Campi
elettromagnetici
Docente:
Salvatore
Savasta
Anno acc. 2006/2007
Perchè studiare i campi
elettromagnetici ?
• Circuiti ad alta velocità – circuiti digitali ad
alta velocità e a microonde
• Antenne e comunicazioni senza fili
• Comunicazioni ottiche – Propagazione di luce
in fibra – optoelettronica e fotonica
• Macchine elettromeccaniche
• Interferenze elettromagnetiche e
compatibilità
Elettrostatica
F  q
i
q
qi
r  ri
4 0 r  ri
Principio di sovrapposizione
3
F
E  lim
q 0 q
Il campo elettrico è un campo vettoriale,
ovvero l'associazione di un vettore E(P) ad ogni
punto P dello spazio. Esso determina l'azione
della forza elettrica su una particella carica
eventualmente posta in quel punto.
 0  8.854 1012 (F/m) C2 /  N  m 2 
Elettrostatica
D  
F  qE
D   0E  P
P   0 eE
Per mezzi lineari ed isotropi
D   0 1  e  E   E
   D dV  Ñ
 D  dS    dV
V
Teorema di Gauss
S
V
 0  8.854 1012 F/m
Potenziale elettrostatico
E  r    V  r 
B
V  A  V  B    E  dr
A
Q
C
V

V  P    E  dr
P
Potenziale di un conduttore
condensatori
Q
C
V
E
ql
-q
2 r
q
Cavo coassiale
ql
b
V  A  V  B    E  dr  
dr 
ln  
2 r
2  a 
A
A
B
B
ql
C
2

l
b
ln  
a
Magnetostatica
0 dl  r
dB 
i 3
4 r
 H  J
F   dF   J  B dV   i  B dl
V
V
Legge di Ampere-Laplace
l


H

dS

H

dl

J

dS


Ñ



s
S
H
Teorema di Stokes
B
0
M
B   H   r 0 H
0  4 107 H/m
Prodotto vettoriale
a  b  n a b sin 
a  b  ab sin 
è perpendicolare al piano individuato dai due vettori
ha modulo uguale al prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il seno dell’angolo
convesso  da questi formato
ha come verso quello secondo il quale si deve disporre un osservatore con i piedi nel punto
O d’applicazione dei due vettori affinché possa veder ruotare il vettore in senso antiorario
dell’angolo  perché si sovrapponga al vettore (regola della mano destra).
a  b   a1i  a2 j  a3k    b1i  b2 j  b3k 
  a2b3  a3b2  i   a3b1  a1b3  j   a1b2  a2b1  k
i j  k
j k  i
k i  j
a  b i   ijk a j bk
 ijk  0 se i  j , i  k , j  k
123  1
 ijk   jik   kji   ikj
 231   312  123  1
132   213   321  1
rotore
r   x1 , x2 , x3 
 

 
  A r   
i
j
k    A1  r  i  A2  r  j  A3  r  k 
x2
x3 
 x1
 
  
  





A3  r  
A2  r   i  
A1  r  
A3  r   j  
A2  r  
A1  r   k
x3
x1
x2

 x2
  x3
  x1

Ak
 A  r  i    ijk
x j
jk
Legge di Faraday
B
E  
t


E

dS

E

dl


B

dS


Ñ
s

t S
Per campi statici l’integrale di linea è indipendendente dal cammino ed è uguale alla
differenza di potenziale tra due punti.In presenza di campi magnetici variabili ciò non è
più vero.
La forza elettromotrice indotta lungo un cammino chiuso (ad es. una spira) è pari alla
variazione di flusso attraverso il cammino (attraverso una qualunque superficie che si
appoggia al cammino) del campo magnetico
Induttanza
Ñ
 H  dl   J  dS
S
2 r
B

I
I b
S B  dS  l a 2 r dr  l 2 ln a  LI
L
 b

ln
l 2 a
b
I
La corrente di spostamento
D  
 B  0
B
E  
t
 H  J

J  
t
   H    J
=0
D
H  J 
t

    H     J    D
t
?
La corrente di spostamento
V  V0 sin t 
dV
Ic  C
 CV0 cos t 
dt
D
E
Jd 

t
t


Ñ
 H  dl  S J  dS  t S D  dS
V
E
d
I d  AJ d
A
Id   
 V0 cos t 
 d 
Equazioni di Maxwell
F  q E  v  B
D  
 B  0
B
E  
t
D
H  J 
t

J  
t
F     E  J  B  dV
V
Equazioni di Maxwell
forma integrale
Ñ
 D  dS    dV
S
V
Ñ
 J  dS  
S
Ñ
 B  dS  0
S

Ñ
 E  dl   t S B  dS

Ñ
 H  dl  S J  dS  t S D  dS

 dV

t V
Regime sinusoidale
cos t  Re e jt 
dI
1
L  RI   Idt  Vm cos t
dt
C
I  I m cos t   I   Re  I c e jt 
I c  I m e j I
 d  I c e jt 

