MODELLO
LOGISTICO
CON PRELIEVO
Effetto di una cattura regolare di un certo numero di individui
Per es.: popolazione di pesci
regolare attività di pesca
E
forze impiegate per la cattura (per es. il numero di navi impiegate)
C
numero di individui catturati
IPOTESI (ragionevole)
C  qEP(t )
Il numero di individui catturati
è proporzionale a E e a P(t)
Il modello logistico con prelievo diventa:
dP
P
 m(1  ) P  qEP(t )
dt
K
Punti di equilibrio in presenza di prelievo
dP
0
dt
P
m(1  ) P  qEP
K
mP
P(m 
 qE )  0
K

P1  0
mP
m
 qE  0
K
m
P  m  qE
K
K
P2  (m  qE )
m

Graficamente significa trovare le intersezioni della parabola
P
con la retta qEP(t )
m(1  ) P
K
retta
parabola
dP
dt

 qEP(t )
P
m(1  ) P
K
12
10
y=qEP
8
6
4
2
0
y=m*P*(1-P/K)
-2
-4
-6
0
2
4
6
8
10
12
LOGISTICA CON PRELIEVO
14
Retta tangente in 0:
y  KP
K  f ' (0)  m
y  mP
12
E>m/q
10
E=m / q
E<m/q
8
6
P2
4
Pesca:
y  qEP
tangente
in 0 per qE  m
E  m/q
2

P2

0
P2  K
-4
-6
K
Popolazione P
-2
0
2
4
6
P
8
10
12
Il punto di equilibrio P2 ( P1 )
esiste solo se E<m/q ,
cioè per prelievi di poca entità e diminuisce di valore di mano in
mano che E aumenta.
Per
E>m/q
esiste solo il punto di equilibrio P1=0
OSSERVAZIONI SULLA STABILITA’
Se la retta
qEP
sta sopra la parabola,
dP
0
e dunque P decresce
dt
m
Se le forze impiegate diventano troppo grandi ( E  q )
allora
l’unico equilibrio stabile è P1=0
estinzione della popolazione
Se la retta
allora
qEP
sta sotto la parabola
dP
0
dt
e dunque P cresce
m
Se le forze impiegate non sono troppo grandi ( E  )
q
il punto di equilibrio P2 diventa stabile
ALTRE APPLICAZIONI
DELLA CRESCITA LOGISTICA
•
Diffusione di un’infezione
•
Autocatalisi
•
Cinetica chimica
DIFFUSIONE
DI UNA MALATTIA INFETTIVA
IPOTESI
• 1 Popolazione :
Infetti
Non-Infetti
N individui
• Tutti gli infetti sono ugualmente ed immediatamente contagiosi
• La malattia si trasmette per contagio diretto con probabilità
ad ogni contatto
• Gli infetti non modificano il loro comportamento
(per es. malattia asintomatica)

