Corso di Elettrotecnica
Allievi aerospaziali
Reti Elettriche – Parte I
Revisione aggiornata al 18-3-2013
(www.elettrotecnica.unina.it)
Oggetto del corso
• Studio delle reti elettriche
- reti in regime stazionario
- reti in regime lentamente variabile ed
in particolare sinusoidale
• Elementi di impianti elettrici
- il trasformatore
- elementi di sicurezza elettrica
Supporti didattici
• Giulio Fabricatore: “Elettrotecnica ed
applicazioni” Liguori Editore
• Appunti integrativi su:
- Trasformatore
- Esercizi numerici
• Slides del corso
Tipologia delle reti elettriche
considerate
Reti di bipoli
Definizione preliminare di
bipolo: Oggetto elettrico
facente capo a due
morsetti terminali A e B,
che sono attraversati
dalla corrente i e a cui è
applicata la tensione v. Si
considera il
funzionamento dei singoli
bipoli “a scatola chiusa”,
partendo dalle relazioni
tra v ed i.
Richiami preliminari
Corrente elettrica, tensione
elettrica e forza elettromotrice
La corrente elettrica
(di conduzione)
Δq carica netta che,
nell’intervallo di tempo Δt,
transita nel verso diretto
dalla sez. A alla sez. B
attraverso la sez. S.
q  q  q  q  q 

i  lim t o
q
t


Vettore densità di corrente
(di conduzione)
Il vettore densità di
corrente di conduzione
da A verso B attraverso la
superficie S è definito da:
i   G  ndS
S
Corrente elettrica in un conduttore
filiforme
Definizione di Ampére.
In 2 conduttori filiformi,
rettilinei, paralleli e
indefiniti posti in aria
circola la corrente di un
A, se tra di essi si
esercita una forza pari a
2·10-7 N per metro di
lunghezza.
Misura della corrente
(amperometro ideale)
L’amperometro ha 2
morsetti,uno + ed uno Misura della corrente da
A verso B.
Misura della corrente da
B verso A.
Diversi tipi di corrente
 
F  Ke

F
K
Corrente nei conduttori
metallici, costituita da un
flusso di elettroni
(e=-1.6·10-19 coulomb)
(1 coulomb=1 A * 1 sec)
Corrente nei conduttori
elettrolitici costituiti da un
flusso di ioni positivi e
negativi
La corrente nei semiconduttori
Struttura cristallina del
silicio
Conduzione di tipo p
(positiva) costituita da un
flusso di “buchi”
La corrente di spostamento
La corrente di spostamento jS attraverso una
superficie S invariata nel tempo ed immersa in
un mezzo lineare di costante dielettrica ε è data
da:
( K )
jS  
 ndS
t
S
La quantità  ( K ) rappresenta il vettore
t
densità di corrente di spostamento
Un esempio di corrente di
spostamento
v

S
La corrente totale
La somma della corrente di conduzione i e della
corrente di spostamento jS:
itot=i+jS
è detta corrente totale. Il corrispondente vettore densità
è solenoidale:
 ( K )
 [G  t ]  nd  0
Pertanto la somma delle correnti di conduzione i e di
spostamento jS uscenti dalla (o entranti nella) superficie
chiusa Σ è nulla.
La tensione elettrica
Data una linea ϒ di estremi A e B si dice tensione da A
a B lungo ϒ, la quantità
B
TAB  ( ) K  tdl

A
che rappresenta il lavoro compiuto dal campo elettrico K
per spostare l’unità di carica positiva da A a B lungo ϒ.
L’unità di misura della tensione è il volt [V]. 1 volt=1
joule/coulomb. (1 coulomb =1 ampére·secondo). Se il
campo elettrico è conservativo la tensione è
%
La tensione elettrica
indipendente da γ. Il
campo elettrico è dotato
di potenziale:
K  V

