IL MODELLO DI MALTHUS
NEL CASO CONTINUO
Il modello discreto si basa sull’ipotesi cha la riproduzione sia
concentrata in una stagione dell’anno. Il passaggio da una
generazione all’altra è descritto dalla variabile tempo che assume
valori interi: t  t  1
In molte popolazione questa approssimazione non è corretta, gli
individui si riproducono con continuità . Occorre formulare un
modello in cui il tempo è una variabile che assume valori reali
Invece di studiare il passaggio dalla generazione t alla
generazione t 1 si considera un breve intervallo di tempo dt
Y (t  dt ) 
Y (t )  nascite(t , t  dt )  morti(t , t  dt )
IPOTESI
(Analoghe al caso discreto)
Il numero di nati è proporzionale a:
Y (t )
•
Numero di individui presenti al tempo t :
•
Tasso medio di natalità nell’unita di tempo

•
Durata dell’intervallo di tempo considerata
dt
nascite(t  dt )  Y (t )dt
Il numero di morti è proporzionale a:
•
Numero di individui presenti al tempo t :
Y (t )
•
Tasso medio di mortalità nell’unita di tempo

•
Durata dell’intervallo di tempo considerata
dt
morti(t , t  dt )  Y (t )dt
L’equazione di bilancio diventa:
Y (t  dt )  Y (t )  Y (t )dt  Y (t )dt
Y (t  dt )  Y (t )
 (   )Y (t )
dt
Per intervalli di tempo molto piccoli
(dt  0)
si ottiene:
dY
 (   )Y  rY
dt
Equazione
differenziale
y ' ( x )  f ( x, y )
y (x)
y (x)
y (x)
( x0 y0 )
*
y (x)
y ' ( x )  f ( x, y )
y( x0 )  y0
( x0 y0 )
*
Y'
t'
dY
Y Y  t rdt  ln( Y )  ln( Y0 )  rt  rt0
0
0
Y
 ln( )  rt  rt 0
Y0
Y
  exp( rt  rt 0 )
Y0
Y  Y0 exp( rt )
(t 0  0)
Y  Y0 exp( rt )
Il caso continuo risulta equivalente al caso discreto
exp(r )  
Y  Y0 
t
Andamento qualitativo dell’abbondanza della popolazione
malthusiana continua al variare del parametro r
Accrescimento Malthusiano continuo
16
Numero di individui
14
r>0 crescita esponenziale
12
10
Y0
r<0 declina all’estinzione
r = 0.02 >0
r = -0.06 <0
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
tempo
12
14
16
18
20
ALTRE APPLICAZIONI
DELLA CRESCITA ESPONENZIALE
Gli stessi modelli possono descrivere fenomeni che appaiono
in ambiti molto diversi
•
Datazione di materiale biologico (decadimento radioattivo)
• Livello di glucosio nel sangue
• Modello di diffusione dell’AIDS (Modello di Ho)
DATAZIONE AL
CARBONIO C14
E’ noto che gli elementi radioattivi sono instabili, nel senso che decadono
in isotopi di altri elementi mediante l’emissione di particelle alpha (nuclei di elio),
particelle beta (elettroni) o fotoni.
Si può descrivere il processo di decadimento di un numero elevato di nuclei
radioattivi basandosi sulla seguente legge sperimentale:
La diminuizione del numero di nuclei radioattivi durante un
intervallo di tempo è direttamente proporzionale alla lunghezza
dell’intervallo e al numero di nuclei presenti all’inizio
dell’intervallo.
N (t )
t
Numero di nuclei radioattivi
al tempo t
Intervallo di tempo
N (t  t )  N (t )  kN (t )t
K costante di proporzionalità
N (t )
è un numero intero (numero di nuclei)
t
varia con continuità.
È necessario idealizzare il fenomeno interpretando
anziché discreta (per es. misura di massa).
N (t )
come misura continua
lim t 0
N (t  t )  N (t )
 kN (t )
t
Si ottiene cioè l’equazione differenziale lineare:
dN
 kN (t )
dt
che risolta (separando le variabili ed integrando, vedi Malthus continuo) fornisce
la soluzione:
N (t )  N 0 exp( k (t  t0 ))
N0
Legge di decadimento radioattivo
valore iniziale
N (t0 )
1
N (t  t 1 )  N (t )
2
2
Half-time (o tempo di dimezzamento) :
1
N 0 exp( k (t0  t  t 1 ))  N 0 exp( k (t0  t ))
2
2
N 0 exp( k (t0  t  t 1 ))
2
N 0 exp( k (t0  t ))
1
exp( kt1 ) 
2
2
1

2
1
 kt1  ln( )
2
2
Con tale valore di k il modello può essere
utilizzato per avere predizioni di N (t )
per tempi t  t0
ln( 2)
k
t1
2
Una delle prime strumentazioni utilizzate
al British Museum per la datazione al C14
DETERMINAZIONE DELL’ETA’
DI REPERTI ARCHEOLOGICI
E’ noto che una piccola percentuale del carbonio presente in
atmosfera si presenta nella forma radioattiva C14.
Questa si fissa nei viventi con una concentrazione iniziale di una
parte su 750 miliardi, cioè
1
9
3
9
(
)
10

