Quest’ultima espressione rappresenta nel piano log T - log r una famiglia di rette di
pendenza -1/5, luogo dei punti nei quali si deve trovare il nucleo per poter bruciare
l’idrogeno con efficienza sufficiente a generare la luminosità che compete a una stella
di quella massa.
Quando una stella di determinata massa si contrae, i valori di pressione e temperatura
centrali seguono le curve 7.2 che, inizialmente rette di pendenza 1/3, si “incurvano”
successivamente verso il basso a causa della crescente degenerazione. Se la curva
raggiunge la relativa retta di produzione di energia, in quel punto e quindi per quei
valori di pressione e temperatura, il collasso si arresta e la stella comincia a bruciare
idrogeno. Ma se la traiettoria si incurva prima che venga raggiunta la retta di
produzione energetica, la stella non riuscirà mai ad innescare il bruciamento nucleare.
Il valore di massa limite per l’innesco trovato in questo modo (per le abbondanze
chimiche adottate) risulta di 0.08 Masse Solari.
Il procedimento adottato si può
degenere.
9
generalizzar
e al bruciamento dell’elio in un nucleo
successive secondo lo schema seguente:
1. Scelgo una massa M
2. Scelgo un valore di r
3. Calcolo Tc con l’equazione del gas perfetto (7.1)
4. Stimo F1/2(y) usando la (vedi [2.44]):
F1 2 (y ) =
h3
2 me k
4p mH
(
)
-3 2
r c Tc
me
ovvero, passando ai valori numerici con l’abbondanza chimica assunta:
( )
3
2
log F1 2 y = log r c - log Tc + 7.9651
5. Dalla tabella in appendice al Capitolo 2 leggo il valore di 2/3 F3/2(y) corrispondente al
valore di F1/2(y) così calcolato e ricalcolo la Tc con la 7.2
6. Torno al punto 4 finchè y raggiunge valori alti (≥ 20), oltre i quali la degenerazione è da
considerarsi completa. Da quel punto in poi la curva nel piano log T - log r diventa
pressochè verticale, ovvero il nucleo si raffredda a densità costante.
Si ottengono in questo modo delle “traiettorie” sul piano log T - log r che indicano i
valori di pressione e temperatura centrale nella stella di massa M. Ripetendo
l’iterazione per diversi valori della massa, si ottiene una famiglia di curve che
sostituiscono le rette di pendenza 1/3 tracciate in precedenza.
Dobbiamo ora stimare l’andamento della produzione di energia nel nucleo della stella.
Assumiamo logicamente che il processo di bruciamento avvenga secondo la catena
p-p. Avremo per il coefficiente di produzione di energia per unità di massa
(arrotondando a 5 l’esponente della temperatura):
e = e0 r T 5
Assumiamo inoltre che il bruciamento coinvolga solo una frazione q = 0.1 della massa
della stella. La luminosità L della stella sarà dunque:
( )
3
2
log F1 2 y = log r c - log Tc + 7.9651
Dividiamo per le unità solari e assumiamo per r e T i valori centrali rc e Tc :
5
L
M MQ
= e 0 rc Tc q X
LQ
M Q LQ
Sappiamo che per i modelli stellari in equilibrio, esiste una relazione di proporzionalità
tra massa e luminosità, ovvero:
L Ê M ˆ
=
LQ ÁË M Q ˜¯
n
Per stelle di piccola massa, possiamo assumere n = 4. Tenendo conto del valore di X
adottato (0.68), possiamo uguagliare le espressioni della luminosità e passando ai
logaritmi:
1
5
3
5
log Tc = - log r c + log
8
M
+ 7.53
MQ
Ricavando da questa il raggio e sostituendo nell’espressione della pressione centrale,
abbiamo:
1
R
Ê 4p
r ˆ
=Á
◊ c˜
Ë 3 ◊ 54.2 M ¯
13
Ê 4p ˆ
˜
Ë 3 ◊ 54.2 ¯
4 3
r c4 3 M 2 3
Pc = 11.05 G Á
Dal momento che stiamo analizzando una stella di piccola massa, il contributo della
pressione di radiazione sarà piccolo rispetto alla pressione gassosa (la condizione è che
sia costante in tutta la stella). Quindi, sempre nell’assunzione che valga l’equazione del
gas perfetto possiamo esprimere la pressione centrale in funzione della temperatura e
del peso molecolare medio come:
Pc =
k
m c mH
r c Tc
Uguagliando le due espressioni abbiamo:
Tc
Ê 4p ˆ
= 11.05 G Á
˜
Ë 3 ◊ 54.2 ¯
4 3
m c mH
k
rc M 2 3
13
Per la composizione chimica e il peso molecolare medio assumiamo:
X = 0.68 Y = 0.28 Z = 0.04 fi m = 0.63
Allora passando ai logaritmi e utilizzando la massa solare come unità, abbiamo:
1
3
2
3
log Tc = log r c + log
M
+ 6.46
MQ
Sul piano log T - log r, questa equazione rappresenta una famiglia di rette con
pendenza 1/3.