I (t )
Infetti
N  I (t )
Non-Infetti
dI
0
  (n contatti)
dt
n contatti  K * I (t ) * ( N  I (t ))
0
dI
 KI ( N  I )
dt
K
rappresenta la velocità di contagio
Cambio di variabile
I (t )
I (t )  x 
N
d ( Nx)
 K * N * x * ( N  Nx)
dt
Percentuale di
infetti
dI
 KI ( N  I )
dt
diventa
dx
N
 KN * x * N (1  x)
dt
A
dx
 A(1  x) x
dt
(logistica)
0.6
dx
---dt
0.4
0.2
0
y=A*x*(1-x)
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-0.4
dx
0
dt
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
x0
pochissimi infetti
x 1
tutta la popolazione è infetta
Equilibrio
In questi casi, la popolazione degli infetti cresce molto lentamente
(bassa probabilità di incontri)
Ricordiamo che
x (t ) 
dx
1
mx(1  x)
dt
1
1  (1  ) exp(  1
A(t  t 0 ))
x(t ) 
x0
1
1  (1  ) exp(  m(t  t0 ))
x0
Supponiamo che al tempo t = 0 ci sia un solo individuo infetto, cioè
t0  0
x(t ) 
1
x0 
N
1
1  ( N  1) exp(  At )
E’ possibile predire lo sviluppo dell’epidemia?
Supponiamo che la malattia diventi nota quando raggiunge il 5% della
popolazione.
Possiamo predire quando avverrà che il 50% della popolazione sarà
infetta ? (o quando avverrà che lo sia il 90% della popolazione )
x(t ) 
Devo trovare t:
…..
t
1
1  ( N  1) exp(  At )
x 1  ( N 1) exp(  At)   1
log((N 1) x )  log(1 x )
A
A  K * N
non è noto
x  x( N  1) exp(  At )  1
exp(  At ) 
1 x
x( N  1)
 At  log( 1  x)  log( x( N  1))
Occorre stimare
K
K
rappresenta la velocità di contagio e quindi sapendo solo
che il 5% è infetto non abbiamo abbastanza informazioni.
STIMA DI
A  K
(Indagine epidemiologica)
Abbiamo bisogno di due misure dell’infezione.
Supponiamo che:
1
10% della popolazione al tempo  2
• l’infezione ha raggiunto il 5% della popolazione al tempo
• l’infezione ha raggiunto il
• N = 10000
Sostituiamo questi dati nella formula
t
log((N 1) x )  log(1 x )
A
log  (104  1) * 0.05   log( 1  0.05) 6.26579
t1 

A
A
log  (104  1) * 0.1   log( 1  0.1) 7.01302
t2 

A
A
Non sappiamo quando è iniziata l’infezione (t 0 ) e quindi
1  t1
ma conosciamo la differenza
 2  t2
 2 1
7.01302  6.2658

A
E’ possibile ora stimare A:
 2 1
(valore noto)
0.7472
A
 2 1
Avendo stimato A dall’osservazione dei dati sperimentali,
possiamo calcolare t: 50% della popolazione è infetta
t: 90% della popolazione è infetta
t
t
log((104 1) 0.5) log(10.5)
0.7472
( 2   1 )  12.33( 2 1 )
log((104 1) 0.9 ) log(10.9 )
0.7472
( 2   1 )  15.27( 2 1 )
AUTOCATALISI
L’autocatalisi avviene quando il prodotto di una reazione chimica
favorisce la reazione stessa.
A agisce come catalizzatore nella reazione:
B
A+C
Allora si ha:
A+B
2A + C
ESEMPI di reazioni
autocatalitiche
Legame tra ossigeno
ed emoglobina
L’emoglobina nei globuli rossi del sangue è un
enzima (catalizzatore) e l’ossigeno con il quale essa
si combina è il substrato.
Emoglobina come enzima autocatalitico
E
+
emoglobina
Tripsina
e
tripsinogeno
Catalizzatore
S
=
ossigeno
SE
P
complesso
prodotto
+
E
emoglobina
La tripsina prodotta dal pancreas sottoforma di
tripsinogeno (lo zimogeno), deve essere attivata a
tripsina dall'enterokinasi intestinale; la tripsina attivata
è ora in grado di attivare essa stessa il tripsinogeno.
Enzima che facilita la reazione.
La sua concentrazione (libera + combinata)
è costante nel tempo.
Y (t )
Concentrazione di A al tempo t
(t )
Concentrazione di B al tempo t
All’istante iniziale
Ad ogni istante t si ha:
Y (t0 )  a
(t0 )  b
Y (t )  (t )  a  b  c
costante
La velocità di reazione è proporzionale alla concentrazione di A e alla
concentrazione di B
dY
 K * Y (t ) * (t )
dt
Poiché A agisce come catalizzatore, si deve avere:
(t )  c  Y (t )
Dunque l’equazione diventa:
dY
 K * Y (t ) *  c  Y (t )
dt
Passiamo alla variabile
Y  cX
X 
Y
c

