2 A sin( t   )
a2 (t )  2 A sin( t    2 / 3)
A1  Ae j
A2  Ae j ( 2 / 3)
a3 (t )  2 A sin( t    4 / 3)
costituiscono un sistema simmetrico
diretto di grandezze sinusoidali.
A3  Ae j ( 4 / 3)
A1  A2  A3  0
a1 (t )  a2 (t )  a3 (t )  0
Sistemi simmetrici trifasi di
grandezze sinusoidali
a1 (t )  2 A sin( t   )
a2 (t )  2 A sin( t    2 / 3)
a3 (t )  2 A sin( t    4 / 3)
costituiscono un sistema simmetrico
inverso di grandezze sinusoidali.
A1  A2  A3  0
a1 (t )  a2 (t )  a3 (t )  0
A1  Ae j
A2  Ae j ( 2 / 3)
A3  Ae j ( 4 / 3)
Generazione di una f.e.m.
sinusoidale
  t
   B  ndS  ( B cos  )S  BS cos t
ω
S
e
α
ω
d 
dt
 BS  sin t
Generazione di un sistema
simmetrico di f.e.m. sinusoidali
e1  BS sin( t )
e2  BS sin( t  2 / 3)
ω
e3  BS sin( t  4 / 3)
Genesi di una rete trifase
Genesi di una rete trifase
z  ze j
E1  Ee j
E 2  E j ( 2 / 3)
E 3  E j ( 4 / 3)
E1 E j (  )
I1 
 e
 Ie j (  )
z
z
I
E
z
E 2 E j (  2 / 3)
I2 
 e
 Ie j (  2 / 3)
z
z
E 3 E j (  4 / 3)
I3 
 e
 Ie j (  4 / 3)
z
z
Genesi di una rete trifase
I 0  I1  I 2  I 3  0
V O'O  0
E1  V 1O
E 2  V 2O
3
V O 'O 
E '1  V 1O '  E 1
E '3  V 3O'  E 3
E
1
3 y
E 3  V 3O
3
k
y

E
1
3
k
0
E '2  V 2 O '  E 2
Reti trifasi - Carico a stella - Denominazioni
z: impedenza di fase
e1, e2, e3 tensioni stellate di
alimentazione
e’1, e’2, e’3 tensioni stellate sul
carico o di fase
i1, i2, i3 correnti di linea o di fase
v12, v23, v31 tensioni di linea o concatenate
Sistema trifase simmetrico ed
equilibrato- Carico a stella
α=0
v12, v23, v31, costituiscono
una terna simmet. diretta
V 12  V 23  V 31  V
V  2 M 3  2 E cos 30  3E
V 12  3 E1e j 30
Nelle reti di distribuzione E=220 V, V=380 V.
V 23   j 3 E 1
Stelle equilibrate- Circuito
monofase equivalente
V O 'O  E '1  E1  0
E '1  z I 1
V O'O  0  E1  z I 1
E1
I1 
z
I 2  I 1e j 2 / 3
I 3  I 1e j 4 / 3
Circuito monofase equivalente
%
3
V O 'O 
E
3
k
y '

1
3 y '
E
k
0
1
3
E 1  V O 'O  z ' I '1  E 1  z ' I '1
3
V O"O 
E
3
k
y"
1
3 y"

E
1
3
k
0
E 1  V O"O  z" I "1  E 1  z" I "1
9 lati,
3 nodi
I 1  I '1  I "1
I '1  E 1 / z '
Circuito
monofase
equivalente
I k  I 1e
 j ( k 1) 2 / 3
I "k  I "1e j ( k 1) 2 / 3
I "1  E 1 / z"
I 'k  I '1 e j ( k 1) 2 / 3
k  2,3
%
Un esempio (Esercizio 8)
e1 (t )  2100 sin( t  60)
e2 (t )  2100 sin( t  60)
e3 (t )   2100 sin( t )
f=10 Hz, R=7,32 Ω, R’=20 Ω,
L=1/π Henry, C=1/(400π) Farad
Circuito monofase equivalente;
circuito già precedentemente
analizzato nell’esercizio 2.
%
I1  5e j 30
I '1  3,53e j 75
I ' '1  3,53e  j15
Le correnti relative alle fasi 2 e 3 si deducono sfasando tali correnti di
120° e 240° in ritardo.
Sistema trifase simmetrico ed
equilibrato- Carico a triangolo
3E
I1  1
z
J 12
i1, i2, i3 e j12, j23, j31, sono
2 terne simmetriche
V 12
3 E1e j 30
1