Dobbiamo ora tener conto di una possibile degenerazione, anche parziale, del gas
elettronico. In questo caso la pressione centrale, utilizzando l’espressione della densità
[2.44] nella [2.47] del Capitolo 2, diventa:
Pc =
k
m i mH
( ) ¸Ô r
( ) ˝˛Ô
ÏÔ m 2 F3 2 y
i
Ì1 +
m
e 3 F1 2 y
ÓÔ
c
Tc
dove le F1/2(y) e F3/2(y) sono le funzioni di Fermi-Dirac di indice 1/2 e 3/2 (tabulate in
appendice al Capitolo 2). Uguagliando questa espressione alla pressione centrale del
modello standard e passando direttamente ai logaritmi, abbiamo:
log Tc =
Ï
2 F3 2 (y ) ¸Ô
1
2
M
log r c + log
+ 6.786 - log ÔÌ1 + 1.12 ◊
˝
3 F1 2 (y ) Ô
3
3
MQ
ÔÓ
˛
Per tracciare le nuove curve nel piano log T - log r, possiamo procedere per iterazioni
7
Per valori standard del peso molecolare medio elettronico, si ha, in forma logaritmica:
log T =
2
log r + 4.88
3
Spostandosi verso destra nel diagramma si incontra la regione del gas degenere
relativistico. Le equazioni relative sono:
Kmm
T = 2 e H r3
k
1
1
log T = log r + 7.07
3
La transizione tra il gas degenere non relativistico e quello relativistico si ottiene
dall’uguaglianza (indipendente dalla temperatura):
5
3
K1 r = K2 r
4
3
Ovvero per
log r = 3 log
K2
= 6.6
K1
7.3 Massa critica per l’innesco
Assumiamo che valga l’equazione di stato del gas perfetto e utilizziamo il modello
standard di Eddington (vedi Capitolo 6 - Modelli politropici). Ricordiamo che il modello
standard è caratterizzato da un rapporto b costante in tutta la stella tra la pressione
gassosa e quella totale, ovvero:
b=
Pgas
= costante
P
In questo caso l’equazione di stato (gas + radiazione) assume la forma di un politropo
con indice n = 3. Dalla soluzione dell’equazione di Lane-Emden relativa all’indice
politropico 3, abbiamo
rc
= 54.2
r
Pc = 11.05 G
M2
R4
Sostituendo il valore della densità media nell’espressione della densità centrale,
avremo:
rc = ÊÁ 3 ◊ 54.2 ˆ˜ M3
Ë 4p ¯ R
6
Diagramma
stato
Diagramma
di di
stato
Figura 7.1 Diagramma di stato
della materia stellare
rappresentato nel
piano LogT-Logr.
