Campi
elettromagnetici
Docente:
Salvatore
Savasta
Anno acc. 2006/2007
Perchè studiare i campi
elettromagnetici ?
• Circuiti ad alta velocità – circuiti digitali ad
alta velocità e a microonde
• Antenne e comunicazioni senza fili
• Comunicazioni ottiche – Propagazione di luce
in fibra – optoelettronica e fotonica
• Macchine elettromeccaniche
• Interferenze elettromagnetiche e
compatibilità
Elettrostatica
F  q
i
q
qi
r  ri
4 0 r  ri
Principio di sovrapposizione
3
F
E  lim
q 0 q
Il campo elettrico è un campo vettoriale,
ovvero l'associazione di un vettore E(P) ad
ogni punto P dello spazio. Esso determina
l'azione della forza elettrica su una
particella carica eventualmente posta in
quel punto.
 0  8.854 1012 (F/m) C2 /  N  m 2 
Elettrostatica
D  
F  qE
D   0E  P
P   0 eE
Per mezzi lineari ed isotropi
D   0 1  e  E   E
   D dV  Ñ
 D  dS    dV
V
Teorema di Gauss
S
V
 0  8.854 1012 F/m
Potenziale elettrostatico
E  r    V  r 
B
V  A  V  B    E  dr
A
Q
C
V

V  P    E  dr
P
Potenziale di un conduttore
condensatori
Q
C
V
E
ql
-q
2 r
q
Cavo coassiale
ql
b
V  A  V  B    E  dr  
dr 
ln  
2 r
2  a 
A
A
B
B
ql
C
2

l
b
ln  
a
Magnetostatica
0 dl  r
dB 
i 3
4 r
 H  J
F   dF   J  B dV   i  B dl
V
V
Legge di Ampere-Laplace
l


H

dS

H

dl

J

dS


Ñ



s
S
H
Teorema di Stokes
B
0
M
B   H   r 0 H
0  4 107 H/m
Prodotto vettoriale
a  b  n a b sin 
a  b  ab sin 
è perpendicolare al piano individuato dai due vettori
ha modulo uguale al prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il seno
dell’angolo convesso  da questi formato
ha come verso quello secondo il quale si deve disporre un osservatore con i piedi nel
punto O d’applicazione dei due vettori affinché possa veder ruotare il vettore in
senso antiorario dell’angolo  perché si sovrapponga al vettore (regola della mano
destra).
a  b   a1i  a2 j  a3k    b1i  b2 j  b3k 
  a2b3  a3b2  i   a3b1  a1b3  j   a1b2  a2b1  k
i j  k
j k  i
k i  j
a  b i   ijk a j bk
 ijk  0 se i  j , i  k , j  k
123  1
 ijk   jik   kji   ikj
 231   312  123  1
132   213   321  1
rotore
r   x1 , x2 , x3 
 

 
  A r   
i
j
k    A1  r  i  A2  r  j  A3  r  k 
x2
x3 
 x1
 
  
  





A3  r  
A2  r   i  
A1  r  
A3  r   j  
A2  r  
A1  r   k
x3
x1
x2

 x2
  x3
  x1

Ak
 A  r  i    ijk
x j
jk
Legge di Faraday
B
E  
t


E

dS

E

dl


B

dS


Ñ
s

t S
Per campi statici l’integrale di linea è indipendendente dal cammino ed è uguale
alla differenza di potenziale tra due punti.In presenza di campi magnetici
variabili ciò non è più vero.
La forza elettromotrice indotta lungo un cammino chiuso (ad es. una spira)
è pari alla variazione di flusso attraverso il cammino (attraverso una
qualunque superficie che si appoggia al cammino) del campo magnetico
Induttanza
Ñ
 H  dl   J  dS
S
2 r
B

I
I b
S B  dS  l a 2 r dr  l 2 ln a  LI
L
 b

ln
l 2 a
b
I
La corrente di spostamento
D  
 B  0
B
E  
t
 H  J

J  
t
   H    J
=0
D
H  J 
t

    H     J    D
t
?
La corrente di spostamento
V  V0 sin t 
dV
Ic  C
 CV0 cos t 
dt
D
E
Jd 

t
t


Ñ
 H  dl  S J  dS  t S D  dS
V
E
d
I d  AJ d
A
Id   
 V0 cos t 
 d 
Equazioni di Maxwell
F  q E  v  B
D  
 B  0
B
E  
t
D
H  J 
t

J  
t
F     E  J  B  dV
V
Equazioni di Maxwell
forma integrale
Ñ
 D  dS    dV
S
V
Ñ
 J  dS  
S
Ñ
 B  dS  0
S

Ñ
 E  dl   t S B  dS

Ñ
 H  dl  S J  dS  t S D  dS

 dV

t V
Regime sinusoidale
cos t  Re e jt 
dI
1
L  RI   Idt  Vm cos t
dt
C
I  I m cos t   I   Re  I c e jt 
I c  I m e j I
 d  I c e jt 