I 1e j 30
z
z
3
I  3J
Carico
equilibrato
Confronto tra sistemi equilibrati
con carico a stella e a triangolo
Carico a stella
Carico a triangolo
ilinea=ifase
ilinea≠ifase(j)
vlinea ≠vfase(e)
vlinea =vfase
V  3E
I  3J
Potenza nei sistemi trifasi
simmetrici ed equilibrati
Per il principio di conservazione delle
potenze le potenze attiva e reattiva
assorbite dal carico trifase sono pari alla
somma di quelle erogate dai 3 generatori:
P  E1  I 1  E 2  I 2  E 3  I 3 
 3EI cos   3VI cos 
Q  3EI sin   3VI sin 
φ è lo sfasamento tra e1 e i1
Papp  P 2  Q 2  3EI  3VI
Esercizio 9
e1 (t )  2 220 sin( t )
e2 (t )  2 220 sin( t  120)
e3 (t )  2 220 sin( t  120)
R=30 Ω; ωL=58,8 Ω.
Dati di targa dell’utilizzatore equilibrato trifase UT:
Vn=380 V (V concatenata); Pn=5,28 kW; cosφU=0,8 (ritardo).
Calcolare tutte le correnti, le P e Q complessivamente assorbite dai due
carichi ed il cosφ risultante.
%
Trasformando a stella il triangolo di R,L e sostituendo UT con una stella
equivalente:
Dati del bipolo U
(utilizzatore monofase):
Vu=220 V, Pu=1,76 kW,
cosφu=0,8 (ritardo)
%
Circuito monofase equivalente
Questa rete è già stata
analizzata nell’esercizio 3
I 1  19,48e  j 49,9 A
I '1  10e  j 63 A
I "1  10e  j 36,9 A
Le correnti di linea relative alle fasi 2 e 3 si deducono sfasando tali correnti
di 120° e 240° in ritardo. Le correnti J nei lati del triangolo R-L sono date da
J 12
 j 33
1

I '1 e j 30  5,77e
3
J 31  J 12e  j120  5,77e j 87
A
J 23  J 12e  j120  5,77e  j153
A
A
Le P e Q sono pari a quelle già calcolate nell’esercizio 3 moltiplicate per
3: P=8,28 kW, Q=9,84 kVAr, cosφ=0,643.
Esercizio 10
I dati sono quelli dell’esercizio 9. f=50 Hz. Dimensionare l’utilizzatore
capacitivo UC in maniera tale che il cosφ a monte sia pari a 0,9.
%
P e Q a valle di UC sono già stati calcolati nell’esercizio 9.
P=8,28 kW,
Q= 9,84 kVAr,
cosφ=0,643
φ=49,9°
cosφ*=0,9
φ*=25,8°
QC  AD  BD  Q  P tg*  5,83 kVAr
Se UC è costituito da una stella di condensatori di capacità Cy:
QC  3C y E 2  3 100  C y  2202  C y  128 μF
Se UC è costituito da un triangolo di condensatori di capacità CΔ:
QC  3CV 2  3 100  C  3802  C  42,8 μF
Esercizio 11
e1’ , e2’ , e3’ costituiscono una terna simmetrica di tensioni sinusoidali di
pulsazione ω
R=30 Ω; ωL=58,8 Ω; R’=5 Ω; ωL’=5 Ω. UT (carico ohmico-induttivo) assorbe
la potenza P=5,28 kW con cosφ=0,8 essendo alimentato dalla tensione:
v12 (t )  2 380 sin( t  30) Calcolare v2’3’(t) e v1a(t).
%
Circuito monofase equivalente
V 1O  E1 
V 12  j 30
e
 220 V
3
I dati di U e la corrente
i1 sono già calcolati
nell’esercizio 9
E1'  E1  ( R' jL' ) I 1  357e  j 2 V
V 2'3'   j 3 E 1'  619e  j 92 V
V 1a  V 12  jL' I 2  V 12  jL' I 1e  j120  423e j 42,5 V
v2'3' (t )  2  619 sin( t  92) V
v1a (t )  2  423sin( t  42,5) V
Esercizio 12
R=30 Ω; ωL=58,8 Ω R’=5 Ω; ωL’=5 Ω
Dati di targa dell’utilizzatore equilibrato trifase UT:
Vn=380 V (V concatenata); Pn=5,28 kW; cosφU=0,8 (ritardo).
e1’ , e2’ , e3’ costituiscono una terna simmetrica di tensioni sinusoidali
di pulsazione ω. Applicando il principio di conservazione delle
potenze,calcolare il loro valore efficace E affinché al carico trifase UT
sia applicata la tensione nominale (concatenata) Vn
%
P, Q, Papp e I nella sezione A sono date da:
PA=PN+3RˑJ2
IA 
PappA
3VN
QA=PNtgφu
J
PappA  PA  QA  3VN I A
2
+3ωLˑJ2
VN
R  (L)
2
2
2
 5,75 A
PA=8,28 kW, QA=9,84 kVAr, PappA= 12,86 kVA, IA=19,49 A .
PB=PA+3R’ˑIA2 QB=QA+3ωL’ ˑIA2
PappB  PB  QB  3EI A
PB=13,95 kW
PappB=20,88 kVA
QB=15,53 kVAr
E
PappB
3I A
2
 357 V
2
Rete trifase a tre fili:
stella squilibrata
3
V OO'  
E
k
y k
1
3
 y
k
Tensione di spostamento
del centro stella
E'k  E k  V OO'
I k  E'k y k
1
Le terne delle tensioni stellate e’k e delle correnti ik non sono simmetriche.
Sistema trifase a quattro fili:
stella squilibrata
1, 2, 3 conduttori di fase
N conduttore di neutro
V OO'  0
E'k  E k  V OO'  E k
I k  E k y k
3
IN  Ik
1
Sistema trifase: triangolo squilibrato
J 12
V 12

