Dato un insieme di misure sperimentali di una stessa grandezza,
quale valore e quale errore considereremo come risultato della misura?
Media
Ipotesi di distribuzione Normale
  x  x 2 
1

y( x) 
exp  
2

2

 2


x0i
0
1
2
3
V 4
5
6
7
8
9
5.718
5.679
5.104
4.578
6.442
4.898
5.884
6.421
4.711
5.412
m=10
x  5.485
Deviazione Standard
m
x
 xi
i 1
m
m

 
2


x

x
 i
i 1
m

2m  1
Precisione di 
  0.629
   0.148
x  5.5  0.6
m=100
m=1000
x  5.141
x  5.039
  0.882
  0.983
   0.063
   0.022
x  5.1  0.9
x  5.04  0.98
Se abbiamo una grandezza U misurata indirettamente
come funzione di variabili X,Y affette da errore: U=U(X,Y)
quali saranno il suo valore e l’errore associato?
Deviazione standard:
Valore più probabile:
U  U ( X ,Y )
 U 
U  

 X 
2
 U 
 

Y 

X ,Y
Y
 U


 X
X 2 Y 2
 U
X

 2
 Y X  Y 2
2
 Y2
2
X
 X  10.0  0.8cm
Y 
U  arctan  

X
Y  21.0  0.2cm
 21 
U  arctan    1.126377rad
 10 
Esempio:
2
2
21 

 10

2


0.22  0.03rad
U    2
0
.
8


 2
2
2 
 21  10 
 21  10 
U  1.13  0.03rad  64  2
X ,Y
 U 
U  

 X 
2
 U 
 X2  

 Y 
X ,Y
2
 Y2
X ,Y
Caso della somma o della differenza:
Caso della moltiplicazione:
 U  Y   X   XY
2
2
X
2
2
Y
Caso della divisione:
U ( X ,Y )  X  Y
U ( X , Y )  XY
 X2
X

2
 Y2
Y2
U ( X ,Y )  X / Y
1 2 X2 2 X
U 
 X  4 Y 
2
Y
Y
Y
 U2   X2   Y2
 X2
X
2

 Y2
Y2
Una costante (valore esatto) NON contribuisce agli errori (=0)
 U2
U
2

 X2
X
2

 Y2
Y2
Cifre significative
Quando si hanno valori sperimentali di cui NON si conosce la precisione,
l’ultima cifra significativa la si considera con l’errore di + 1
12.48

12.48 + 0.01
20.0

20.0 + 0.1
20

20 + 1
Cifre significative
Quando si eseguono operazioni semplici (+ - x / ) con grandezze sperimentali
di cui NON si conosce la precisione, valgono due regole empiriche:
1) Nelle somme e sottrazioni, il risultato si arrotonda
all’ultima posizione decimale del numero meno preciso
2) Nelle moltiplicazioni e divisioni, si arrotonda il risultato al numero di
cifre siginificative del termine che di queste cifre ne ha meno.
38.05
12.1
54.005
8.347
95.868
= 95.9
+
+
=
2.4x3.141592654/12.02 = 0.627273076
= 0.63
Metodo dei minimi quadrati
Si applica per trovare i migliori coefficienti di una equazione
basandosi sulla misura sperimentale di variabili.
E’ possibile quando I coefficienti, pensati come incognite,
costruiscono una equazione lineare
Esempio: Caratteristica diretta DC di un diodo
Sperimentalmente,
per m valori di tensione applicata Vi
si ottengono m valori di corrente Ii.
Si suppone che valga l’equazione
Sono incogniti Is, Rs, KT
 qV  RS I 
I (V )  I S exp 


kT


In generale, essendo Vi e Ii sperimentali, e quindi affetti da errori
 qVi  RS I i 
I i  I S exp 
0

 kT 
i  1,...m
Si devono cercare quei coefficienti per cui la caratteristica
sperimentale e quella teorica hanno il minimo scarto, mediato su tutte
le misure.
Metodo dei minimi quadrati
In teoria, basterebbe cercare i valori delle incognite Is, Rs, KT per cui
2

 qVi  RS I i  
 I i  I S exp 
  minimo




i 1 
 kT  
m
Ingestibile!
Vediamo di trovare una forma più comoda, prendendo il logaritmo:
q RS I  RS

qV
ln
I S
V 
I
I I IS ln
exp
kT kT
 kT
Si tratta ora di cercare i valori delle incognite per cui:
m
 ln I
i 1
 a  bVi  cI i   minimo
2
i
Poniamo:

ln I  a
 S
 q
b

kT
 RS  c
 kT
m
2


ln
I

a

bV

cI
 minimo
 i
i
i
i 1
m
m
m
 m mm
2



a
1


b
ln
ln
I
I
V


a

a

c

bV
bV
I



cI
cI
I00i





i ii
i ii
i ln
i
 
a
i 1
i 1
 m im1i im11 i 1m
m
m
 
2
2
2

a

V
V

ln
b
I


V
a
aV


bV

c
bV

V

0 Ii
i i 


i
i
i
i i cI
i I
i cV
i I0
i V
i ln
i 1
i 1
i 1
i 1ibm1 im1
m
m
m
a II 
2 2 2
cI
lnbI
Iii VaI
ai I
bV
cbV
cI

I i 0ln I i


i i ln
ii 
i 
i II
i ii 
i 0
 
i 1
i 1
i 1
 ic1 i 1




 aA  bA  cA  C

aA  bA  cA  C
 aA  bA  cA  C
32
33
3
 31
m
m
m
m
 m
1 11
2ln
a1
12
cIi i c
0 Ii  0 1
ln
I i I i a
bV
b
i V
 
13
i 1
i 1
i 1
 mi 1m i 1
m
m
m

2

 Vi 
ln2Iiln Iai 
 aV
bV
b
cIi i c
0 Vi I i  0

i 
i V
i 1 22 i 1
i 1
 i 1mmi 1 21
23
2
m
m
m

2
I
ln
I


a
I

b
V
I


c
I
I

2
ln
I

a

bV

cI

0




i
i ii
i  0
ii
i  i
i

i 1
i 1
i 1
 ii11