1
jt
jt
Re  L
 RI c e   I c e dt   Vm Re e jt 
dt
C


LI c
d  e jt 
dt
 RI c e
jt
Ic
  e jt  dt  Vme jt
C

1 
 j L  R  jC  I c  Vm


Z
Vm
Ic 
Z
Vm jt 
I  Re  e 
Z

Regime sinusoidale
I  t   I m cos t  V  t   Vm cos t   
W  t   V  t  I  t   Vm I m cos t    cos t 
Vm I m
W t  
cos    cos  2t    
2
Vm I m
Vm I m
W t  
cos  1  cos 2t  
sin  sin 2t
2
2
Z  R  jX
1
*
2 jt
W  t   Re Vc I c  Vc I c e 
1
1
2
P  Re V I   R I
2
1
Wc  Vc I c*
2
W
Q
*
c c
2
2
c
1
1
Im Vc I c*   X I c
2
2
2
Regime sinusoidale
  Dc  c
  Bc  0
 Ec   jBc
 Hc  J c  jDc
  t   Re  c e jt 
  t   Re   r  j i  e jt 
  r cos t  i sin t
Propagazione lungo z
 0
Onde piane
J 0
E  z, t 
 D  0
 B  0
B
H
E  
 
t
t
D
H 
t

H y

Ex
t
E y
z
H x

z
t
E
0 z
t
H x
Ez E y

 
y
z
t
H y
Ex Ez

 
z
x
t
Ex E y
H z

 
y
x
t
X
X
X X
 x  0
 y  0
Onde piane

z

t
H y
Ex
 
z
t
H y
E

 x
z
t
2 H y
 2 Ex
 
z 2
zt
2 H y
 2 Ex


t z
t 2
 2 Ex
 2 Ex
 
z 2
t 2
Ex  z, t   f1  t  z v   f 2  t  z v 
Ex  z , t   E0 cos   t  z v  
v
1

Onde piane e fasori
H y
Ex
 
z
t
H y
E

 x
z
t

dEx
  j H y
dz

dH y
d 2 Ex
2



 Ex
2
dz
 j Ex
dz
 jkz
1
Ex  c
 c2
jkz
k   
Ex  z, t   Re  Ex e jt   Re c1 jkz e jt  c2 jkz e jt 
  z 
  z 
Ex  z, t   c1 cos   t     c2 cos   t   
  v 
  v 
 c1 , c2 R 
Onde piane e fasori
1 dEx
1
 kc1e  jkz  kc2e jkz  
Hy  

j dz 

H y  z, t   Re  H y e  

jt

2

v

c1e  jkz  c2e jkz 


  z 
  z  
c1 cos   t     c2 cos   t    
  v 
  v  

L’equazione d’onda 3D
 D  0
 B  0
H
  E  
t
D
H 
t
2

H
2
 H   2  0
t
v
1


c
n
n   r r  n  jn

    E     H 
t
2

E
2
 E      E     2
t
2

E
2
 E   2  0
t
fasori
k    
n
c
2E  k 2E  0
2H  k 2H  0
L’equazione d’onda 3D
E  E0 e jk r
 Ek E  0
2
2

H 
E 
iE
j

1
  E   jB
k ki
0    D   jk  D
1
H  iE




polarizazzione
k ki
Consideriamo il caso
i  zˆ
 2 Ex  k 2 Ex  0
2E  k 2E  0
2 E y  k 2 E y  0
Ex  a1e j1
Ex  t   a1 cos   1 
  1   2
Ey  a2e j2
Ey  t   a2 cos    2 
  2  A
Ey
a2
 cos A
2
Ex
 cos  A     cos A cos   sin A sin 
a1
2
 Ex   E y 
 Ex   E y
  
  2 
 a1   a2 
 a1   a2

2
 cos   sin 

polarizazzione

a2
a1
2
2
 Ex   E y 
 Ex   E y


2

 



 a1   a2 
 a1   a2

2
 cos   sin 

Ex  t   a1 cos  A   
Ey  t   a2 cos  A
RHC
Ex   jE y
Ex   jE y
RHC
LHC
1   2 

2
1   2  

2
polarizazzione
lineare
Circolare LH
ellittica
Parametri di Stokes
s0  a12  a22
s1  a12  a22
s2  2a1a2 cos 
s3  2a1a2 sin 
s1  s2  s3  s0
Potenziali vettore e scalare
 B  0
B   A
B
E  
t
A 

E 
0
t 

A
E
 
t
A
E
 
t
D
H  J 
t
D  
2A

   A   2   
  J
t
t


   A  
t

2
Potenziali vettore e scalare
2A

   A   2   
  J
t
t
 A  2 A     A 
A  A  


t

  A  
0
t
Condizione
di Lorentz
2

A
2
 A   2    J
t
2



2
    2  
t


   J
t
Potenziali vettore e scalare
campi armonici
In mezzi omogenei e isotropi:
 2 A   2  A    J s
s
      

