Precorso di Matematica
UGUALI
?
Sig. ROSSI
A
Sig. NERI
B
A=B
xA
èappartiene
elemento di
a
A=B
sono un’unico insieme !
x A  xB
implica
x B xA
Sig. ROSSI
A
AB
UGUALI
COMESig.FIGURE
NERI
COME
INSIEMI
DI
PUNTI
GEOMETRICHE
B
unica figura geometrica
come figure
geometriche
A
isoscele
P
Q
AB = AC
P  Q
come insiemi
B
AB  AC
C
A= B
A= B
A=B
AB
AB
A
B
A
B
unico
oggetto
A +C = B +C
x + a + (- a) = b +(-a)
x= b-a
A C = B C
1
1
ax   b
a
a
b
x
a
equazioni algebriche di primo grado
a+x = b
x = b-a
ax = b
x = b/a
disequazioni algebriche di primo grado
a+x
> b
ax
> b
x
> b-a
b/a
a  0  x

 b/a
a  0  x 
NUMERI NATURALI
{0,1,
2 , 3 , 4 , 5 , ...
}
NUMERI INTERI
0 1 -1
-3 4 - 4
{
2 -2 3
5 -5 ...
}

E’ SOTTOINSIEME
E’ CONTENUTO DI
IN
l’operazione di
SOTTRAZIONE
si riconduce a
quella di
ADDIZIONE
n - m  n + ( - m)
NUMERI RAZIONALI
a : a , b Z , b  0
}
{b


N Z Q
1
12
a
b
Q
a=1
b = 12
5
12
a
b
Q
a=5
b = 12
10
24
a
b
Q
a = 10
b = 24
a
an

b
bn
a
b
1
4

?

c
d
3
4
3 6
4 6
?
5 4
6 4
3 3
4 3

minimo comune
denominatore
5 2
6 2
12
3
4
+
5
6
a318+
 6d19
+20
5c  b4
38
b424
 d6
24
12
3
4
5
+ 6
minimo comune
12
denominatore
3 319
+ 5 2
12
a
b
c
a c

d
bd
a
a

0
x 0
b
b 1

a
x
ba  1
b a


a b
a b
l’operazione
di
x , yQ
DIVISIONE
y  0 a quella di
si riconduce
MOLTIPLICAZIONE
x
1
 x
y
y
Q +
a  (b + c)  a  b + a  c
proprietà distributiva
(a + b )  (c + d ) 
(a + b )  c + (a + b )  d 
a c + bc + a d + bd
Q +
a  (b + c)  a  b + a  c
proprietà distributiva
(a + b )  (a - b ) 
a a + ba - a b - bb 
2
2
(a + b)(a - b)  a - b
Q +
a  (b + c)  a  b + a  c
proprietà distributiva
(a + b)  (a + b) 
a a + ba + a b + bb 
2
2
2
(a + b)  a + 2ab + b
O
-2
-1

Q
0
U
1 2 2
NUMERI
REALI
3
non appartiene a
2
Q
a

b
il fattore 2
2 2 un
compare
numero dispari
di2volte.
 aa   2
  
 bb 
2
a 2b
2
il fattore 2
compare un
numero pari
di volte
2
il fattore 2
compare un
numero pari di
volte
2
Q

Q
x R 1  0 , 3
3
x Q
IRRAZIONALE
infinite cifre dopo la virgola
non periodiche
APPROSSIMAZIONE PER TRONCAMENTO

2
1.414213562
10
1.41 = 31.05926159
10
5
PROPAGAZIONE
DEGLI ERRORI
2 = 2 = 32
equazioni algebriche di secondo grado
a x + b x + c = 0 a 0
b
c 

2
a x +
x+ 0
a
a 

2
2
2
b
b
b
c
x + 2 x+
+

0
2
2
a
2a
4a
4a
2
2
2
b
b
b
c
x + 2 x+
+

0
2
2
a
2a
4a
4a
2
2
 x+ b   b - c
discriminante


2
2a 
a
4a

2

4ac
4
ac
bbb  bb b-c
x


x
+

x  22aa  44a a2 2- a
2a
22 2
FORMULA
RIDOTTA
a x2 + b x + c = 0
se b è un intero pari: b = 2 k
a x2 + 2k x + c = 0
-- 2kkk 2k4kk- -ac
-4ac
ac
x
a2a
2 22
--bb  
x