1
jt
jt
Re  L
 RI c e   I c e dt   Vm Re e jt 
dt
C


LI c
d  e jt 
dt
 RI c e
jt
Ic
  e jt  dt  Vme jt
C

1 
 j L  R  jC  I c  Vm


Z
Vm
Ic 
Z
Vm jt 
I  Re  e 
Z

Regime sinusoidale
I  t   I m cos t  V  t   Vm cos t   
W  t   V  t  I  t   Vm I m cos t    cos t 
Vm I m
W t  
cos    cos  2t    
2
Una componente (quella in
) si
mantiene
sempre
positiva
e
rappresenta quindi potenza assorbita
dal bipolo (potenza attiva). L'altra
componente (quella in
) invece
oscilla attorno allo 0 e rappresenta
quindi potenza alternativamente
immagazzinata e ceduta dal bipolo
(potenza reattiva).
Vm I m
Vm I m
W t  
cos  1  cos 2t  
sin  sin 2t
2
2
1
W  t   Re Vc I c*  Vc I c e 2 jt 
2
1
Wc  Vc I c*
2
Z  R  jX
P
1
1
Re Vc I c*   R I c
2
2
Q
1
1
Im Vc I c*   X I c
2
2
W
2
2
Regime sinusoidale
  Dc  c
  Bc  0
 Ec   jBc
 Hc  J c  jDc
  t   Re  c e jt 
  t   Re   r  j i  e jt 
  r cos t  i sin t
Propagazione lungo z
 0
Onde piane
J 0
E  z, t 
 D  0
 B  0
B
H
E  
 
t
t
D
H 
t

H y

Ex
t
E y
z
H x

z
t
E
0 z
t
H x
Ez E y

 
y
z
t
H y
Ex Ez

 
z
x
t
Ex E y
H z

 
y
x
t
X
X
X X
 x  0
 y  0
Onde piane

z

t
H y
Ex
 
z
t
H y
E

 x
z
t
2 H y
 2 Ex
 
z 2
zt
2 H y
 2 Ex


t z
t 2
 2 Ex
 2 Ex
 
z 2
t 2
Ex  z, t   f1  t  z v   f 2  t  z v 
Ex  z , t   E0 cos   t  z v  
v
1

Onde piane e fasori
H y
Ex
 
z
t
H y
E

 x
z
t

dEx
  j H y
dz

dH y
dz
d 2 Ex
2



 Ex
2
dz
 j Ex
Ex  c1 e
 jkz
 c2 e
jkz
k   
Ex  z, t   Re  Ex e jt   Re c1 e  jkz e jt  c2 e jkz e jt 
  z 
  z 
Ex  z, t   c1 cos   t     c2 cos   t   
  v 
  v 
 c1 , c2 R 
Onde piane e fasori
1 dEx
1
 kc1e  jkz  kc2e jkz  
Hy  

j dz 

H y  z, t   Re  H y e  

jt

c1e  jkz  c2e jkz 


  z 
  z  
c1 cos   t     c2 cos   t    
  v 
  v  

L’equazione d’onda 3D
 D  0
 B  0
H
  E  
t
D
H 
t
2

H
2
 H   2  0
t
v
1


c
n
n   r r  n  jn

    E     H 
t
2

E
2
 E      E     2
t
2

E
2
 E   2  0
t
fasori
k    
n
c
2E  k 2E  0
2H  k 2H  0

  A  r    ijk
i
x j





Am  r  
  klm
xl


 kij klm   il jm   im jl
    A  r   
i
  kij  klm


xi

ijk klm
 
Am  r 
x j xl
 
 
Am  r    il jm   im jl 
Am  r 
x j xl
x j xl
 
  
Am  r    

 x

x
 m
  j
2

 Ai  r 

L’equazione d’onda 3D
E  E0 e jk r
 Ek E  0
2
2

H 
E 
iE
j

1
  E   jB
k ki
0    D   jk  D
1
H  iE




polarizazzione
k ki
Consideriamo il caso
2E  k 2E  0
i  zˆ
 2 Ex  k 2 Ex  0
2 E y  k 2 E y  0
E   xˆ E1  yˆ E2 e j  e  jkz
H
1

j
 jkz
ˆ
ˆ

x
E
e

y
E
e
 2
1
I differenti tipi di polarizzazione dipendono dalla fase e dalle ampiezze relative
polarizazzione
E   xˆ E1  yˆ E2 e j  e  jkz
 0
Polarizzazione lineare
Si ottiene un vettore campo elettrico lungo una direzione fissata Ovvero che
non cambia al variare di z
y
  tan

x
1
E2
E1
polarizazzione
circolare
 

2
E2  E1
E   xˆ E1  yˆ E2 e j  e  jkz
E   xˆ  j yˆ  E1e jkz
E  z , t   Re  xˆ  j yˆ e j  E1e jt e  jkz 
 E1  xˆ cos t  kz  m yˆ sin t  kz  
±
 
 

2

2
LHC
RHC
LHC
Circolare
polarizazzione
ellittica
E  z , t   Re  xˆ E1  yˆ E2 e j  e jt e  jkz 
  xˆ E1 cos t  kz   yˆ E2 sin t  kz    
Ex  z , t   E1 cos t  kz 
E y  z , t   E2 sin t  kz   
Ex  z , t   E1 cos  
E y  z , t   E2 sin   
Equazione parametrica dell’ellisse
polarizazzione
lineare
Circolare LH
ellittica
Parametri di Stokes
s0  a12  a22
s1  a12  a22
s2  2a1a2 cos
s3  2a1a2 sin
s1  s2  s3  s0