2
2
  A  j   0
Condizione
di Lorentz
1

J
j
Regime sinusoidale
Densità di carica indotta
  D(r)   (r)  s (r)
Densità di carica sorgente
  Bc (r)  0
 Ec (r)   jBc (r)
 Hc (r)  jD(r)  J (r)  J s (r)
Densità di corrente indotta
Densità di corrente
sorgente
Relazioni costitutive
(Regime sinusoidale)
In un mezzo lineare e passivo D e B dipendono
linearmente da E ed H rispettivamente mediante
parametri costitutivi. Inoltre, se le relazioni costitutive
non dipendono dalla direzione di E ed H, il mezzo è
detto isotropo.
D E
BH
 0  8.854 1012 farad/metro
t
BH
t
D E
 Dx  11 12 13   Ex 
 D   
 E 


23   y 
 y   21 22
 Dz   31  32  33   Ez 
0  4 107
c
1
0 0
henry/metro
; 3 108
metri/s

r  ;
0
J  E

r 
0
Legge di Ohm
(mezzi lineari con perdite)
Relazioni costitutive
 H(r )  j E(r )   E(r )  J s (r )
 j c E(r )  J s (r )
 
tan  

c 

r    j
    j 
0 0
 0
D(r, t )   E(r, t )
B(r, t )   H (r, t )
D(r,  )   ( ) E(r,  )
Tangente
di perdita
n   r r  n  jn
Indice di rifrazione complesso
Mezzi non dispersivi
t
D(r, t ) 
  (t  t ') E(r, t ')

Il teorema di Poynting
B
  E  H   H   E  E   H 
E  
t
B
D
D
   E  H   H 
 EJ  E
H  J 
t
t
t
S  E H
  BH    DE 
   E  H   
 
  EJ
1
t  2  t  2 
W   E  E   H  H 
2

  S  W  E  J
t

S  da   WdV   E  J dV
    S dV  Ñ

t V
s
V
V
Flusso di potenza
entrante nel volume
Rate dell’incremento
di energia
elettromagnetica
nel volume
potenza dissipata
nel volume
Cariche in movimento
J  nqv
F  qE  m
dv
dt
2


d
v


m dv
1
V E  JdV  V q dt  nqv  dV  V n  2 m dt  dV


Onde piane
Ex  z, t   E0 cos   kz 

H y  z, t  
E0 cos   kz 

 2
S z  Ex H y 
E0 cos 2   kz 

 E02
Pz 
1  cos 2   kz  
 2
Teorema di Poynting
per fasori
  E   jB
   E  H*   H*     E   E     H* 
 H  J s  jD
   E  H*   H*    jB   E   J *  j D* 
1
S  E  H*
2
 ' 2
We  0 E
4
0  ' 2
Wm 
H
4
 0  2 0   2
L
E 
H
2
2

  
 0
Potenza reattiva
1
  S  E  J *s  2 j Wm  We   L
2
densità media
di energia
elettromagnetica
Immagazzinata
(per unità di volume)
1
  Re S   Re E  J *s   L
2
Potenza
attiva
1
  Im S   Im E  J *s   2 Wm  We 
2
Onde piane e fasori
Ex  c1 jkz  c2 jkz
Hy  
1 dEx
1
 kc1 jkz  kc2 jkz  

j dz 
  jkz
c1  c2 jkz 


c1e  jkz  c2 jkz  c1*e  jkz  c2*e jkz  zˆ
E H 

*
1
Pav  Re  E  H*   c1c1*  c2 c2* 
2
 W/m 
2
Condizioni di continuità
n
Ñ
 E  dl   E
n
t2
 Et1  l   t  n    E 2  E1  l
 t  n   E 2  E1   l  0
t
2
B
S t  dS  0
1
Ñ
 D  dS   D
S
2
 D1   na
  dV   a
s
V
Ñ
 H  dl   H
t2
 H t1  l  t  n   H 2  H1   l
D 

S  J  t   dS  t  J s l
Condizioni di continuità
n   E2  E1   0
n   H2  H1   J s
n
 D2  D1   n  s
 B2  B1   n  0
2
1
Incidenza di un’onda piana
su un’interfaccia planare
TE
TM
2
z
Ht
Ht
x E
t
x
t
x
i r
Hi
xE
i
Et
x
Hr
Hi
Er
Hr
x
Ei
1
Er
k i  i xˆ  qi zˆ   i ,0, qi 
TE (s)
E
(i )
y
 Es e
k2  k0 n2
 i2  qi2  k12
 jk i r
 Es e
qi  k1 cos i
 j  i x  qi z 
i  k1 sin i
z
Ht
x E
t
t
x
i r
Hi
xE
i
k1  k0 n1
x
Hr
E
(r )
y
E
(t )
y
 Rs Es e
 Ts Es e
 j  r x  qr z 
 j  t x  qt z 
qr  k1 cos  r
 r  k1 sin  r
qt  k2 cos t
t  k2 sin t
Er
Ey(i )  Ey( r )  Ey(t )
in z  0
Ey(i )  Ey( r )  Ey(t )
exp   j i x   Rs exp   j r x   Ts exp   j t x 
in z  0
i   r  t
qt  k2 cos t
n1 sin i  n1 sin r  n2 sin t
Legge di Snell
n