2a 2a 2a
-b
x1 
2a

2a
x2
-b

+
2a

2a
-b
x1 
2a
x1 + x 2
x1  x 2

2a
x2
-b

+
2a

2a
-b
b
 2
 2a
a
c
b
b - 4ac 4ac



2
2
2
4a
4a
a
4a
2
b
x1 + x 2  a
2
c
x1  x 2 
a
b
x1 + x 2  a
c
x1  x 2 
a
a (x - x1 )(x - x 2 ) 
2
a ( x - x21x - x 2 x + x1x 2 ) 
a2 x + b x + c 
a ( x - ( x1 + x 2 ) x + x1 x 2 ) 
c
a
x
)(
x
x
)


2( x b
a  x + x +1   2
a
a

2
a x + bx + c
disequazioni algebriche di secondo grado
a x + b x + c  0
a (x - x1 )(x - x 2 )   0
segno di
x1
2
x2
( x - x1 )(x - x 2 )
stesso
valori esterni
positivosegno
per dix a
 x1per
oppure
x  x2
segno
oppostoper
ad x
a1 per
negativo
x valori
x 2 interni
a>0
ax + bx + c  0
a (x - x1 )(x - x 2 )   0
segno di
a<0
x1
2
opposto di
x2
( x - x1 )(x - x 2 )
stesso
segno
valori esterni
negativo
per di xa
 x1peroppure
x  x2
segno
opposto
ad xa1 per
positivo
per
x valori
x 2 interni
disequazioni algebriche di secondo grado
segno di
ax + bx + c  0
2
0
aa >< 00
xo
a (x - x o )
stesso segno di
a
x1 xo x 2
2
per ogni
x  xo
disequazioni algebriche di secondo grado
segno di
ax + bx + c  0
2
0
aa >< 00
stesso segno di
a
per ogni
x R
Esercizio
a>0
2 x - 3x + 1  0
2
- b  b - 4ac
x 
2a
3  19 - 8 x1  1 / 2
2
x 
4 4
x2  1
1
2
x  1/ 2
1
oppure
x 1
Esercizio
a>0
2 x - 3x + 2  0
2
- b  b - 4ac
x 
2a
2
3  9 - 16
x 
4
0
qualunque valore di x
A
B
A
INTERSEZIONE
B
AB
A  B :  x | x  A e x  B 
Concorso per Ricercatore
Universitario
Art. 1
Possono partecipare coloro che
sono in possesso della Laurea in
Scienze Ambientali e che, alla
scadenza delle domande, non hanno
ancora compiuto i trenta anni di età.
A
potenziali concorrenti
laureati
in
Scienze
Ambientali
AB
non
ancora
trentenni
B
Esercizio
| 2x + 5 |  3
22xx+5--123
-2(x22x+x5+5-)8433
 ] -  , - 1[
A

]
4
,
+

[
B
S  A  B  ] - 4 , -1 [
y
xy = 0
x= 0
oppure
y= 0
x
S ={ asse x , asse y }
A
B
A
UNIONE
B
AB
A  B :  x | x  A oppure x  B 
Concorso per Ricercatore
Universitario
Art. 1
Possono partecipare coloro che
sono in possesso della Laurea in
Scienze Ambientali o di quella in
Scienze Biologiche.
potenziali concorrenti
A laureati
in
Scienze
Ambientali
B
laureati
In
Scienze
Biologiche
AB
# (A  B)  # (A) + # (B) - # (A  B)
Esercizio
xx - 2  0

xx - 3  0
xx- 22  0

xx-33  0
x-2
0
x -3
A ] 3 , + [
B
 ] - , 2 [
] -B, 2 [ ] 3 , +  [
S  A
Tutto
- [ 2l’intervallo
, 3 ] [ 2, 3 ]
R Rtranne
A
B
DIFFERENZA
A- B
A - B :  x | x  A e x  B 
U
A
COMPLEMENTARE
CA
C A : U - A
LANCIO DI UN DADO
ESITI
DISPARI
PARI
DISPARI = C ( PARI )
P(W) = 1
W
spazio campionario
probabilità
A
B
P(A  B)  P(A) + P(B) - P(A  B)
3 DI
2 UN1 DADO
4
LANCIO
P(A  B) 
6
+
6
-
6