z12
J 31 
V 23
J 23 
z23
V 31
z31
I 1  J 12  J 31
I 3  J 31  J 23
I 2  J 23  J 12
Esercizio 13
R’=5Ω;
Ω;ωL’=5
ωL’=5ΩΩ
R’=5
I dati delle tensioni di alimentazione e quelli dei carichi a sinistra della
sezione A sono quelli della rete dell’esercizio 9. Calcolare le 3 correnti
erogate dai generatori di tensione.
Le correnti di linea nella sezione A costituiscono una terna simmetrica
diretta e sono già state calcolate nell’esercizio 9:
I 1  19,48e  j 49,9 A
I 2  19,48e  j169,9 A
I 3  19,48e j 70,1 A
Le correnti erogate dai generatori sono fornite da:
I '1  I 1  I 13
I '2  I 2
I '3  I 3  I 13
V 13
I 13 
( R' jL' )
V 13  3 E1e  j 30  380e  j 30
I 13  53,7e  j 75 A
I '1  71,8e  j 68, 4 A
I '2  19,48e  j169,9 A
I '3  70,6e j195,9 A
%
i '1 (t )  2 71,8 sin( t  68,4)
i '2 (t )  219,48 sin( t  169,9)
i'3 (t )  2 70,6 sin( t  95,9)
Esercizio 14
R’=5
R’=5Ω;
Ω;ωL’=5
ωL’=5ΩΩ
I dati delle tensioni di alimentazione e quelli dei carichi a sinistra della
sezione A sono quelli della rete dell’esercizio 9. Calcolare le 3 correnti
erogate dai generatori di tensione.
%
Le correnti di linea nella sezione A costituiscono una terna simmetrica
diretta e sono già state calcolate nell’esercizio 9:
I 1  19,48e  j 49,9 A
I 3  19,48e j 70,1 A
I 2  19,48e  j169,9 A
Le correnti erogate dai generatori sono fornite da:
V 32
I "3 
jL'
V 12
I "1 
R'
I 'k  I k  I "k
I "2   I "1  I "3
V 12  3 E1e j 30  380e j 30
V
V 32  3 E1e j 90  j 380
I "1  76e j 30 A
I "3  76
A
I "2  146,8e  j165
A
%
I '1  81,7e
j16, 4
A
I '2  166e  j165, 6 A
I '3  84,6e j12,5
i '1 (t )  2 81,7 sin( t  16,4)
A
i '2 (t )  2166 sin( t  165,6)
A
i'3 (t )  284,6 sin( t  12,5)
A
A
Esercizio 15
R’=5 Ω; ωL’=5 Ω
R’=5 Ω; ωL’=5 Ω
I dati delle tensioni di alimentazione e quelli dei carichi a sinistra della
sezione A sono quelli della rete dell’esercizio 9. Calcolare le 3 correnti
erogate dai generatori di tensione.
%
Le correnti di linea nella sezione A costituiscono una terna simmetrica
diretta e sono già state calcolate nell’esercizio 9:
I 1  19,48e  j 49,9
I 2  19,48e  j169,9
Le correnti erogate dai generatori sono fornite da:
3
V OO'  
 E k y k
1
3
 y
1
I "1 
k
E1

R'

1

R'
( E1  V OO' )
 65,8e  j18, 4 A
R'
I "3 
I 3  19,48e j 70,1
I 'k  I k  I "k
E2
E3

jL' R'
 92,3  j104,1
1
1

jL' R'
I "2 
V
( E 2  V OO' )
 59e j176,6 A
jL'
( E 3  V OO' )
 17,6e j101,5 A
R'
%
I '1  83,1e  j 25,5
A
I '2  78,1e j179,9
I '3  35,7e j 85
A
i '1 (t )  2 83,1sin( t  25,5)
A
i '2 (t )  2 78,1sin( t  179,9)
A
i'3 (t )  2 35,7 sin( t  85)
A
A
Un esempio di rete di distribuzione in BT
Misura della potenza in una rete trifase
simmetrica ed equilibrata
P  3EI cos   3VI cos   3W
cos  
3W
VA
Q  3VA sin 
%
Inserzione Aron
W '  V 12  I 1  VI cos(  30) 
3
1
 VI
cos   VI sin 
2
2
W "  V 32  I 3  VI cos(30   ) 
 VI
3
1
cos   VI sin 
2
2
W 'W "  3VI cos   P
W "W '  VI sin   Q / 3
Misura della potenza in una rete trifase a 3 fili
non equilibrata
W '  V 12  I 1  ( E1  E 2 )  I 1
W "  V 32  I 3  ( E 3  E 2 )  I 3
W 'W "  ( E 1  E 2 )  I 1  ( E 3  E 2 )  I 3 
 E1  I 1  E 3  I 3  E 2  ( I 1  I 3 )
I 1  I 3  I 2
W 'W "  E1  I 1  E 2  I 2  E 3  I 3  P
Reti in regime lentamente
variabile
Funzionamento transitorio
Bipolo R-L in regime transitorio
LKT
v  vR  vL  0
vR  Ri
v  Ri  L
vL  L
di
dt
di 
d
  R  L i
dt 
dt 
Bipolo R-L in regime
transitorio (v(t) sinusoidale)
L’integrale generale dell’equazione differenziale:
v(t ) 
di
v  Ri  L
dt