cos t  1   1 sin 2 i 
 n2

1  Rs  Ts
H x(i )  
1 E y
Hx 
j z
H
(r )
x
q
Es exp   jqi z  j i x   

Rs E y(i )

Z1
H x(t )  
Ts E y(i )
Z2
 n2  n1  sin t  sin i
Z1 
Z2 
1
qi
2
qt
 t  i 
E y(i )
Z1
H x(i )  
H x( r ) 
H
(t )
x
E y(i )
Z1

Rs E y( r )
Z1

Ts E y( r )
Z2

Es
exp   jqi z  j i x 
Z1
H x(i )  H x( r )  H x(t )
in z  0
1  Rs Ts

Z1
Z2
1  Rs  Ts
Rs Es
exp  jqi z  j i x 
Z1
TE
  s s exp  jqt z  j i x 
Z2
per   0
Z
0
q

Z 2  Z1
Rs 
Z 2  Z1
0
1
 c 0
n cos 
0 cos 
Rs 
n1 cos i  n2 cos t
n1 cos i  n2 cos t
Ts 
2n1 cos i
n1 cos i  n2 cos t
1  2  0
2Z 2
Ts 
Z 2  Z1
TM (p)
Ex(i )  Ep cosi exp   jk i  r   E0 cosi exp   jqi z  j i x 
Ex( r )  Rp E p cosi exp  jqr z  j i x 
Ex(t )  Tp E p cost exp   jqt z  j i x 
1 H y
Ex  
j z
Ex(i )  Ex( r )  Ex( t )
Ht
x
in z  0
Et
cos i  R p cos i  Tp cos t
Hi
Hr
x
Ei
Er
  H  j E
j Ex  
H y(i )
H y(i )  H y(i ) exp   jqi z  j i x 

H y(i )
z
z
 jqi H y(i )  j Ex(i )
H y( r )
Ex( r )

Z1
H y(t )
Ex(t )

Z2
z
  jqi H y(i ) exp   jqi z  j i x    jqi H y(i )
H y(i ) 
H y(i )  H y( r )  H y(t )
cos i  Rp cos i
Z1
H y


qi
Ex(i )
Ex(i )

Z1
in z  0
Tp cos t
Z2
Z
q

TM (p)
1  R  cos
p
i
 Tp cos t
cos i  Rp cos i
Z1

Z 2  Z1
Rp 
Z 2  Z1
2 Z 2 cos i
Tp 
Z 2  Z1 cos t
per
1  2  0
1 n2  cos t  1 n1  cos i

Rp 
1 n2  cos t  1 n1  cos i
Tp cos t
Z2
  0
0 cos 
1 cos 
Z




 0c n
q
2 n2  cos i

Tp 
1 n2  cos t  1 n1  cos i
n

cos t  1   1 sin 2 i 
 n2

Angolo di Brewster
Caso n2 > n1
1 n2  cos t  1 n1  cos i

Rp 
1 n2  cos t  1 n1  cos i
1 n2  cost  1 n1  cosi  0
0
2
n 
n
n
cos i  1 cos t  1 1   1  sin 2 i
n2
n2
 n2 
cos b  t   cosb cos t  sin b sin t  0
2 n2  cos b

Tp 
1 n2  cos t  1 n1  cos b

n1
n2
n2
tan b 
n1
0
b  t 

2
Riflessione totale
t  i
Caso n1 > n2
t
i
t
i
n

cos t  1   1 sin 2 i 
 n2

t 

2
sin  c 
n2
n1
Riflessione totale
i   c
E y(t )  Ts Es e
 j  t x  qt z 
 n1

2
qt  k2 cos t  1   sin i    jQt
 n2

 n1

2
Qt   sin i   1
 n2

Ey(t )  Ts Es exp   j t x  Qt z 
1
Re S1  zˆ  Re  E(i )  E( r )    H (i )*  H ( r )*    zˆ
2
Potenza media totale
che attraversa 1 m2 di interfaccia
1
Re S1  zˆ  Re  E(xi )  E(xr )  H (yi )*  H (yr )*  
2
1
 Re  E(yi )  E(yr )  H (xi )*  H (xr )*  
2
TM
TE
Re E(i )  H ( r )*  E( r )  H (i )*   zˆ  0
1
1
(i )
( i )*
Re S1  zˆ  Re E  H   zˆ  Re E( r )  H ( r )* 
2
2
Re E(i )  H ( r )*  E( r )  H (i )*   zˆ
TE
*
2


