Due o tre cose sulla serie armonica
Giulio C. Barozzi
Università di Bologna
Una delle prime serie che si incontrano nello studio dell’Analisi Matematica è la cosiddetta
serie armonica, cioè quella costruita a partire dalla successione
1 1
1
1, , , . . . , , . . .
2 3
n
dei reciproci dei numeri interi positivi. La somma parziale n-esima di tale serie è il numero
armonico di ordine n
1 1
1
H(n) = 1 + + + . . . + .
2 3
n
Nonostante ciascuna di tali somme si ottenga dalla precedente addizionando un termine via
via più piccolo e convergente a 0, la successione delle somme stesse, cioè la serie armonica,
diverge positivamente.
Poiché la successione H(n) è monotona crescente, è equivalente dimostrare che essa è
positivamente divergente, oppure dimostrare che essa è superiormente illimitata. Ancora:
per dimostrare che essa è divergente, basta mostrare che essa ammette una sottosuccessione
positivamente divergente.
La dimostrazione più antica della divergenza in questione è dovuta a Nicola Oresme
(ca. 1323–1382); essa parte dall’idea che, raggruppando opportunamente più termini consecutivi della serie armonica, si può costruire una sottosuccessione della successsione H(n)
che manifestamente diverge.
A partire dal secondo termine, raggruppiamo i termini della serie armonica in blocchi
costituiti da 1, 2, 4, 8, . . . addendi, in modo che l’ultimo termine di ciascun blocco sia del
tipo 1/2k :
1
1+
+
2
1 1
+
+
+
3 4
1 1 1 1
+ + +
+
+
5 6 7 8
+ ......
In ciascuno dei blocchi entro parentesi l’ultimo addendo è il più piccolo, dunque le quantità
entro parentesi sono tutte ≥ 1/2. In generale, per ogni naturale positivo k, il k-esimo blocco
contiene 2k−1 addendi tutti maggiori o uguali a 1/2k . Per ogni naturale k abbiamo allora
H(2k ) ≥ 1 +
1
k
,
2
e poiché la successione a secondo membro diverge, tale sarà anche quella a primo membro.
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
H(2k )
1 + k/2
1.5
2.083333
2.717857
3.380728
4.058495
4.743890
5.433147
6.124344
6.816516
7.509175
1.5
2.
2.5
3.
3.5
4.
4.5
5.
5.5
6.
Come vedremo in seguito, la serie armonica è strettamente legata alla funzione logaritmo. Una dimostrazione della divergenza della serie armonica può essere ottenuta a valle
della definizione del numero di Eulero e = 2.7182818284 . . . , dopo aver dimostrato che la
successione n → (1 + 1/n)n che definisce il numero stesso è monotona crescente, dunque e
è anche l’estremo superiore della successione in esame:
n
1
< e.
∀n > 0, 1 +
n
Prendendo i logaritmi di entrambi i membri abbiamo
n[log(n + 1) − log n] < 1 ⇐⇒ log(n + 1) − log n <
dunque
1
,
n
n
n
1 [log(k + 1) − log k] = log(n + 1)
H(n) =
>
k
k=1
k=1
e l’ultima quantità diverge per n → ∞.
Un’ulteriore dimostrazione della divergenza della serie armonica si deve a Pietro Mengoli (1626–1682), successore di Bonaventura Cavalieri nell’insegnamento della matematica
nell’Università di Bologna.
Essa parte dall’idea che, se si rappresentano in un diagramma cartesiano i punti di
coordinate (n, 1/n), essi appartengono al ramo di iperbole x → 1/x, x > 0, che rivolge la
propria concavità verso l’alto. Dunque se si congiungono due punti di tale iperbole con
un segmento, esso giace tutto al disopra
dell’arco di iperbole
che ha gli stessi
estremi. Ad
esempio, se si congiungono i punti n − 1, 1/(n − 1) e n + 1, 1/(n + 1) , il punto medio
del segmento ottenuto ha ascissa n e ordinata
1 1 1
+
2 n−1 n+1
che è maggiore dell’ordinata 1/n del corrispondente punto appartenente all’iperbole.
2
1
1
In altri termini
2
3
4
5
1 1
1 1
+
> ;
2 n−1 n+1
n
si tratta di una diseguaglianza immediata in quanto può essere riscritta nella forma
n2
1
n
>
−1
n
⇐⇒
n2 > n2 − 1.
Se scriviamo la nostra diseguaglianza nella forma
1
1
2
+
> ,
n−1 n+1
n
e aggiungiamo 1/n ad entrambi i membri, otteniamo:
1
1
3
1
+ +
> .
n−1 n n+1
n
A parole: la somma di tre termini consecutivi della serie armonica è maggiore del
triplo del termine “centrale” della terna in esame.