'
TAB  TA ' B  V ( A)  V ( B)
La d.d.p. tra A e B può
essere formalmente
indicata come
V ( A)  V ( B)  VAB
AB
AB
Misura della tensione elettrica
(voltmetro ideale)
Il voltmetro ha 2
morsetti,uno + ed uno Misura della d.d.p. VAB
Misura della d.d.p. VBA
Forza elettromotrice
Si dice forza elettromotrice (f.e.m.) agente lungo una
linea chiusa orientata γ la quantità scalare algebrica:
e   K  tdl

Essa è diversa da zero solo se K non è conservativo
sulla linea γ o almeno su di una sua parte e quindi se γ
è immersa in tutto o in parte in una regione dello spazio
R sede di fenomeni fisici di trasformazione d’energia.

L’esempio della pila
(funzionamento a vuoto)
Sia KT la forza totale
agente sull’unità di carica.
e   K T  tdl

KT  Ke  Ki
dove K e è il campo
elettrostatico creato dalla
distribuzione di cariche
sugli elettrodi e K i è il
campo di natura
2
  1   2
 1 da A a B
 2 da B ad A
%
L’esempio della pila
(funzionamento a vuoto)
elettrochimica presente
solo all’interno della
soluz. elettrolitica,dove:
KT  K e  Ki  0
Nell’aria si ha:
K i  0  KT  K e
2
e   K e  tdl   K i  tdl

e (

0
2
)
e  VAB

A
A
B
B
K
i  tdl  ( 2 )  K e  tdl  [V ( B )  V ( A)]  VAB

F.e.m derivante dall’induzione
elettromagnetica
Solenoidalità del vettore
induzione magnetica B
 B  ndS  0
S  S1  S2
S
 B  ndS  
S1
B  n1dS   B  n 2 dS  0
S2
S

S1
B  n1dS   B  n 2 dS
S2
F.e.m derivante dall’induzione
elettromagnetica
Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ
Per la solenoidalità del vettore induzione magnetica i due integrali
di superficie estesi a S1 e S2 sono indipendenti dalla superficie
purché questa sia orlata da γ.
Dati il vettore induzione magnetica B ed una linea chiusa
orientata γ si definisce pertanto flusso di tale vettore concatenato
con γ la quantità:
   B  ndS
S

in cui Sγ è una qualsiasi superficie orlata da γ e la normale n
Sγ è orientata in maniera congruente all’orientazione di γ.
a
F.e.m derivante dall’induzione
elettromagnetica
Flusso concatenato con una linea chiusa
orientata γ
Congruenza del verso della normale alla superficie S
rispetto a quello della linea γ
F.e.m derivante dall’induzione
elettromagnetica
Legge di Faraday
Per effetto della variabilità nel tempo dell’induzione
magnetica, nella linea chiusa orientata γ insorge una
f.e.m. data da:
d
e
dt
in cui vale il segno – se il flusso concatenato con γ è
calcolato con la stessa orientazione di γ con cui è
definita la f.e.m e.
Definizione di bipolo
Si definisce bipolo un
oggetto elettrico
racchiuso da una
superficie S, da cui
fuoriescano due
morsetti A e B; S sia
scelta in maniera tale
che: 1) iA=iB; 2) K sia
conservativo su S e
nelle sue immediate
vicinanze; 3) vi sia
assenza di forze di
natura non elettrica. Il
regime di funzionam. è
stazionario o
lentamente variabile
( K )
S [G  t ]  ndS  0
se
 ( K )
0 
t
 G  ndS  0 
S
iA  iB
B
0 
t
d 
e   K   dl  
 0

dt
se
TAB  VAB
Esempi di bipoli
A
S
B
Indut tan za
di
vL
dt
Pila ideale
ve
Esempi di bipoli: la capacità
i
A
v