R

R
1
(i )
( r )*
(r )
( i )*
s
s
 Re  E y H x  E y H x   Es Re 
0
*
2
 Z1 
Analogamente per i modi TM
H x(i )  
H x( r ) 
1
1
(i )
( i )*
Re S1  zˆ  Re E  H   zˆ  Re E( r )  H ( r )* 
2
2
E y(i )
Z1
Rs E y( r )
Z1
1
Re S1  zˆ  Re  Ex(i ) H y(i )*  Ex( r ) H y( r )* 
2
1
 Re  E y( i ) H x(i )*  E y( r ) H x( r )* 
2
Re S1  zˆ  E p
 Es
2
2
1  R 
p
1  R 
2
s
2
TM
TE
cos 2 i
Re
*
2Z p1
1
Re *
2Z s1
1
Re S 2  zˆ  Re E(t )  H (t )*   zˆ
2
2
2
2
cos 2 t
1
2
 E p Tp Re
 Es Ts Re *
*
2Z p 2
2Z s 2
H
(i )
y
H y( r )
H
(t )
y
Ex(i )

Z1
Ex( r )

Z1
Ex(t )

Z2
H x(i )  
H x( r ) 
E y(i )
Z1
Rs E y(i )
H x(t )  
Z1
Ts E y(i )
Z2
Incidenza normale
Rp 
mezzi (non magnetici) ad elevata conducibilità
n1 sin i  n1 sin r  n2 sin t
1 n  cos   1 n  cos  n  n
2
t
1
i

1
2
1 n2  cos t  1 n1  cos i n1  n2
 2 n2  cos i
2n1
Tp 

1 n2  cos t  1 n1  cos i n1  n2
Rs 
i  0
i  0
r  0
n1 cos i  n2 cos t
n n
 1 2
n1 cos i  n2 cos t
n1  n2
 r     j  ;  j
2n1 cos i
2n1
Ts 

n1 cos i  n2 cos t
n1  n2
E y(t )  Ts Es e
 j  t x  qt z 
E y(t )  Ts Es exp( j
t  0


 

exp   j 
 0  0
 2

c
 r z)
Ey(t )  Ts Es exp( j  z   z )


 
r 
exp   j  
1  j 
 0
4
2



0
  
0
2

1





 r     j  ;  j

exp   j 
 0  0
 2
 
Ey(t )  0
1 n2  cos t  1 n1  cos i  1
Rp 
1 n2  cos t  1 n1  cos i
Tp 
 2 n2  cos i
1 n2  cos t  1 n1  cos i
0
Rs 
n1 cos i  n2 cos t
 1
n1 cos i  n2 cos t
Ts 
2n1 cos i
0
n1 cos i  n2 cos t
E
(i )
y
 Es e
 jk i r
 Es e
 j  i x  qi z 
E y( r )   Es e j  r x qr z 


E y(1)  E y(i )  E y( r )   Es e  ji x e  jqi z  e jqi z  2 jEs e  j i x sin qi z


E y(1)  t   E y(i )  E y( r )   Es e  j i x e  jqi z  e jqi z  2 Es sin qi z sin t  i x 
Es reale
Incidenza normale
n1 sin i  n1 sin r  n2 sin t
H x(i ,t )  
Zs 

q
H x( r ) 
s
Z1,2
r 1
 r cos 
Re S1  zˆ  Es
Re S 2  zˆ  Es
2
2
Ex(t )  Tp E p cost exp   jqt z  j i x 
 j  i x  qt z 
E y(i ,t )
 Z0
  k sin i
Ex( r )  Rp E p cosi exp  jqr z  j i x 
 j  i x  qi z 
E y(t )  Ts Es e
n
Ex(i )  E p cosi exp   jqi z  j i x 
 j  i x  qi z 
E y( r )  Rs Es e
c
q  k cos i
TM
TE
E y(i )  Es e
k  k0 n 
Legge di Snell