6
B
A
P(A) + P(CA)  P(A  CA)  P(W) 1
W
spazio campionario
CA
A
P(C A) = 1 - P(A )
A
B
CA
A
B
C A C B
B
A
AB
C ( A  B )  (C A )  (C B )
C ( A  B)
CA
CB
( C A )  (C B )
C ( A  B )  (C A )  (C B )
leggi di A
DE
MORGAN
B
C ( A  B )  (C A )  (C B )
C ( A  B)
Regole di calcolo
a  3a + 4
u 
u
t  t
2
v  v
2
R  R
funzione
x  f (x)
f (x)  3x + 4
g(x ) 
x
h(x)  x
2
h(x )  x
2
stessa
funzione
dubbi nei calcoli
u+v  u + v
?
2 ?
 2 +2
sin( u + v) ?
 sin u + sin v
u+v
u
v
f ( u + v)  f ( u ) + f ( v)
f ( u + v)  f ( u ) + f ( v )
a : f (1)
f (2)  f (1 + 1)  f (1) + f (1)  a + a  a  2
f (3)  f (1 + 1 + 1)  f (1) + f (1) + f (1)  a  3
f (x)  a  x
forma lineare
f ( u + v)  f ( u )  f ( v)
a : f (1)
f (2)  f (1 + 1)  f (1)  f (1)  a  a  a 2
f (3)  f (1 + 1 + 1)  f (1)  f (1)  f (1)  a
f (x)  a
x
3
f (x)  a x
f (u + v)  f (u )  f ( v)
a
f (u )
f ( u - v) 
f ( v)
u+v
a
u-v
f (0)  1
v
u
a
 v
a
a 1
0
1
f (- x ) 
f (x)
f ( x )  (f ( x ) 
 a a
u

a
a
x
-x
1
 x
a
( 
 a
x 
a
n
n
a a 
m
an 
1
n
an
( 
1
m n
a


1

a n


n
a
m
deve essere :




n
x
1
n
a
m
n
( 
 a

a 
a>0
x 
n
n
a
a
m
Esercizio
Esprimere mediante un’unica radice il numero:
3
3
4 4
4 4 
4
5
1
1
+
3
5
5
1
3
4


1
5
4
8
15
4

15
8
4
a 1
a R , a  0
f :R  R
-1
+
+
f :R R
(
-1

exp a ( x ) : a
x
funzione esponenziale
di base a
f ( x )  exp a x
-1
f ( x )  log a x
f f (x)  x
f (log a x   x
a
log a x
x
logaritmo di
in base
a
x
a
log a x
x
log 10 100  2
log 10 1000  3
log 2 0.5  - 1
1
log 4 2 
2
f -1 ( x )  log a x
f (x)  a x
a
u+v
a
a
 a a
u-v
x
u
v
u
u
log a    log a u - log a v
v
a
 v
a
( 
 a
log a (u  v)  log a u + log a v
x 

log a ( x )   log a x
exp
(R, +)
log
(
+
R
,
)
f ( u + v)  f ( u ) + f ( v) f ( u  v)  f ( u )  f ( v)
f (x)  a x
 x R
f (x)  x
 x R
a
+
Pagina 308
Tabella 4.1
Scrivere un’equazione di secondo grado con soluzioni:
3 e 5
( x - 3)( x - 5)  0
x - 3x - 5x + 15  0
2
x - 8x + 15  0
2
4  16 - 15
x
1
4 -1  3
4 1
x

4 +1  5
1
Scrivere una disequazione di secondo grado con
insieme soluzione: ] 3 , 5 [
x - 8x + 15  0
2
x - 8x + 15  0
2
Scrivere una disequazione di secondo grado con
insieme soluzione vuoto
x + 15  0
2
x +1 0
2
x + 0.001  0
2
3
2
2
4
2
3
2
2
1
6
2
1
+
3
6
2
6
6
5
6
5
2
6
32
Fine del precorso