2V sin( t   )
i(t )  ket  i p (t ) dove ip(t) è un integrale particolare e λ è la
è
radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata R+λL=0

t / T
i (t )  ke
R
1

L
T
(T=L/R costante di tempo)
 2
V
R  (L)
2
2
sin t    arctg (L / R)
ke t / T
Per il calcolo di k occorre imporre la
condizione iniziale per t=0+ .
%
Bipolo R-L in regime
transitorio (v(t) sinusoidale)
1 2
WL  Li
2
pL 
dWL
di
 Li
dt
dt
La corrente i nell’induttanza è una variabile di stato, per cui i(0+)=i(0-). Se
I0=[i(t)]t=0- imponendo i(0+)=i(0-)=I0 si ha:
k  I 0  i p (0)  I 0  2
V
R  (L)
2
2
sin   arctg (L / R)
Se il circuito è inizialmente a riposo I0=0
%
Bipolo R-L in regime
transitorio (v(t) sinusoidale)
α<0
v(t )  2V sin( t   )
Risposta del bipolo R-L
ad un gradino di tensione
v  Ri  L
di
dt
L’integrale generale dell’equazione è:
i (t )  ket / T  i p (t )  ket / T 
V
R
Imponendo i(0+)=i(0-)=0:
V
k  
R
i (t ) 

V
1  e t / T
R

T=L/R
Esercizio 16
Dato il circuito R-L:
R=10 Ω, L=0,1 H
Determinare i(t) e vL(t) nell’intervallo di tempo (-∞, ∞) nelle seguenti
condizioni di funzionamento, da 16A) a 16H), corrispondenti a diversi
andamenti e valori di e(t):
16A)
Per t<0
e(t )  2 50 sin( t  30), ω=100 rad/s, per t>0 e(t)=0.
Per t<0 la i è sinusoidale. Ricorrendo al calcolo simbolico:
E  50e
j 30
z  R  jL  10  j10  210e
j 45o
%
I
5  j15
e
,
2
i (t )  5 sin( t  15), i(0)  i(0)  I 0  5 sin( 15)  1,29
50 j 75
VL  jLI 
e
2
vL (t )  50 sin( t  75)
Per t>0
i(t )  ket / T  i p (t )
dove T=L/R=0,01 s e ip(t)=0
imponendo la condizione iniziale per t=0+, si ha k=I0=-1,29 e
quindi:
i(t )  1,29e
100t
vL (t )  L
di
 12,9e 100t
dt
%
16B)
Per t<0, e(t ) 
2 50 sin( t  30), ω=100 rad/s, per t>0 e(t)=E=50.
Per t<0 la i è sinusoidale. Ricorrendo al calcolo simbolico:
E  50e
I
j 30
5  j15
e
,
2
z  R  jL  10  j10  210e
i (t )  5 sin( t  15), i(0)  i(0)  I 0  5 sin( 15)  1,29
vL (t )  50 sin( t  75)
50 j 75
VL  jLI 
e
2
Per t>0
j 45o
i(t )  ket / T  i p (t )
dove T=L/R=0,01 s e ip(t)=E/R=5.
imponendo la condizione iniziale per t=0+, si ha k=I0-E/R=-6,29 e
quindi:
i(t )  6,29e
100t
5
vL (t )  L
di
 62,9e 100t
dt
%
16C)
Per t<0, e(t ) 
per t>0
2 50 sin( t  30), ω=100 rad/s,
e(t )  2 50 cos(t  30),
Per t<0 la i è sinusoidale. Ricorrendo al calcolo simbolico:
E  50e
I
j 30
z  R  jL  10  j10  210e
5  j15
e
, i (t )  5 sin( t  15),
2
50 j 75
VL  jLI 
e
2
Per t>0
j 45o
i(0)  i(0)  I 0  5 sin( 15)  1,29
vL (t )  50 sin( t  75)
i(t )  ket / T  i p (t )
dove T=L/R=0,01 s e
i p (t )  5 cos(t  15). Imponendo la condizione iniziale per t=0+, si ha:
K=I0-ip(0)=-6,12 e quindi:
%
per t>0
i(t )  6,12e 100t  5 cos(t  15)
di
vL (t )  L  61,2e 100t  50 sin( t  15)
dt
16D)
Per t<0 e(t)=E=50, per t>0 e(t)=0
Per t<0 la i(t) è stazionaria:
E
i (t )   5
R
i(0)  i(0)  I 0  5
di
vL (t )  L  0
dt
%
Per t>0
i(t )  ket / T  i p (t )
dove T=L/R=0,01 s e ip(t)=0
imponendo la condizione iniziale per t=0+, si ha k=I0=5 e quindi:
i(t )  5e
di
vL (t )  L  50e 100t
dt
100t
16E)
Per t<0 e(t)=E=50, per t>0 e(t)=-E=-50
Per t<0 la i(t) è stazionaria:
E
i (t )   5
R
i(0)  i(0)  I 0  5
di
vL (t )  L  0
dt
%
Per t>0
i(t )  ket / T  i p (t )
dove T=L/R=0,01 s e ip(t)=-5
imponendo la condizione iniziale per t=0+, si ha k=I0-ip(0) =10 e quindi:
i(t )  10e
100t
5
di
vL (t )  L  100e 100t
dt
16F)
Per t<0 e(t)=E=50, per t>0 e(t ) 
2 50 sin( t  30), ω=100 rad/s
Per t<0 la i(t) è stazionaria:
E
i (t )   5
R
i(0)  i(0)  I 0  5
di
vL (t )  L  0
dt
%
Per t>0
i(t )  ket / T  i p (t )
dove T=L/R=0,01 s e
i p (t )  5 sin( t  15).
Imponendo la condizione iniziale per t=0+, si ha: k= I0-ip(0)=6,29 e quindi
i(t )  6,29e 100t  5 sin( t  15)
vL (t )  62,9e 100t  50 cos(t  15)
16G)
Per t<0 e(t)=0, per t>0 e(t ) 
Per t<0 i(t)=vL(t)=0
2 50 sin( t  30), ω=100 rad/s
i(0)  i(0)  I 0  0
%
Per t>0
i(t )  ke100t  5 sin( t  15)
Imponendo la condizione iniziale per t=0+, si ha: k=-ip(0)=1,29 e quindi
vL (t )  12,9e 100t  50 cos(t  15)
i(t )  1,29e 100t  5 sin( t  15)
16H)
Per t<0 e(t)=0, per t>0 e(t)=E=50
Per t<0 i(t)= vL(t)=0
Per t>0