frazione di Y(t) rispetto alla
quantità totale di reagenti iniziali
dX
 K * X * (1  X )
dt
logistica
X (t ) 
Soluzione:
X0 
Y0
a

c ab
1
1
1  (1 
) exp(  Kt )
X0
1
X (t ) 
;
ab
1  (1 
) exp(  Kt )
a
X (t ) 
Y (t ) 
X (t ) 
1
a a b
1
exp(  Kt )
a
1
b
1  exp(  Kt )
a
ab
b
1  exp(  Kt )
a
X 
Y
Y

c
ab
Attivazione autocatalitica del
Tripsinogeno cristallino
(J.H. Northorop, M.Kunitzand R.M.Herriot
Cristalline enzimes Cambridge 1948)
0.07
Concentrazione [Try]
0.06
Dati misurati
Modello Logistico
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
1
2
3
4
5
6
Tempo [ore]
7
8
9
TEMPO
(ore)
Concentrazione
di
Tripsinogeno
1.3
0.3
2
3
3
7.1
4
14.9
4.5
19.89
5
27.2
5.5
40
6.2
44.76
6.8
60.678
7.1
65.321
8
67.8
8.9
66.3
CINETICA CHIMICA
Consideriamo la reazione:
A+B

C+D
concentrazione iniziale del reagente A

concentrazione iniziale del reagente B
x(t )
concentrazione dei prodotti C e D
 A (t )
 B (t )
con
x ( 0)  0
concentrazione di A e di B durante la reazione
Ad ogni istante t si avrà:
 A (t )    x(t )
 B (t )    x(t )
Il numero di molecole di C e D prodotte in una unità di tempo è
proporzionale alla concentrazione di A e alla concentrazione di B
dx(t )
 K *  A (t ) *  B (t )
dt
 K * (  x(t )) * (   x(t ))
riconducibile al modello logistico
Scriviamo l’equazione nella variabile:
 A (t )    x(t )
dx(t )
 K * (  x(t )) * (   x(t ))
dt
diventa:
d (   A (t ))
 K A (     A )
dt
d A (t )

 K A  (    )   A
dt

d A (t )
  A K  (   )   A
dt
A
d A (t )
A
 A A  1 
dt
(   )

logistica

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
Risoluzione di un problema di cinetica chimica
%
con ODE45
% Reazione chimica:
A + B = C + D
% ---------------%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all
global lambda ni K
t0=0;
tf=30;
% Dati iniziali
% ------------% lambda
concentrazione iniziale del reagente A
%
ni
concentrazione iniziale del reagente B
%
K
costante di proporzionalità della reazione
% Incognita
% ---------% chiA
concentrazione del reagente A
%
nell'intervallo di tempo [t0,tf]
lambda=0.5;
K=1;
ni=0.3;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
[t,chiA] = ode45(@fcin, [t0,tf], lambda);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% X concentrazione del prodotto
%
nell'intervallo di tempo [t0,tf]
x0=0;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
[tt,X]=ode45(@fcin1, [t0,tf], x0);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
hold on;
plot(t,chiA,'r',tt,X,'g')
title('Cinetica chimica')
xlabel('tempo'); ylabel('concentrazione')
legend('concentrazione reagente A','concentrazione prodotto')
ESEMPIO di soluzione logistica
del problema di cinetica chimica
Cinetica chimica
0.5
0.45
concentrazione reagente A
concentrazione prodotto
concentrazione
0.4
  0.5
0.35

0.3
  0 .3
0.25
0.2

K 1
0.15
0.1

0.05
0
0
5
10
15
tempo
20
25
30
Cinetica chimica
0.05

0.045
  0.05
concentrazione
0.04
0.035
concentrazione reagente A
concentrazione prodotto
0.03
  0 .3
0.025
K 1
0.02
0.015

0.01
0.005
0
0
0
5
10
15
tempo
20
25
30