Raggruppiamo allora i termini della serie armonica in blocchi di tre termini, a partire del secondo termine, in modo che il termine centrale di ciascuna terna abbia come
denominatore un multiplo di 3:
1 1 1
+ +
+
1+
2 3 4
1 1 1
+ +
+
+
5 6 7
1
1 1
+ +
+
+
8 9 10
+......
La prima somma entro parentesi è maggiore di 3 · 1/3 = 1, la seconda è maggiore
di 3 · 1/6 = 1/2, la terza è maggiore di 3 · 1/9 = 1/3, . . . . In generale se consideriamo
3
la somma H(3n + 1), essa si può scrivere come 1 seguito n terne che, complessivamente,
danno un contributo superiore a 1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1/n, dunque
H(3n + 1) > 1 + H(n).
Supponiamo ora, per assurdo, che la successione H(n) converga ad un limite s ∈ R.
Passando al limite nella diseguaglianza appena ottenuta, avremmo s ≥ 1 + s, il che è
impossibile. Resta dunque l’altra alternativa: H(n) diverge positivamente.
n
H(3n + 1)
1 + H(n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.083 333
2.592 857
2.928 968
3.180 133
3.380 728
3.547 739
3.690 813
3.815 958
3.927 171
4.027 245
2.
2.5
2.833 333
3.083 333
3.283 333
3.45
3.592 857
3.717 857
3.928 968
3.928 968
Nello stesso spirito della dimostrazione di Mengoli, appena vista, possiamo dare una
dimostrazione “visiva” della divergenza della serie armonica. Costruiamo un istogramma
costituito da rettangoli di base unitaria e altezze 1, 1/2, 1/3, . . . ; per ragioni di leggibilità
del grafico, scegliamo l’unità di misura sull’asse delle ordinate maggiore di quella sull’asse
delle ascisse, come abbiamo fatto anche nella figura precedente.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
2
3
4
5
6
L’area complessiva dell’istogramma fornisce la somma della serie armonica. Ora, possiamo considerare il nostro istogramma non solo come unione di rettangoli “verticali” che
hanno due vertici opposti nei punti (n−1, 0) e (n, 1/n), ma anche come unione di rettangoli
“orizzontali” che hanno due vertici opposti nei punti (0, 1/(n + 1)) e (n, 1/n).
4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
2
3
4
5
6
L’area dell’n-esimo rettangolo vale
n
1
1
−
n n+1
=
1
.
n+1
Dunque l’area complessiva dell’istogramma vale 1 + 1/2 + 1/3 + . . . se viene calcolata
come somma delle aree dei rettangoli “verticali”, e vale 1/2 + 1/3 + 1/4 + . . . se viene
calcolata come somma delle aree dei rettangoli “orizzontali”. Ma l’uguaglianza
1+
1 1
1
1 1
1
+ + ... + + ... = + + ... + + ...
2 3
n
2 3
n
è impossibile se le serie ai due membri sono convergenti.
Concludiamo con due ulteriori osservazioni. La successione n → H(n) cresce molto
lentamente: essa si comporta come la successione n → log n, nel senso che il rapporto tra
le due tende a 1 per n → ∞.
Lo stesso vale, ovviamente, anche se si scrive log(n+1) al posto di log n. Un esame non
difficile, ma minuzioso, mostra che log(n + 1) < H(n) per ogni n (cosa che già sappiamo) e
più precisamente la differenza H(n) − log(n + 1) converge ad una costante γ, la cosiddetta
costante di Eulero-Mascheroni, che vale approssimativamente 0.577. Il lettore interessato
può consultare il testo citato in bibliografia [1], p. 383 e ss.
n
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
H(n)
log(n + 1)
H(n) − log(n + 1)
2.283 333
2.928 968
3.318 228
3.597 739
3.815 958
3.994 987
4.146 781
4.278 543
4.394 948
4.499 205
1.791 759
2.397 895
2.772 588
3.044 522
3.258 096
3.433 987
3.583 518
3.713 572
3.828 641
3.931 825
0.491 573
0.531 072
0.545 640
0.553 217
0.557 861
0.560 999
0.563 262
0.564 970
0.566 306
0.567 379
5
Finalmente: eccettuato il valore H(1) = 1, tutti i restanti valori di H(n) sono numeri
(ovviamente) razionali, ma non interi: in effetti ciascuno di tali numeri è dato da una
frazione irriducibile con numeratore dispari e denominatore pari. Per una dimostrazione
elementare di questo fatto rimandiamo al numero 4 dell’anno 1995 della rivista Archimede
(pag. 218).
Bibliografia
[1] G.C. Barozzi, Primo Corso di Analisi Matematica, Zanichelli (Bologna), 1998;
[2] R. Courant, H. Robbins, Che cos’è la matematica, Bollati Boringhieri (Milano), 2000;
[3] W. Dunham, Viaggio attraverso il genio, Zanichelli (Bologna), 1992.
6