i(t )  5 1  e 100t

vL (t )  50e 100t
Bipolo R-C in regime
transitorio (v(t) sinusoidale)
v(t )  2V sin( t   )
v  Ri  vC
dvC
iC
dt
dvC
v  RC
 vC
dt
L’integrale generale dell’equazione differenziale è:
vc (t )  ket  vcp (t )
dove vcp(t) è un integrale particolare e λ è la
radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata RCλ+1=0
1
1
(T=RC costante di tempo)


RC
T
t / T
vC (t )  ke
V
 2
sin[ t    arctg (1 / RC )   / 2]
Cz
%
Bipolo R-C in regime
transitorio (v(t) sinusoidale)
Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0+ .
dWC
dvC
pC 
 CvC
dt
dt
1 2
WC  CvC
2
La tensione vC è una variabile di stato, per cui vC(0+)=vC (0-).
Se V0=[vC(t)]t=0- imponendo vC(0+)=vC (0-)=V0 si ha:
V
k  V0  vCp (0)  V0  2
sin[   arctg (1 / RC )   / 2]
Cz
La i è data da:
i (t )  C
dvC
V
k
 2 sin[ t    arctg (1 / RC )]  C e t / T
dt
z
T
Se la capacità è inizialmente scarica V0=0.
%
Bipolo R-C in regime
transitorio (v(t) sinusoidale)
α>0
%
Risposta del bipolo R-C
ad un gradino di tensione
v  Ri  vC
iC
dvC
v  RC
 vC
dt
dvC
dt
L’integrale generale dell’equazione è:
t / T
vc (t )  ke
t / T
 vcp (t )  ke
V
Imponendo vc(0+)=vc(0-)=0 si ha k=-V.

vC (t )  V 1  e
t / T

dvC V t / T
i (t )  C
 e
dt
R
T=RC
T=RC
Esercizio 17
Dato il circuito R-C:
R=10 Ω, C=1 mF
Determinare vC(t) e i(t) nell’intervallo di tempo (-∞, ∞) nelle seguenti
condizioni di funzionamento, da 17A) a 17H), corrispondenti a diversi
andamenti e valori di e(t):
17A)
Per t<0
e(t )  2 50 sin( t  30), ω=100 rad/s, per t>0 e(t)=0.
Per t<0 la i è sinusoidale. Ricorrendo al calcolo simbolico:
E  50e
j 30
1
 j 45o
z  R  j
 10  j10  210e
C
%
5 j 75
I
e ,
2
i (t )  5 sin( t  75),
vC (t )  50 sin( t  15)
VC   j
1
50  j15
I
e
C
2
vC (0)  vC (0)  V0  50 sin( 15)  12,9
Per t>0
vC (t )  ket / T  vC p (t )
dove T=RC=0,01 s e vCp(t)=0
imponendo la condizione iniziale per t=0+, si ha k=V0=-12,9 e
quindi:
vC (t )  12,9e
100t
dvC
i (t )  C
 1,29e 100t
dt
%
17B)
Per t<0, e(t ) 
2 50 sin( t  30), ω=100 rad/s, per t>0 e(t)=E=50.
Per t<0 la i è sinusoidale. Ricorrendo al calcolo simbolico:
E  50e
1
 j 45o
z  R  j
 10  j10  210e
C
j 30
5 j 75
I
e ,
2
i (t )  5 sin( t  75),
vC (t )  50 sin( t  15)
Per t>0
VC   j
1
50  j15
I
e
C
2
vC (0)  vC (0)  V0  50 sin( 15)  12,9
vC (t )  ket / T  vC p (t )
dove T=L/R=0,01 s e ip(t)=E/R=5.
Imponendo la condizione iniziale per t=0+, si ha k=I0-E/R=-62,9 e
quindi:
vC (t )  62,9e
100t
 50
i (t )  C
dvC
 6,29e 100t
dt
%
17C)
Per t<0, e(t ) 
per t>0
2 50 sin( t  30), ω=100 rad/s,
e(t )  2 50 cos(t  30),
Per t<0 la i è sinusoidale. Ricorrendo al calcolo simbolico:
1
 j 45o
z  R  j
 10  j10  210e
E  50e
C
1
50  j15
5 j 75
V