1  Rs
2
2
Ts Re
Rs E y(i )
Z1
Z 0  0 c 

1
Re *
2 Z s1
1
2 Z s*2
H
( i ,t )
y
Ex(i ,t )
 p
Z1,2
0
 376.73 Ohm
0
Zp 
q

 Z0
H
(r )
y
Ex( r )
 p
Z1
r
cos 
r
Re S1  zˆ  E p
2
1  R 
2
p
2
Re S 2  zˆ  E p Tp
2
cos 2 i
Re
2Z *p1
cos 2 t
Re
2Z *p 2
Un’onda piana monocromatica (f = 100 MHz) si propaga nel vuoto ed incide
obliquamente su una interfaccia piana con un mezzo dielettrico (r  1 r
=16).
La direzione di incidenza forma un angolo  = 60º con la normale alla
superficie di separazione. L’onda piana incidente è polarizzata
perpendicolarmente al piano di incidenza. All’onda piana incidente è
associata una densità di potenza Si =2 W / m2. Determinare:
1) La densità di potenza attiva associata all’onda riflessa
2) La densità di potenza attiva associata all’onda trasmessa
3) La densità di potenza attiva trasferita al dielettrico
4) L’ampiezza della componente lungo la normale al piano di incidenza del
campo magnetico totale nel vuoto ad una distanza d =1.5 m.
Re S1  zˆ  Re S1 cos i  Es
Rs 
n1 cos i  n2 cos t
n1 cos i  n2 cos t
Ts 
2n1 cos i
n1 cos i  n2 cos t
2
1  R 
2
s
n1 cos i
2c0
 1

n1
sin t  sin i  t  arcsin 
sin i 
 

n2
 2r

Z
0
q

0
1
 c 0
n cos 
0 cos 
1
Re S 2  zˆ  Re E(t )  H (t )*   zˆ
2
2
2 n2 cos  t
2
i n2
 Es Ts
 Re S
Ts cos t
2c0
n1
H
(1)
x
H
(i )
x
H
(r )
x
n1 cos i
 j i x
 jqi z
jqi z

Es e
e
 Rs e
c0


Velocità di gruppo

V  r, t    a   cos t  k  r  d 
 2V  k 2V  0
0

V  r, t   Re  a   exp  jt  jk  r  d 
0
Un’onda è detta quasi-monocromatica se
a    0
per
1
2
1
2
0      0   con


= 1
Consideriamo per il momento
un’onda
costituita
dalla
sovrapposizione di due onde
monocromatiche
di
eguale
ampiezza
e
con
frequenze
leggermente diverse:
V  z , t   a exp  jt  jkz   a exp  j     t  j  k   k  z 
1
2
1
k  k  
2
    
V  z , t   a exp  jt  jkz   a exp  j     t  j  k   k  z 

1
1
 1

1

 a exp   j t  j k z   exp  j t  j k z   exp  jt  jkz 
2
2
 2

2


1

 2a cos   t   k z   exp  jt  jkz 
2

fase
1
Ampiezza dipendente dal
tempo e dalla posizione
0.5
20
40
60
80
100
t (oppure z)
-0.5
-1
1
 t A   2
2
1
 z A  k  2
2
 tA 
1
 t p   2
2
1
 z p  k  2
2
 tp 
4

4
 zA 
k
 zp 
Distanza tra massimi successivi della
funzione di ampiezza
2

2
Distanza tra massimi successivi della
funzione di fase
k
1 
1

V  z, t   2a cos    t   k z   exp  jt  jkz 
2

2 
 t   k z  0
t  kz  0
z

 vg 
t
k
z

 vp 
t
k
V  z , t   Re
 a   exp  jt  jkz  d
( )
V  z, t   Re  A( z, t ) exp  jt  jkz 
A( z, t ) 
 a   exp  j     t  j  k  k  z  d
( )

 dk
;  a   exp  j     t 
 d 
(  )


z  d 

dk
k k ;
   
d 
dk
t
z0
d 
z
d
 vg 
t
dk
k
Un’onda piana monocromatica (f = 10 MHz) polarizzata circolarmente (LHC) si
propaga nel vuoto ed incide perpendicolarmente (in direzione z) su una
interfaccia piana con un mezzo dielettrico (r = 1 r =9).
L’onda icidente trasporta una densità di potenza attiva Si = 4 mW / m2.
Determinare:
1) Scrivere l’espressione nel dominio del tempo del campo elettrico incidente
e calcolare l’ampiezza delle componenti (x e y ) del campo elettrico
incidente
2) La lunghezza d’onda nel dielettrico
3) La densità di potenza attiva trasmessa attraverso l’interfaccia
4) L’espressione nel dominio del tempo del campo magnetico associato
all’onda piana trasmessa
5) La polarizzazione dell’onda riflessa
Conduzione nel plasma freddo
v  v  r, t 
N  N  r, t 
N 0  N 0  r, t 
v  r, t 
Campo di velocità
V
Densità degli elettroni
z
r0
Densità di equilibrio
N  N0  n
q  qe N  r0 , t  V
x
y
qe  1.6 1019
m  me N  r0 , t  V
v0  v  r0 , t 
d v  r0 , t 
m
 q E  r0 , t   v  r0 , t   B  r0 , t    v m v  r0 , t 
dt
C
d v  r0 , t 
m
 q E  r0 , t   v  r0 , t   B  r0 , t    v m v  r0 , t 
dt
d v  r0 , t   v
v
v
v 
  vx 
vy 
vz  
dt
y
z
t  r0 ,t
 x
qe
v
v
v
v
vx 
vy 
vz 
  E  v  B  v v
x
y
z
t
me
qe
v

