f x  e x
f x 
è possibile costruire f 1x ?
è iniettiva, infatti  f x1  f x 2   x1  x 2




x2
e x1  e
 x1  x 2
y  ex
x
ricaviamo
 la x: log y  log e log y  x loge

f 1 : y  f 1y 
x
log y  x
f 1 : y x  log y
a questo puntosi opera uno scambio di variabili perché si
vuole avere sempre a che fare con funzioni che operino da

x a y.
f 1 : x  f 1x  y  y  log x
1
Funzione inversa
f x  e
f

1
x
x  log x
Simmetria rispetto alla retta
yx


2
f x  x 2
è possibile costruire f 1x ?
f x  non è iniettiva, infatti non è vero che f x1  f x 2   x1  x 2
x12  x 22  x12  x 22  0 x1  x 2 x1  x 2   0

Da cui si ricava x1  x2  x1  x2 

Ogni
elemento di R ha la medesima immagine del suo
opposto

E’ necessario restringere il dominio della funzione da R a R+
affinché diventi iniettiva.
y  x 2  x   y  x   y dal
momento Dom f   R
che
Scambio di variabili  y  x



3
Funzione inversa
f x  x
f

1
2
x   x
Simmetria rispetto alla retta
yx


4
Esercizio
x 12 x  1


f x    x 1 1  x  0
 x
x 0

e
y  x 2 
 2x 1  x 2  2x 1 y  0








x  1  
1  1 y  x  1  y
x  1  y
y  1 x
2
y  x 1  y  x 1  x  y 2 1

y  x 2 1
x
y  e
 log y  log e x  x  log y

y  
log x


5
Esercizio
x 12 x  1


f x    x 1
1  x  0
 x
x 0

e


1  x x  0
 
1
f x   x 2 1
0  x  1

x 1
logx



6
Funzione seno e coseno
Q



x
O
H


PH
senx 
 PH
OP
P
L

A

PL
cos x 
 PL
OP



senx
AQ
tgx 

cos x
OP

Funzione seno e coseno
PH
senx 
 PH
OP
O
PL
cos x 
 PL
OP
senx OQ
tgx 

 cos x OP




Funzioni goniometriche inverse
f x  senx
   
Df   ;  Im f  1;1
 2 2 

y  senx  x  arcseny

y  arcsenx


Df
1
 1;1
   
Im f 1   ; 
 2 2 



9
Funzione seno e coseno
f x  senx
D  R f D  1;1
Inf  f D  Min  f D  1
T  2








Sup f D  Max  f D  1

f x  cos x
D  R f D  1;1
Inf  f D  Min  f D  1
Sup f D  Max  f D  1

Funzioni goniometriche inverse
f x  cos x
Df  0; 
Im f  1;1

y  cos x  x  arcos y

y  arcos x


Df 1  1;1
Im f 1  0; 



11
Funzioni goniometriche inverse
f x  tgx

   
Df   ;  Im f  ;
 2 2 
y  tgx  x  artgy

y  artgx


Df
1
 ; Im f
1
   
  ; 
 2 2 



12