j
I

e
C
I
e , i (t )  5 sin( t  75),
C
2
j 30
2
vC (t )  50 sin( t  15)
Per t>0
vC (0)  vC (0)  V0  50 sin( 15)  12,9
vC (t )  ket / T  vC p (t )
dove T=L/R=0,01 s e
vCp (t )  50 cos(t  15). Imponendo la condizione iniziale per t=0+, si ha:
K=V0-vCp(0)=-61,2 e quindi:
%
per t>0
vC (t )  61,2e 100t  50 cos(t  15)
dvC
i (t )  C
 6,12e 100t  5 sin( t  15)
dt
17D)
Per t<0 e(t)=E=50, per t>0 e(t)=0
Per t<0 la i(t) è nulla:
vC (t )  E  50
vC (0)  vC (0)  V0  50
i (t )  C
dvC
0
dt
%
Per t>0
vC (t )  ket / T  vC p (t )
dove T=L/R=0,01 s e vCp(t)=0.
Imponendo la condizione iniziale per t=0+, si ha k=V0=50 e quindi:
vC (t )  50e
dvC
i (t )  C
 5e 100t
dt
100t
17E)
Per t<0 e(t)=E=50, per t>0 e(t)=-E=-50
Per t<0 la i(t) è nulla:
vC (t )  E  50
vC (0)  vC (0)  V0  50
i (t )  C
dvC
0
dt
%
Per t>0
vC (t )  ket / T  vC p (t )
dove T=L/R=0,01 s e vCp(t)=-50
imponendo la condizione iniziale per t=0+, si ha k=V0-vCp(0) =100 e quindi:
vC (t )  100e
100t
 50
dvC
i (t )  C
 10e 100t
dt
17F)
Per t<0 e(t)=E=50, per t>0 e(t ) 
2 50 sin( t  30), ω=100 rad/s
Per t<0 la i(t) è nulla:
vC (t )  E  50
vC (0)  vC (0)  V0  50
i (t )  C
dvC
0
dt
%
Per t>0
vC (t )  ket / T  vC p (t )
dove T=L/R=0,01 s e
vCp (t )  50 sin( t  15).
Imponendo la condizione iniziale per t=0+, si ha: k= V0-vCp(0)=62,9 e
quindi
dvC
100t
i
(
t
)

C
 6,29e 100t  5 cos(t  15)
vC (t )  62,9e
 50 sin( t  15)
dt
17G)
Per t<0 e(t)=0, per t>0
Per t<0 i(t)=vC(t)=0
e(t )  2 50 sin( t  30), ω=100 rad/s
vC (0)  vC (0)  V0  0
Per
100t
t>0 vC (t )  ke
vCp (t )  50 sin( t  15)
 vC p (t ) dove
Imponendo la condizione iniziale per t=0+, si ha: k= V0-vCp(0)=12,9 e quindi
vC (t )  12,9e
100t
i (t )  C
 50 sin( t  15)
dvC
 1,29e 100t  5 cos(t  15)
dt
17H)
Per t<0 e(t)=0, per t>0 e(t)=E=50
Per t<0 i(t)= vC(t)=0
Per t>0
vC (t )  50(1  e
100t
)
dvC
i (t )  C
 5e 100t
dt
Esercizio 18
Dato il circuito:
R=10 Ω, L=0,1 H
j(t)= e(t)/R=0,1e(t)
La tensione e(t) assume valori ed andamenti coincidenti con quelli definiti
nell’esercizio 16, relativamente agli 8 casi da 16A) a 16H)
Determinare i(t) e vL(t) nell’intervallo di tempo (-∞, ∞) negli 8 casi
corrispondenti.
Sostituendo il bipolo di Norton a monte dei morsetti A e B con il bipolo
equivalente di Thevenin la rete di figura si trasforma in quella
dell’esercizio 16, per la quale sono stati già calcolate i(t) e vL(t) negli 8
casi analizzati.
Esercizio 19
Dato il circuito:
R=5 Ω, L=0,1 H
j(t)= e(t)/R=0,2 e(t)
La tensione e(t) assume valori ed andamenti coincidenti con quelli definiti
nell’esercizio 16, relativamente agli 8 casi da 16A) a 16H)
Determinare i(t) e vL(t) nell’intervallo di tempo (-∞, ∞) negli 8 casi
corrispondenti.
Applicando il teorema di Thevenin al bipolo a monte dei morsetti A e B la
rete di figura si trasforma in quella dell’esercizio 16, per la quale sono stati
già calcolate i(t) e vL(t) negli 8 casi analizzati.
Esercizio 20
Dato il circuito:
R1= R2= 10 Ω,
R3 = 5 Ω
e’(t)=2e(t)
La tensione e(t) assume valori ed andamenti coincidenti con quelli definiti
nell’esercizio 16, relativamente agli 8 casi da 16A) a 16H)
Determinare i(t) e vL(t) nell’intervallo di tempo (-∞, ∞) negli 8 casi
corrispondenti.
Applicando il teorema di Thevenin al bipolo a monte dei morsetti A e B,
questo si trasforma nel seguente bipolo:
%
Req= R3 + R1//R2 = 10 Ω
e0 (t )  e' (t )
R2
 e(t )
R1  R2
La rete assegnata si trasforma in quella dell’esercizio 16, per la quale
sono stati già calcolate i(t) e vL(t) negli 8 casi analizzati.
Esercizio 21
Dato il circuito:
R1= R2=R4 = 20 Ω,
R3 = 10 Ω
e’(t)=4e(t)
La tensione e(t) assume valori ed andamenti coincidenti con quelli definiti
nell’esercizio 16, relativamente agli 8 casi da 16A) a 16H)
Determinare i(t) e vL(t) nell’intervallo di tempo (-∞, ∞) negli 8 casi
corrispondenti.
Il bipolo a monte dei morsetti A e B, può essere sostituito dal bipolo di
Thevenin:
%
Req  R1 // R2  R3  // R4  10 Ω
e' (t )
e' (t )
i ' (t ) 