S
B
Convenzioni dei segni in un bipolo
Potenza assorbita da un conduttore
Convenz. utilizzatore
K dF
Il lavoro dL secondo la
direzione della forza per
spostare la carica positiva
dq da A a B (lavoro
assorbito) è:
B
dF  dq K  (idt ) K
B
dL  (idt )  K   dl  vidt
A
pass
dL

 vi
dt
dL   dF   dl
A
La potenza corrispond. è
pass=vi: tale espressione
è esatta in regime staz.
ed approssim. in regime
lentamente variab.
Tale potenza è erogata dal resto della rete a monte del
conduttore e trasferita a questo che la assorbe. Se si
considera il lavoro elementare dL da B ad A,si ha:
dL=-vidt
e p=-vi
questa potenza,derivante da un lavoro secondo una
direzione opposta alla forza, si dice erogata dal
conduttore.
Se si considera un qualsiasi bipolo e si adopera la
convenzione dell’utilizzatore si può dimostrare che
continuano a valere le precedenti relazioni:
Passorbita=vi
Perogata=-vi
Se v·i>0 si può dimostrare che una potenza positiva
entra nella superficie limite del bipolo utilizzatore.
Potenza erogata o assorbita da un
bipolo (convenzione del
generatore)
Perogata=-vi=vi’
Passorbita=vi=-vi’
Potenza assorbita o erogata da un
bipolo
Convenzione
dell’utilizzatore
p assorbita =vi
p erogata =-vi
Convenzione del
generatore
p erogata =vi
p assorbita =-vi
Misura della potenza
La misura della potenza
assorbita (o erogata) da
un bipolo si fa con il
wattmetro, che presenta
2 coppie di morsetti: una
coppia amperometrica
attraversata da i ed una
voltmetrica, cui è
applicata v. Ciascuna
coppia ha un morsetto +.
I principio di Kirchhoff (Legge di
Kirchhoff delle correnti -LKC)
i4
Per la definizione di
bipolo:
 G  ndS  0
S
i1  i2  i3  i4  0
i3
i1
In generale:
m
 i
k
0
1
m numero lati confluenti
nel nodo
i2
II principio di Kirchhoff (Legge di
Kirchhoff delle tensioni -LKT)
v1
Per la definizione di
bipolo:
 K  dl  0
 K  dl        