Ev v
t
me
J  qe Nv  qe  N0  n  v  qe N0 v
J
 vJ   p2 0 E
t
 p  qe N0 /  0 me  2  8.97 N0
1) Un’onda piana monocromatica a frequenza f 0  1 GHz, il cui fasore di campo è dato da
Einc  E0e jk0 z
 ,
xˆ  jyˆ
2
con E0  1 V/m, si propaga nel vuoto ed incide ortogonalmente su
un’interfaccia piana oltre la quale è presente un dielettrico caratterizzato da una permittività
dielettrica relativa  r  5  j 0.01. Determinare:
a) Se il dielettrico sia dissipativo e/o dispersivo.
b) L’ampiezza e lo stato di polarizzazione dell’onda trasmessa.
c) L’ampiezza e lo stato di polarizzazione dell’onda riflessa.
d) L’intensità massima del fasore di campo magnetico nel vuoto e la minima distanza
dall’interfaccia dove tale massimo si instaura.
e) L’intensità massima del fasore di campo elettrico nel vuoto e la minima distanza
dall’interfaccia dove tale massimo si instaura.
f) La velocità dell’onda trasmessa che si propaga nel dielettrico.
g) La velocità di un impulso a banda stretta (pacchetto d’onde) con spettro concentrato attorno
a f 0 che si propaga nel dielettrico.
h) Determinare la distanza dall’interfaccia per cui l’ampiezza del campo elettrico trasmesso
diventa un centesimo del campo elettrico trasmesso all’interfaccia (z=0).
i) Calcolare la densità potenza media trasmessa al dielettrico
j) Calcolare la potenza dissipata dopo 10 m su una sezione di lato 1 m e commentare alla luce
del teorema di Poynting.
k) Consideriamo adesso l’incidenza con un angolo di 45° sullo stesso dielettrico di un’onda
TM con ampiezza del campo elettrico incidente pari a 1 V/ m. Si calcoli l’angolo di
trasmissione e la potenza trasmessa al dielettrico.
n1  n2 1  5

 0.38
n1  n2 1  5
2n1
2
T

 0.62
n1  n2 1  5
R
k
2 f
c
;
2 f
c
E
(t )
 TE0e
xˆ  jyˆ
2
RHCP
E (t )  TE0 e  z
5 1  j103 

Il massimo dell’ampiezza trasmessa zi ha in z = 0
E ( r )  z   RE0  0.38
 jk2 z
V/m

2 f
c
5103  0.047
E (t )  z  0   TE0  0.62
V/m
LHCP



H (tot )  H i  H r  1  R e 2 jk0 z H i  1  0.38e 2 jk0 z H i
Max per 2k0 z  0  2n
z2  




E (tot )  E i  E r  1  R e 2 jk0 z E i  1  0.38e 2 jk0 z E i
c
v ;
n
3 8
10  1.34 108 m/s
5

2
Max per 2k0 z    2n
z1  

4
E (t )  z   TE0 e  z
E (t )  z 
E (t )  0 
 e  z 
2 f
 
c
1
100
z
P t  z  0   Re S 2  zˆ  E0 Ts Re
2
2
2 ln10

; 98 m
n2
2Z 0
n
1
P t ( z )  Re St  zˆ   Re  E y(t ) H x(t )*   E02 T 2 2 e 2 z
2
2Z 0
L
d
2
 Ldz 
0
E 
2
 0 2 n2' n2''
2
E 
2
2
n2 2 z
e
2Z 0
Pt  0   Pt  d 
Potenza dissipata dopo d metri:
 0 
P t  z   E02 Ts
0 c
2
n 2 E Ts e
2
0
n
2 1
1  e 2 d   P t  0   P t  d 
2 E02 Ts
2Z 0
2
2
2 z
n
2

2 E02 Ts e 2 z
2Z 0
1 n2  cos t  1 n1  cos i
1 n2  cos t  1 n1  cos i
 2 n2  cos i
Tp 
1 n2  cos t  1 n1  cos i
n1 sin i  n1 sin r  n2 sin t
2
Re S 2  zˆ  E p Tp
2
Rp 
cos 2 t
Re
2Z *p 2
2
Re S 2  zˆ  E p Tp
Zp 
2
cos t
n2
2Z 0
q

 Z0
r
cos 
r
E1s  E1' s  E2 s  E2' s
z
TE
H’2
E’2 x
1
2
'
'
E

E
cos


E

E



1s
1s
1
2s
2 s  cos  2
1
2
H2
x E
2
t
x
i r
H1
xE
1
x
H’1
E’1
1


Ds  i     i
cos

i
 
 1
Z=0



 i cos i 
i


1
cos   s

Z
 E1s 
 E2 s 
Ds (1)  '   Ds (2)  ' 
 E1s 
 E2 s 
1
 E1' s 
 E2 s 
Rs  
; Ts  


E
E
 1s  E2' s 0
 1s  E2' s 0
TM
E
'
'