R1  R2 //( R3  R4 )
32
i" (t )  i ' (t )
R2
e' (t )

R2  R3  R4
80
e0 (t )  R4i" (t )  e(t )
La rete assegnata si trasforma in quella dell’esercizio 16, per la quale
sono stati già calcolate i(t) e vL(t) negli 8 casi analizzati.
Esercizio 22
Dato il circuito:
R1= R2=R4 = 20 Ω,
R3 = 10 Ω
e’(t)=4e(t)/3
La tensione e(t) assume valori ed andamenti coincidenti con quelli definiti
nell’esercizio 16, relativamente agli 8 casi da 16A) a 16H)
Determinare i(t) e vL(t) nell’intervallo di tempo (-∞, ∞) negli 8 casi
corrispondenti.
Il bipolo a monte dei morsetti A e B, può essere sostituito dal bipolo di
Thevenin:
%
e' (t )
e' (t )

R1
R3  R4
v AC (t ) 
 0,625e' (t )
1
1
1


R1 R2 R3  R4
e0 (t )  e' (t )  R4i(t )  0,75e'  e(t )
e' (t )  v AC (t )
i (t ) 
 0,0125e' (t )
R3  R4
Req  R1 // R2  R3  // R4  10
La rete assegnata si trasforma in quella dell’esercizio 16, per la quale
sono stati già calcolate i(t) e vL(t) negli 8 casi analizzati.
Esercizio 23
Dato il circuito:
R1= R2= 10 Ω,
e’(t)=2e(t),
R3 = 5 Ω
j(t)=e’(t)/10
La tensione e(t) assume valori ed andamenti coincidenti con quelli definiti
nell’esercizio 16, relativamente agli 8 casi da 16A) a 16H)
Determinare i(t) e vL(t) nell’intervallo di tempo (-∞, ∞) negli 8 casi
corrispondenti.
Sostituendo il bipolo di Norton, facente capo ai morsetti C e D, con il
bipolo di Thevenin ad esso equivalente, la rete si trasforma in quella
dell’esercizio 20 già analizzata
Esercizio 24
Dato il circuito:
R1= R2=R4 = 20 Ω,
R3 = 10 Ω
e’(t)=4e(t)/3
j(t)=e’(t)/20
La tensione e(t) assume valori ed andamenti coincidenti con quelli definiti
nell’esercizio 16, relativamente agli 8 casi da 16A) a 16H)
Sostituendo il bipolo di Norton, facente capo ai morsetti C e D, con il
bipolo di Thevenin ad esso equivalente, la rete si trasforma in quella
dell’esercizio 22 già analizzata
Esercizio 25
Negli esercizi da 18 a 24 si sostituisca l’induttanza L con la capacità
C=1mF e si calcoli nell’intervallo di tempo (-∞, ∞) la tensione vC(t) ai suoi
capi e la corrente i(t) da essa assorbita nelle 8 condizioni di alimentazione
già considerate nell’esercizio 17 (valori ed andamenti di e(t) relativi agli 8
casi da 17A a 17H).
Come negli esercizi da 18 a 24, si può sostituire il bipolo a monte dei
morsetti A e B con il bipolo di Thevenin ad esso equivalente. In tal modo la
rete assegnata si trasforma nella rete:
Per tale rete nell’esercizio 17 sono stati già calcolate i(t) e vC(t)
negli 8 casi analizzati, corrispondenti ai corrispondenti valori ed
andamenti di e(t) nell’intervallo di tempo (-∞, ∞).
Bipolo R-L-C in regime transitorio
di
v  vR  vL  vC  Ri  L  vC
dt
dvC
iC
dt
d 2 vC
dvC
LC 2  RC
 vC  v
dt
dt
L’integrale generale è vc (t )  vct (t )  vcp (t ) dove vct è l’integrale
generale dell’eq. omogenea associata (componente transitoria) e vcp
è un integrale particolare dell’eq. differenziale completa.
Integrale particolare dell’eq. completa
Se v=V (costante) per t>0, vcp(t)=V. La corrente corrispondente è ip=0.
Se v(t) è sinusoidale
v(t )  2V sin( t   ) i fasori di v, i e vC sono dati da:
%
V  Ve
j
I
V
V
V

 e j (  )
z R  j (L  1 / C ) z
1 

z  z  R 2   L 

C 

2
dove
1 


L




C

  arg( z)  arctg 
R






1
V j (   / 2 )
VC  j
I
e
C
Cz
L’integrale particolare vcp(t) in tale caso è dato da:
V
vcp (t )  2
sin( t       / 2)
Cz
e la corrispondente corrente:
i p (t )  2
V
sin( t     )
z
%
Equazione caratteristica dell’equazione omogenea associata
LC2  RC   1  0
0 
1
LC
2 
R
  02  0
L
dove
è la pulsazione di risonanza del bipolo R-L-C
2L
2
2
Le radici di tale eq. sono:
T