B
C
D
A

A
B
C

 v4
v2
D
 v1  v2  v3  v4  0
In generale:
m
  vk  0
1
m è il numero di lati della
maglia
v3
Reti in regime stazionario
Analisi delle reti
Caratteristica statica di un bipolo
Si dice caratteristica
statica di un bipolo la
relazione:
V=f(I))
che lega la tensione V
applicata ai morsetti A e
B alla corrente I che lo
attraversa in regime
stazionario.
Due bipoli si dicono
equivalenti se hanno la
stessa caratteristica
Dipendenza della caratteristica
dalle convenz. dei segni di V ed I
%
Dipendenza della caratteristica
dalle convenz. dei segni di V ed I
Classificazione dei bipoli: bipoli
lineari e non lineari
Si dice lineare un bipolo la
cui caratteristica è
lineare.
Si dice non lineare nel
caso contrario
Classificazione dei bipoli:bipoli
inerti e bipoli non inerti
Si dice inerte un bipolo la
cui caratteristica la
caratteristica passa per
l’origine degli assi.
Si dice non inerte nel
caso contrario
Classificazione dei bipoli:
bipoli passivi
Si dice passivo un bipolo
per il quale la potenza
assorbita è maggiore o
eguale a zero. Esso
funziona sempre da
utilizzatore.
pass  vi
V·I≥0
Classificazione dei bipoli:
bipoli attivi
Si dice attivo un bipolo
non passivo. In alcune
regioni del piano V,I esso
funziona da generatore in
altre da utilizzatore.
V·I>0
V·I≤O
V·I≥0
Convenzione utilizzatore
Una rete elementare
I1
I2
V1
V2
V1  f1 ( I1 )
V2  f 2 ( I 2 )
V1 V2  0
V1  V2  V
I1  I 2  0
I1  I 2  I
f1 ( I )  f 2 ( I )  V
Bipoli lineari ideali
Bipolo Resistenza
V  RI
oppure
I  GV
1
(G  )
R
V  RI
oppure
I  GV
G
Potenza assorbita dal bipolo
Resistenza
Convenzione utilizzatore
Pass=V∙I=(R∙I)∙I=R∙I2;
Pass= V2/R=G V2.
Convenzione generatore
Pass=-V∙I=-(-R∙I)∙I=R∙I2;
Pass= V2/R=G V2.
Una diversa caratterizzazione
del bipolo resistenza
Vn, Pn
Vn2
R
Pn
10 V, 20 W
R5 
500 V, 50 kW
R5
Equivalenza di bipoli
• Due bipoli si dicono equivalenti se hanno
la stessa caratteristica statica
Corrente nei conduttori metallici
e=-1.6·10-19 coulomb
V=RI
Resistenza reale di un
conduttore
La resistenza di un conduttore cilindrico di sezione S e
lunghezza l è dato da:
R
l
S
dove ρ è la resistività variabile con la temperatura T:
ρ= ρ0(1+αT)
ρ0 resistività a 0 0C
Generatore ideale di tensione
V=E
Generatore ideale di corrente
I=J
Corto circuito ideale
V=0
Può essere derivato dal bipolo resistenza ponendo R=0 o
dal bipolo generatore ideale di tensione ponendo E=0
Aperto ideale
I=0
Può essere derivato dal bipolo resistenza ponendo G=0 o
dal bipolo generatore ideale di corrente ponendo J=0
Serie e parallelo di bipoli
V1
Vn
V2
I1
In
I1  I 2  .....I n  I
I2
A
n
V
B
V   Vk
1
A
I
I1
V
V1
I2
V2
In
Vn
V1  V2  .....Vn  V
n
I   Ik
1
B
Resistenze in serie
V
n

V   Vk
Vk  R k I
1
n
V  I  Rk  Req I
1
V
n
Req   Rk
1
Resistenze in parallelo
n
V
Ik 
 GkV
Rk
I   Ik
1
n
I  V  Gk  GeqV
1
V  Req I
Req 
1

Geq
1
n
G
1

Req 
R1 R2
1
R


Se n=2
eq
1
1
R1  R2

R1 R2
Se
R1  R2  R
1
n
 1R
1
k
Req 
R
2
k
Generatori ideali di tensione in
serie e in parallelo
n
E   E k  E eq
1
E=E1=E2
I=I1+I2
Equivalenza di bipoli
V  V1  V2
I1
I1  I 2  I

V2
V1
V1  RI
I2
I2  0
V2  0
V  RI

Equivalenza di bipoli
V1

V2
V1  V2  V  0
I1  I
I2  0

Equivalenza di bipoli

V=E

I=J
Bipolo di Thévenin
RT
LKT
VR
E  VR  V  0
VR  RT I
Caratteristica statica
V  E  RT I
E
RT
I cc
I cc  E / RT
Bipolo di Norton
IR
LKC
J  IR  I  0
RN
dove
I R  V / RN
J
V
I 0
RN
Caratteristica statica
V  RN ( J  I )
RN
J
Equivalenza del bipolo di Norton
al bipolo di Thévenin
Norton
Thévenin
E
RN
RT
J
I cc
Il bipolo di Norton è equivalente al bipolo di Thévenin se:
R N  RT
J  I cc
Generatore reale di tensione
Pila reale sotto carico
Circuito equivalente
B
A
Ri
Generatore reale di tensione
Ri
Iu
Vu
A
Ru
Ri I u
E
Vu
Ru
O
Vu  E  Ri I u
Vu  Ru I u
P
Iu
E
Iu 
Ru  Ri
Ri
B
I cc
Vu  E
Ru
Ru  Ri
Potenza utile erogata dal
generatore reale di tensione
Pu
Potenza utile
Pu  Vu I u  Ru I u2 
E2
 Ru
( Ru  Ri ) 2
1
EI cc
4
Il massimo di Pu al
variare di Ru si ha se:
Pu
0
Ru