E
cos


E

E


1p
1p
1
2p
2 p  cos  2
1
2
'
E1 p  E1 p  
E2 p  E2' p 


1
2
 E1 p 
 E2 p 
D p (1)  '   D p (2)  ' 
E 
E 
1
p


 2p 
 cos i

Dp  i     i
 
1

cos i 

i 

1 
 E1' p 
 E2 p 
Rp  
; Ts  
 E  '
 E  '
 1 p  E2 p 0
 1 p  E2 p 0
3
z
A3
B3
A2
B2
Z=d
2
A’2
B’2
A1
B1
Z=0
1
 e j2
P2  
 0
0 
 j2 
e 
2  k2 cos 2 d
'
'




A
A
 A1 
1
2
2
   D1 D2  '   D12  ' 
 B1 
 B2 
 B2 
 A2' 
 A2 
 '   P2  
 B2 
 B2 
'


A
 A2 
1
3
   D2 D3  ' 
 B2 
 B3 
'


A
 A1 
1
1
3
   D1 D2 P2 D2 D3  ' 
 B1 
 B3 
Un’onda piana monocromatica (f = 100 MHz) si propaga nel
vuoto ed incide obliquamente su una interfaccia piana con un
mezzo dielettrico (r 1 r =9).
La direzione di incidenza forma un angolo  = 30º con la normale
alla superficie di separazione. Il campo magnetico incidente è
polarizzato perpendicolarmente al piano di incidenza. All’onda
piana incidente è associata una densità di potenza Si =3 W / m2.
Determinare:
1) L’angolo di trasmissione in gradi;
2) La densità di potenza attiva associata all’onda riflessa;
3) La densità di potenza attiva associata all’onda trasmessa;
4) La densità di potenza attiva trasferita al dielettrico e
verificare la conservazione dell’energia;
5) L’intensità massima del fasore di campo magnetico nel
vuoto e la minima distanza dall’interfaccia dove tale
massimo si instaura ;
6) Trovare l’angolo (in gradi) per cui l’ampiezza dell’onda
trasmessa è massima;
7) La velocità dell’onda trasmessa che si propaga nel
dielettrico;
8) Considerando adesso un mezzo con costante dielettrica
 r  9  j 0.01,
complessa
determinare
la
distanza
dall’interfaccia per cui l’ampiezza del campo magnetico
trasmesso diventa un centesimo del campo magnetico
trasmesso all’interfaccia (z=0).
V  V e
 j z
 V e
j z

2


1
V e  j  z  V e j  z 
I
Z0
VL  Z L I L
V (0)  V  V  VL
I (0)  I   I   I L
V Z L  Z 0
 
V Z L  Z 0
VL
2Z L
 
V Z L  Z 0
V V VL
I (0) 


Z0 Z0 Z L

vp
  LC
z  l
V  l 
e j l   e j l
Z i  Z  l  
 Z 0 j l
I  l 
e   e j l
Z L cos  l  jZ 0 sin  l
Zi  Z0
Z 0 cos  l  jZ L sin  l
YL cos  l  jY0 sin  l
Yi  Y0
Y0 cos  l  jYL sin  l
Zi
zi 
 r  jx
Z0
1   u  jv 
r  jx 
1   u  jv 
w   e2 j l  u  jv
2
r 

 1 
2
u 
 v 

1

r
1

r




2
1
1

 u  1   v    2
x
x

2
2
1
1
1


Z L Z L1 Z L 2
YL  YL1  YL 2
ovvero
I  I  e j z  I e j z
I   j z I  j z
V e
 e
Y0
Y0
IL
VL 
YL
I I IL
V (0)   
Y0 Y0 YL
I (0)  I   I   I L
% %e2 j l  u% jv%
w
I  YL  Y0
% 
I  YL  Y0
%
IL
2YL

I  YL  Y0
Yi
yi   g  jb
Y0
%
1 w
yi 
%
1 w
Adattamento di una linea di trasmissione mediante inserimento di uno stab
cortocircuitato.
z0
z0s
zl
50
70
20
20
YL cos  l  jY0 sin  l
Yi  Y0
Y0 cos  l  jYL sin  l
cos  l
Yis   jY0
  jY0 cot  l
sin  l
Inseriamo lo stub in un punto lungo la linea principale in cui g(z) = 1 in modo da
ottenere il risultato cercato facendo in modo che la parte immaginaria sia cancellata
dall’impedenza dello stub. Il punto si trova a 0.485 dal carico e si ottiene b =1.13.
Si ottiene quindi B=Y0 b =(0.020)(1.13)= 0.0226 S. Occorre quindi connettere in
questo punto uno stub con suscettanza di ingresso pari a -0.0226 S.
Partiamo da una ammettenza infinita (al carico cortociscuitato dello stub) e
dobbiamo traformarla in una suscettanza normalizzata pari a -1.582. Pe far ciò
occorre trovare l tale che
cot  l  1.582