     0  0 dove
R
T
1
1
1
1
2,1    2  02   1  1  02T 2   1  1  4Q 2 essendo
T
T
T
T
2

0T  2
0 L
R
 2Q
 

dove Q è il fattore di merito del bipolo R-L-C.
Se Q<1/2 le radici λ1 e λ2 sono reali e distinte e date da:


1
1
2
1   1  1  4Q  
T
T1


1
1
2
2   1  1  4Q  
T
T2
%
e 2 t
Se Q>1/2 le radici sono complesse e coniugate, date da:
1
2,1    j '
T
dove
1
' 
4Q 2  1
T
Se le radici λ dell’eq. caratteristica sono distinte (reali oppure complesse
coniugate, Q<1/2 oppure Q>1/2) due soluzioni linearmente indipendenti dell’eq.
omogenea associata sono :
1t
2 t
e
e
e il suo integrale generale è
vCt  k1e 2t  k 2 e 2t
1
Se Q=1/2 le radici sono reali e coincidenti e date da: 1  2  
T
due soluzioni linearmente indipendenti dell’eq. omogenea
associata sono :
e
t / T
t / T
te
%
Integrale generale dell’equazione omogenea associata
Se Q<1/2 l’integrale generale dell’equazione omogenea associata
vCt  k1e 1t  k 2 e 2t  k1e  t / T1  k 2 e  t / T2
e la corrispondente corrente:
dvCt
k1C t / T1 k 2C t / T2
it (t )  C

e

e
dt
T1
T2
Q<1/2
%
Se Q>1/2:
vCt  k '1 e 1t  k '2 e 2t  k '1 e t / T e  j 't  k '2 e t / T e j 't 
 k1e t / T sin  ' t  k2e t / T cos  ' t
e la corrispondente corrente:
it  C
dvCt
1
 k1C ( e t / T sin  ' t   ' e t / T cos  ' t ) 
dt
T
1 t / T
k 2C (  e
cos  ' t   ' e t / T sin  ' t )
T
Q>1/2
%
Se Q=1/2:
t / T
vCt  k1te
 k2 e
t / T
e la corrispondente corrente:
it (t )  C
dvCt
k C t / T k 2C t / T
 k1Cet / T  1 te

e
dt
T
T
Q=1/2
%
Soluzioni dell’eq. differenziale completa
e condizioni iniziali
Per risolvere l’eq. differenziale completa occorre calcolare le costanti
d’integrazione k1 e k2 imponendo le condizioni iniziali per t=0+alla vC
ed alla sua derivata.
La tensione sulla capacità vC e la corrente nell’induttanza i=C dvC/dt
sono variabili di stato, per cui vC(0+)=vC (0-) e i(0+)=i (0-).
Se V0=[vC(t)]t=0- e I0=[i(t)]t=0- il calcolo di k1 e k2 si effettua imponendo
nell’integrale generale dell’equazione completa vC(0+)=V0 e i(0+)=I0.
Se Q<1/2
vC  k1et / T1  k2et / T2  vCp (t )
dvC
k1C t / T1 k 2C t / T2
i C

e

e
 i p (t )
dt
T1
T2
%
k1  k 2  V0  vcp (0)
k1C k 2C


 I 0  i p (0)
T1
T2
Q<1/2
Risposta al gradino di ampiezza V
(V0=0, I0=0, vCp(0)=V, ip(0)=0)
VT1
k1  
T1  T2
k2 
VT2
T1  T2
Se Q=1/2
vC  k1te
t / T
 k2e
t / T
 vCp (t )
dvC
k1C t / T k2C t / T
t / T
i C
 k1Ce 
te

e
 i p (t )
dt
T
T
%
k 2  V0  vCp (0)
k1C 
k 2C
 I 0  i p ( 0)
T
Risposta al gradino di ampiezza V [V0=0, I0=0, vCp(0)=V, ip(0)=0]
V
k1  
T
k2  V
Se Q>1/2
vC  k1et / T sin ' t  k2et / T cos ' t  vCp (t )
dvC
1 t / T
i C
 k1C ( e sin  ' t   ' e t / T cos  ' t ) 
dt
T
1
k 2C ( e t / T cos  ' t   ' e t / T sin  ' t )  i p (t )
T
k 2  V0  vCp (0)
k1C '
k 2C
 I 0  i p (0)
T
%
Risposta al gradino di ampiezza V
[V0=0, I0=0, vCp(0)=V, ip(0)=0]
V
k1  
 'T
k2  V
Q>1/2
Inserzione di v(t) sinusoidale in un circuito inizialmente a riposo (V0=0, I0=0)
k 2  vCp (0)

1  vCp (0)C
k1  

i
(
0
)
p


C '  T

k1C '
vCp ( 0)C
T
 i p (0)
dove
V
vcp (0)  2
sin(      / 2)
Cz
V
i p (0)  2 sin(    )
z
%