Ru  Ri
1
Ru / Ri
Bilancio delle potenze e
rendimento
LKT
Ri
E  Vu  Ri I u  ( Ru  Ri ) I u
Iu
Vu
Ru
EI u  Vu I u  Ri I u2



Pc
Pu
PJ

Pc  ( Ru  Ri ) I u2
Pu  Ru I u2
Pu
Ru


Pc Ru  Ri
Ru / Ri
Caduta di tensione nel
generatore reale di tensione
Caduta di tensione
Ri
Iu
V  E  Vu  Ri I u 
Vu
Ri
E
Ru  Ri
V % 
Ri
V
100 
100
E
Ru  Ri
Ru
V %
Ru / Ri
Parallelo di generatori reali di
tensione
E1  V1  V2  E2  0
V1  Ri1 I c
Ic 
E1  E2
Ri1  Ri 2
Ic=0 se E1=E2
V2  Ri 2 I c
Una particolarizzazione della
LKT
LKT per una generica
maglia a m lati
m
 ()V
k
0
dove
1
Vk  Ek  Rk I k
Generico lato k-esimo
Ik
Rk
Ek
Vk
m
 ()( E
k
 Rk I k )  0
1
m
 () E
1
m
k
  (  ) Rk I k
1
Un esempio
I1
E1
R1
R2
R4
E1  E2  R1 I1  R2 I 2  R3 I 3  R4 I 4
E2
I4
I3
I2
R3
Formule del partitore di tensione
Ripartizione della
tensione V applicata a 2
resistenze in serie
V1  R1 I
V2  R2 I
V
I
R1  R2
V1  V
V2  V
R1
R1  R2
R2
R1  R2
Formule del partitore di corrente
Ripartizione della corrente
I tra due resistenze in
parallelo
V
I1 
R1
I2 
V
R2
R1 R2
V  ( R1 // R2 ) I  I
R1  R2
I1  I
R2
R1  R2
I2  I
R1
R1  R2
Trasformazioni triangolo-stella e
stella-triangolo
Equivalenza di tripoli di
resistenze
Condizioni di equivalenza tra
tripoli di resistenze
R AB ( RBC  R AC )
J
 J ( R A  RB )
R AB  RBC  R AC
Condizioni di equivalenza tra
tripoli di resistenze
J
RBC ( R AB  R AC )
 J ( RB  RC )
R AB  RBC  R AC
Condizioni di equivalenza tra
tripoli di resistenze
R AC ( R AB  RBC )
J
 J ( R A  RC )
R AB  RBC  R AC
Equazioni delle trasformazioni
triangolo-stella e stella-triangolo
Eliminando J dalle equazioni precedenti si ottiene il
sistema:
R AB ( RBC  R AC )
 R A  RB
R AB  RBC  R AC
RBC ( R AB  R AC )
 RB  RC
R AB  RBC  R AC
R AC ( R AB  RBC )
 R A  RC
R AB  RBC  R AC
Equazioni delle trasformazioni
triangolo-stella e stella-triangolo
Trasformazione triangolo-stella
R AB RBC
RB 
R0
R AB R AC
RA 
R0
RBC R AC
RC 
R0
dove
R0  R AB  RBC  R AC
Trasformazione stella-triangolo
R AB  R A RB G0
G0 
1
1
1


R A RB RC
RBC  RB RC G0
R AC  R A RC G0
dove
Un caso particolare
R  3RY
R
Ry 
3
R A  RB  RC  RY
R AB
3
R
 3RY
RY
2
Y
R AB  R A RB G0  R G0
2
Y
RBC  R AC  R AB  R
G0 
1
1
1
3