11
10
P ~ T4
log T (K)
9
8
P ~ r 4/3
P ~ rT
7
P ~ r 5/3
6
5
-2
0
2
4
6
8
10
Log r
1 4
k
aT =
rT
3
m mH
la quale, assumendo il valore standard per il peso molecolare medio m = 0.63, assume
la forma logaritmica:
1
log T = log r + 7.57
3
Al di sotto della demarcazione relativa alla pressione di radiazione, il gas segue la
legge dei gas perfetti finchè la densità non diviene sufficientemente alta, per una
data temperatura, da portare il gas elettronico in condizioni di degenerazione. La
retta di demarcazione tra il gas perfetto e quello degenere (non relativistico) è data
dall’eguaglianza:
5
k
k
rT =
r T + K1 r 3
m mH
m a mH
Dove K1 è la costante dell’equazione del gas degenere non relativistico. Tenendo conto
dell’uguaglianza:
1
1
1
=
+
m me m a
la precedente si riduce a:
K m m
T = 1 e H r3
k
2
5
Capitolo
7
Massa limite
Questo Capitolo discute la stima della massa limite, ossia
della massa al disotto della quale non si ha l’innesco delle
reazioni termonucleari.
7.1 Introduzione
Q
uesto capitolo presenta un metodo per stimare la massa limite al di sotto della
quale una protostella in contrazione gravitazionale non riesce a raggiungere la
temperatura centrale necessaria al bruciamento dell’idrogeno. Lo stesso metodo si
può estendere alla massa dei nuclei (cores) di elio e carbonio in stelle evolute al di
sotto della quale non si innescano le reazioni di bruciamento rispettivamente dell’elio
e del carbonio.
Dall’analisi dei parametri principali delle stelle di piccola massa (M < 2 M~) che
iniziano il bruciamento dell’H e che si trovano quindi, per definizione, nella parte
bassa della Sequenza Pricipale di Età Zero (ZAMS = Zero Age Main Sequence),
notiamo che al diminuire della massa, la temperatura centrale scende mentre la densità
centrale aumenta. Come si è visto nel Capitolo 2, questa tendenza può portare
gradualmente alla degenerazione del gas elettronico. In quel caso l’equazione di stato
dei gas perfetti non è più adeguata a descrivere il comportamento del gas e deve
essere sostituita da quelle relative allo stato di degenerazione presente. Si ricorderà
che nel caso di degenerazione completa, la pressione non dipende più dalla
temperatura. Se si raggiunge dunque questa condizione prima dell’innesco delle
reazioni nucleari, la temperatura centrale raggiungerà un massimo e poi, durante la
fase di degenerazione, comincerà a scendere lentamente in quanto l’unica sorgente
di energia utilizzabile per sostenere la luminosità della stella è la sua energia interna.
7.2 Il diagramma di stato
P
er poter stabilire quale equazione di stato sia da utilizzare per descrivere la mate
ria stellare in funzione della sua densità e temperatura, è molto utile il diagramma
di stato Log r - Log T (Figura 7.1). In questo diagramma sono riportate le linee di
demarcazione tra le varie zone del piano Log r - Log T entro le quali prevale una
determinata equazione di stato. Per temperature elevate prevale la pressione di radiazione:
questa situazione è rappresentata dalla regione del piano al di sopra della linea blu che
corrisponde all’eguaglianza:
4
Prefazione al 3º Volume
Il 3º Volume delle Dispense raccoglie alcuni argomenti di Fisica e
Astrofisica di particolare interesse didattico, sviluppandoli e
approfondendoli rispetto alla trattazione del libro di testo adottato. La
versione elettronica, disponibile in rete, include i collegamenti agli
Excel Workbooks che sono stati utilizzati per la realizzazione di
grafici e tabelle.
Al momento il piano del 3º Volume include i seguenti Capitoli:
- Emissione di Corpo Nero
- Fotometria stellare e diagrammi colore-colore
- Il Gas Elettronico Degenere
- Equazioni di stato
- Trasformazioni politropiche
- Modelli stellari politropici
- Massa limite per l’innesco del bruciamento dell’H e dell’He
- Orbite in Relatività Generale
Ultimo aggiornamento: 29/1/2002
3
DISPENSE DI ASTRONOMIA E ASTROFISICA
Argomenti di Astrofisica
© Prof. Piero Benvenuti
Dipartimento di Scienze Fisiche
Università di Cagliari
Phone +39-070-675-4319 • E-mail: [email protected]
Versione: Dicembre 2000 (draft)
2
Volume
3
CORSO DI LAUREA IN FISICA
Dispense di Astronomia e Astrofisica
Piero Benvenuti
Argomenti di
Astrofisica
1