(
1
.
33
*
10
)
*
10
 1.33 *10 12
N 0  750
I nuclei C14 decadono in atomi di azoto emettendo particelle beta.
Quindi gli esseri viventi (o che sono vissuti ) contengono una certa quantità
di nuclei radioattivi C14.
La concentrazione di C14 in un determinato reperto biologico segue
la legge:
N (t )  N 0 exp( k (t  t0 ))
ed è noto che il tempo di dimezzamento del C14 è dato da (in anni):
t 1  5570
2
Utilizzando questa informazione, si calcola la costante k per il carbonio C14:
k 
ln( 2)
t1

0.693

5570
1.24 *104
2
Conoscendo la concentrazione attuale N 
si ha allora :
ln( N 0 / N  )
t  t0 
k

N  N 0 exp( k (t  t0 ))
Se ad esempio fosse:

(tempo t) di C14 in un tessuto
N   10 12
ln( N 0 / N )  ln(
1.33*1012
1012
ln( 1.33)
t  t0 

k
)  ln( 1.33)
0.285 4
10 anni
1.24
 2300anni
LIVELLO DI GLUCOSIO
NEL SANGUE
Situazione : ad un paziente viene somministrato del glucosio
attraverso fleboclisi (R mg per secondo per litro di
sangue)
Il glucosio viene quindi metabolizzato con una
velocità proporzionale alla sua concentrazione.
x(t )
concentrazione di glucosio al tempo t
dx
 R  Kx(t )
dt
L’andamento di x al variare del tempo seguirà allora una legge del tipo:
R
R
x(t )   exp(  K (t  t0 ))  x0 exp(  K (t  t0 )) 
K
K
x0  x(t0 )
dx
 R  Kx(t )
dt

x
x0
t
dx
  dt
R  Kx t0
1
1
 log( R  Kx)  log( R  Kx0 )  t  t0
K
K
1
log( R  Kx0 )  log( R  Kx)  t  t0
K
R  Kx0
log(
)  K (t  t0 )
R  Kx
R  Kx
 exp( k (t  t0 ))
R  Kx 0
R  Kx0
 exp( k (t  t0 ))
R  Kx
R  Kx  ( R  kx0 ) exp( k (t  t0 ))
 Kx  ( R  kx0 ) exp( k (t  t0 ))  R
R
R
x(t )   exp(  K (t  t0 ))  x0 exp(  K (t  t0 )) 
K
K
Ponendo t0=0
R
x(t )  x0 exp(  Kt )  (1  exp(  Kt ))
K
t 
e dunque al tendere di
R
x(t ) 
K
x0*exp(-K*t)+(R/K)*(1-exp(-K*t))
12
glucosio mg/l
10
8
10.7143
R/K =
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
tempo
12
14
16
18
20
Problema:
Il paziente ha un livello iniziale di glucosio
Il medico vuole innalzare questo livello a
x0
xm  x0
Per quanto tempo è necessario tenere il paziente sotto flebo?
Possiamo utilizzare la precedente formula :
R
x(t )  x0 exp(  Kt )  (1  exp(  Kt ))
K
cercando il valore
R
exp(  Kt )xo 
K
t
*
tale che:
R
  xm 
K
x(t )  xm
*
xm  R / K
exp(  Kt ) 
x0  R / K
 Kt  log( xm  R / K )  log( x0  R / K )
log( x0  R / K )  log( xm  R / K )
t 
K
*
Problema:
Se il paziente viene sottoposto a infusione per un
tempo T, quanto tempo occorre per tornare al livello
iniziale?
Al tempo T si avrà:
R
x(T )  x0 exp(  KT )  (1  exp(  KT ))
K
Successivamente cessa la somministrazione di glucosio e quindi la
variazione di concentrazione seguirà la legge :
dx
  Kx(t )
dt
(si è posto R=0)
x(t )  c exp(  K (t  T ))
con
c  x(T )
valore iniziale al tempo T
Riassumendo:
x(t ) 
R
x0 exp(  KT )  (1  exp(  KT ))
K
0t T
x(T ) exp(  K (t  T ))
t T
Occorre ora trovare
cioè:
x (T )
t  T tale che:
x(t )  x0
x(T ) exp(  K (t  T ))  x0
è il valore misurato al tempo T , quindi è un valore noto
x0
exp( k (t  T )) 
x(T )
 k (t  T )  log( x0 )  log( x(T ))
1
t  T  log x(T )  log( x0 )
K
Volendo una formula che dipende solo da
K , R, x0
e non da x(T), basta sostituire il valore già calcolato
R
x(T )  x(esercizio)
(1  exp(  KT ))
0 exp(  KT ) 
ottenendo:
K
1
t
K


R
)  log(exp( KT )  1)
log( 1 
Kx0