R A R B RC RY
Analisi di una rete elettrica
LKT per le maglie 1, 2, 3
1)
E1  R1 I1  R3 I 3
2)
E2  R2 I 2  R3 I 3
3)
E1  E2  R1 I1  R2 I 2
LKC per il nodo A (o B)
I1  I 2  I 3  0
Analisi di una rete elettrica, grafo, albero e
coalbero
Data una generica rete elettrica di bipoli lineari costituita da l lati e
n nodi:
Si dice grafo l’insieme costituito da tutti i lati e nodi della rete.
Si dice albero il sottoinsieme del grafo costituito da tutti i nodi e
da n-1 lati che congiungono tali nodi senza formare maglie
chiuse.
Il coalbero è l’insieme complementare dell’albero. Esso è
costituito da l- (n-1) lati
Esempi di grafi, alberi e coalberi
l=3
n=2
Esempi di grafi, alberi e coalberi
l=10
n=6
Analisi di reti resistive con
sorgenti di tensione
Data la generica rete, con l lati ed n nodi:
il calcolo delle correnti si effettua risolvendo il sistema
di l eq. lineari nelle l incognite Ik costituito da:
m
l-(n-1) LKT
 () E
LKC
k
  (  ) Rk I k
1
1
m
n-1
m
 I
1
k
0
Un esempio numerico
R1  R2  R3  20 
E1=30 V
Sistema risolvente
Forma matriciale
20 I 1  20 I 3  30
20 0 20   I 1  30
 0 20 20   I   60

 2   
 1 1  1  I 3   0 
20 I 2  20 I 3  60
I1  I 2  I 3  0
E2=60 V
Risultato
I1=0
I2=1,5 A
I3=1,5 A
Le potenze in gioco
Potenza erogata da E1:
Pe1=E1 I1=0 W
Potenza erogata da E2:
Pe2=E2I2 =90 W
Potenze assorbite dalle resistenze:
PR1=R1I12 =0 W
PR2=R2I22 =45 W
PR3=R2I32 =45 W
Prtot=90 W
Pe1 + Pe2 =Prtot
Una rete con sorgenti di
tensione e di corrente
R1  R2  R3  20 
E1=30 V
J=2 A
I3  J
R1 I1  R2 I 2  E1
I1  I 2   J
20I1  20I 2  30
I1  I 2  2
 R1
1

R2   I1   E1 
 



 1  I 2   J 
I1=-0,25 A
 I 1   R1
I    1
 2 
I2=1,75 A
1
R2   E1 
 1  J 
Le potenze in gioco
Potenza erogata da E1:
Pe1=E1 I1=-7,5 W
Potenza erogata da J:
PeJ=VJJ=150 W
Potenze assorbite dalle
resistenze:
PR1=R1I12=1,25 W
PR2=R2I22=61,25 W
PR3=R2I32=80 W
Prtot=142,5 W
V j  R3 I 3  R2 I 2
VJ=75 V
Pe1 + PeJ = Prtot
Analisi di reti con sorgenti di
tensione e di corrente
Data la generica rete, con sorgenti di tensione e di
corrente, con n nodi ed l lati (l è definito non
considerando i lati contenenti i generatori di corrente in
cui la corrente è nota), il calcolo delle l correnti incognite
Ik si effettua risolvendo il sistema di l eq. lineari,
linearmente indipendenti costituito da:
m
l-(n-1) LKT
n-1
LKC
 () E
m
k
  (  ) Rk I k
1
1
m
r
 () I
1
k
  ( ) J k
1
Principio di conservazione delle
potenze elettriche
Ipotesi: La stessa
convenzione dei segni su
tutti gli l lati della rete.
Siano P1,.. Pi,…Pn gli n
nodi della rete
l
Tesi  Vk I k  0
Generico bipolo costituente il
k-esimo lato della rete
1
l
U ( P"
1
l
k
) I k   U ( P' k ) I k  0
1
Somma parziale relativa
al nodo Pi
U Pi ( I i1  I i 2  ....  I ih  ....I il' )  0
i
Vk  U ( P"k )  U ( P' k )
Una formulaz. del principio di
conservazione nelle reti lineari
P P P
Ei
i
Ji
i
Ri
i
0
PRi   R I
2
i i
2
P

