Corso di
ELETTROTECNICA
Il doppio bipolo resistivo
Presentazione a cura del
Prof. Alvise Maschio
Dipartimento di Ingegneria Elettrica
Università di Padova
19/12/2015
1/13
Rappresentazione controllata in
corrente e in tensione - 1

Si parta dalle due rappresentazioni (rispettivamente
controllata in tensione o controllata in corrente) del
doppio bipolo, aventi relazioni algebriche, lineari, a
coefficienti costanti e con le due grandezze
dipendenti nulle quando sono nulle le due
grandezze indipendenti.
v1  R11 i1  R12 i2
(1) 
v 2  R21 i1  R22 i2
19/12/2015
(2)
i1  G11 v1  G12 v 2

i2  G21 v1  G22 v 2
2/13
Rappresentazione controllata in
corrente e in tensione - 2

La condizione di passività (cioè di potenza entrante
sempre non negativa) richiede rispettivamente:


R
0

11

(3) R22 0
2

R  R 
21
R11 R22   12





2
19/12/2015



G11 0
(4) G22 0
2

G  G 
21
G11 G22   12





2
3/13
Rappresentazione controllata in
corrente e in tensione - 3

La
condizione
rispettivamente:
(5) R12 R21

di
reciprocità
richiede
(6) G12 G21
La non amplificazione delle tensioni e correnti alle
porte richiede rispettivamente che:
R11  R21
(7) 
R22  R12
19/12/2015
G11  G21
(8) 
G22  G12
4/13
Sintesi di un doppio bipolo resistivo


Dati i sistemi di equazioni (1) o (2) si vogliono
individuare tre resistenze o, rispettivamente, tre
conduttanze che, collegate a stella o a triangolo,
soddisfino i sistemi di equazioni stessi.
Gli schemi possibili sono illustrati nelle figure
successive.
19/12/2015
5/13
Sintesi a stella di un doppio
bipolo resistivo - 1
19/12/2015
6/13
Sintesi a stella di un doppio
bipolo resistivo - 2

Si consideri il caso di figura a) (R12 > 0). Si ottiene:
v1  Ra i1  Rc (i1  i2 )(Ra  Rc )i1  Rc i2
(9) 
v 2  Rb i2  Rc (i1  i2 ) Rc i1  (Rb  Rc )i2

Da esso, confrontandolo con il sistema di equazioni
(1), si può ricavare:

R11  Ra  Rc
(10) R22  Rb  Rc
R  R  R
 12 21 c
19/12/2015
7/13
Sintesi a stella di un doppio
bipolo resistivo - 3

Da (10) si ricavano i valori dei parametri della rete a
stella; le condizioni esplicitate in (11) discendono
dalle condizioni di passività, reciprocità e non
amplificazione delle tensioni del doppio bipolo.

Ra  R11  R12  0
(11) Rb  R22  R21 0
R  R  R
 c 12 21
19/12/2015
8/13
Sintesi a stella di un doppio
bipolo resistivo - 4

Nel caso R12 < 0 si consideri la figura b). Si ottiene
in questo caso il seguente gruppo di parametri:

Ra  R11  R12 0
(12) Rb  R22  R21  0
R   R  R
 c
12
21

Le relazioni esplicitate dipendono sempre dalle
condizioni di passività, reciprocità e non
amplificazione delle tensioni.
19/12/2015
9/13
Sintesi a triangolo di un doppio
bipolo resistivo - 1
19/12/2015
10/13
Sintesi a triangolo di un doppio
bipolo resistivo - 2

Si consideri il caso di figura c) (G12 < 0). Si ottiene:
i1  Ga v1  Gc (v1 v 2 )(Ga  Gc )v1 Gc v 2
(13) 
i2  Gb v 2  Gc (v 2  v1 ) Gc v1  (Gb  Gc )v 2

Da esso, confrontandolo con il sistema di equazioni
(2), si può ricavare:

G11 G a  G c
(14) G22 Gb  Gc
G  G  G
 12 21
c
19/12/2015
11/13
Sintesi a triangolo di un doppio
bipolo resistivo - 3

Da (14) si ricavano i valori dei parametri della rete a
triangolo, dove le condizioni esplicitate discendono
dalle condizioni di passività, reciprocità e non
amplificazione delle correnti del doppio bipolo.

Ga G11  G12 0
(15) Gb  G22  G21  0
G  G  G
 c
12
21
19/12/2015
12/13
Sintesi a triangolo di un doppio
bipolo resistivo - 4

Nel caso G12 > 0 si consideri la figura d). Si ottiene
in questo caso il seguente gruppo di parametri:

Ga  G11 G12 0
(16) Gb G22  G21  0
G G G
 c 12
21

Le relazioni esplicitate dipendono sempre dalle
condizioni di passività, reciprocità e non
amplificazione delle correnti.
19/12/2015
13/13