P

R
I
 Ei  Ji  i i
i
i
La somma delle potenze erogate dai generatori
di tensione e di corrente è eguale alla somma
delle potenze assorbite dalle resistenze
i
Un corollario dei principi di
Kirchhoff
Ipotesi Nel generico
nodo P’ confluiscono solo
bipoli passivi
Tesi Tra i nodi contigui
esiste almeno un nodo P”
a potenziale U≥U(P’) e
almeno uno a potenziale
U≤U(P’).
Da questo corollario
scaturisce il principio di
non amplificazione delle
tensioni.
Vk I k  0
4
I
k
0
1
Se I1, I2>0 si ha V1,V2≥0 e
U(P”1)≤U(P’) e U(P”2)≤U(P’)
Se I3, I4<0 si ha V3,V4 ≤ 0 e
U(P”3) ≥ U(P’) e U(P”4) ≥ U(P’)
Principio di non amplificazione
delle tensioni
Tale principio prevede che ai capi dell’unico lato attivo di
una rete in regime stazionario, in cui vi siano tutti lati
passivi tranne uno, è applicata la tensione massima.
Si consideri infatti l’insieme di n elementi costituito dai
potenziali degli n nodi della rete. Per il precedente
corollario il potenziale dei nodi in cui confluiscono solo
lati passivi non può essere né il massimo né il minimo di
tale insieme. Conseguentemente i potenziali massimo e
minimo devono essere relativi ai nodi posti agli estremi
dell’unico lato attivo.
Si può dimostrare che in tale lato si ha anche la
massima corrente (Principio di non amplificazione delle
correnti)
Sovrapposizione degli effetti
 R1
1

R2   I1   E1 
 



 1  I 2   J 
A( 22) I ( 21)  H ( 21)
H   
E1   E1   0 
       H '  H "

 J   0   J 
I   A1 H   A1 H '  A1 H "  I '  I "
 I '1   R1
I '    1
 2 
1
R2   E1 
 1  0 
 I "1   R1
I "    1
 2 
1
R2   0 
 1  J 
I3  J
Sovrapposizione degli effetti, un
esempio numerico
R1  R2  R3  20 
I1=I’1+I”1=-0,25 A
E1=30 V
J=2 A
I2=I’2+I”2=1,75 A
I3=I’3+I”3=2 A
I '1  I ' 2 
E1
 0,75
R1  R2
I '3  0
R2
I "1   J
 1
R1  R2
I "3  J  2
I "2  J
R1
1
R1  R2
%
Sovrapposizione degli effetti, un
esempio numerico
R1  R2  R3  20 
E1=30 V
E2=60 V
Req=R1+R2//R3=30 Ω
E
I '1  1
Req
I’1= 1 A
R3
I ' 2   I '1
 0,5 A
R2  R3
I '3  I '1
R2
 0,5 A
R2  R3
%
Sovrapposizione degli effetti, un
esempio numerico
Req=R2+R1//R3=30 Ω
I "2 
E2
2
Req
I1=I’1+I”1=0
R2
I "3  I "2
1
R2  R3
I2=I’2+I”2=1,5 A
I "1   I "2
R3
 1
R2  R3
I3=I’3+I”3=1,5 A
Non applicabilità della sovrapposizione
degli effetti al calcolo delle potenze
Posto:
Pk'  Rk I k' 2
Pk"  Rk I k"2
la potenza Pk assorbita dalla resistenza Rk non è pari
alla somma di P’k e P”k; infatti:
Pk  Rk I k2  Rk ( I k'  I k" ) 2  Pk'  Pk"  2 Rk I k' I k"
Analisi di reti con sorgenti di
tensione e di corrente
Data la generica rete con n nodi ed l lati il calcolo delle
l correnti incognite Ik si effettua risolvendo il sistema di l
eq. lineari, linearmente indipendenti costituito da:
m
m
l-(n-1) LKT  () E k   () Rk I k
1
1
m
n-1
LKC
 I
r
k
   J k
1
1
A(ll ) I (l1)  H (l1)
Vk  Ek  Rk I k A'(ll ) V (l1)  H '(l1)
Rk
Ek
Vk
Ik
Metodo dei potenziali nodali
Rk
Tk
Ik
Ek
Vk  U Sk  U Tk
Vk  Ek  Rk I k
I k  ( Ek  U Sk  U Tk )Gk
G k  1 / Rk
Sk
Sostituendo le correnti
nelle n-1 LKC:
m
 I
1
r
k
   J k
1
si ha il sistema di n-1 eq.
nelle n incognite Upk:
m
  (E
1
r
k
 U Sk  U Tk )Gk    J k
1
Se poniamo eguale a
zero il potenziale di uno
degli n nodi, si ottiene:
A"( n1)( n1) U ( n1)1  H "( n1)1
Metodo dei potenziali nodali, la
formula di Millmann
La LKC
fornisce
n
I
i
0
1
dove:
I i  ( Ei  U A )Gi
Gi 
n
1
Ri
n
 E i Gi   U A Gi
1
n
1
U A  VAB 
EG
i
i
1
n
G
i
1
UB  0
Formula di Millmann: un
esempio numerico
R1  R2  R3  20 
E1=30 V
E2=60 V
G1=G2=G3=G=0,05 Ω-1
UB  0
3
UA 
E G
1
1
3
G
1
i
i

E1G  E 2 G
 30 V
3G
I1=(E1-UA)G1=0
I2=(E2-UA)G2=1,5 A
I3=(-UA)G3=-1,5 A
Teorema di Thévenin: enunciato
Se s’isola un lato AB di
una rete lineare, il bipolo
a monte dei morsetti A,B
è equivalente ad un
bipolo di Thévenin, in cui
V0 è la tensione a vuoto
tra A e B e Req è la
resistenza equivalente
dello stesso bipolo reso
passivo.
Req
V0
Teorema di Thévenin:
dimostrazione




V "   Req I "
%
Teorema di Thévenin:
dimostrazione
V  V 'V "  V0  Req I "
I  I 'I "  0  I "
V  V0  Req I
Req
V0
Teorema di Thévenin: una
conseguenza

V0
I
R  Req
R
V  V0
R  Req
Un esempio numerico
R1  R2  R3  20 
E1=30 V
I3 
I
E2  E1
 0,75
R1  R2
A
E2=60 V
V0
45

 1,5 A
R3  Req 20  10
V0  E2  R2 I  45 V
Req=R1//R2=10 Ω
Teorema di Norton: enunciato
Se s’isola un lato AB di
una rete lineare, il bipolo
a monte dei morsetti A,B
è equivalente ad un
bipolo di Norton, in cui Icc
è la corrente di corto
circuito tra A e B e Req è
la resistenza equivalente
dello stesso bipolo reso
passivo.
Req
Teorema di Norton:
dimostrazione
Caratteristica comune ai bipoli
di Thévenin e Norton
Req
V0
Teorema di Norton: una
conseguenza

I  I cc
Req
R  Req
V  I cc
Req R
R  Req
Un esempio numerico
R1  R2  R3  20 
E1=30 V
I 3  I cc
Icc=E1/R1+E2/R2=4,5 A
Req
R  Req
E2=60 V
 4,5
10
 1,5 A
20  10
Req=R1//R2=10 Ω