Adimensionalizzazione della soluzione per un processo diffusivo
nello spazio e introduzione alle fasi del mescolamento.
Diffusione 3D:
scarico puntuale istantaneo di una massa M in un dominio infinito
z
y
M x0 , y0 , z0 
C
 2C
 2C
 2C
 Dx 2  Dy 2  Dz 2
t
x
y
z
x
(anche non isotropa)
Soluzione con
separazione di variabili:
per ogni direzione
  x  x0 2 
1
Cx 
exp 

4 Dx t 
4Dx t

Condizione integrale:
  

 C dx dy dz  M
   
C  x, y , z , t   M  C x  x, t   C y  y , t   C z  z , t 


C y  ...

 C dx   C dy   C dz  1
x

y

1
z

1
1
Cz  ...
Diffusione 3D:
scarico puntuale istantaneo M in un dominio delimitato da pareti parallele
z
y
Lz
x
Lx
Ly
Soluzione con separazione di variabili:
C  x, y , z , t   M  C x  x, t   C y  y , t   C z  z , t 
per ogni direzione
1
Cx 
4Dxt
2
2









x

x

2
jL
x

x

2
jL


0
x
0
x
exp


exp

 




4 Dx t
4 Dx t
j   



 


Scala caratteristica del processo: dimensione del dominio
Adimensionalizzazione:
x* 
x
Lx
t* 
t
Tx
Lx
?
Diffusione 3D:
scarico puntuale istantaneo M in un dominio delimitato da pareti parallele
Cx 
1
DxTx

2
*
*

  Lx x  x0  2 j
exp 

*
*
T
D
4
t
4t j  

x
x
 

Scala “intrinseca” dei tempi
1
Cx 
Lx
2

L2x x*  x0*  2 j
4t *
 Tx Dx

L2x
Tx 
Dx
 
2

 

(è un processo diffusivo!)

*
*


x

x
1

0 2j
exp 

*
*
4
t
4t j  
 

   exp 


2


 x*  x*  2 j
0
  exp 
*
4
t


1 * * *
Cx  C x , t
Lx

 
2

 

Diffusione 3D:
scarico puntuale istantaneo M in un dominio delimitato da pareti parallele



   exp  
2


*
  0*  2 j
4 *
direzione spaziale lungo la quale
avviene il processo diffusivo
C *  * ,  * ;  0*

*
*

    0  2 j

exp 

*
*
4

4t j  

 
1
 
2

 

Soluzione
asintotica
 *  1
C*  1
es. *0=0.25
“tempo”
Diffusione 3D:
scarico puntuale istantaneo M in un dominio delimitato da pareti parallele
Soluzione:
C  x, y , z , t   M  C x  x, t   C y  y , t   C z  z , t 

1 * * *
Cx  C x , tx
Lx
per analogia:

x
x 
Lx
t 
*
x
*

1 * * *
Cy  C y , t y
Ly


Cz 
t
L2x Dx

1 * * *
C z , tz
Lz
 
 

M
C x, y, z, t  
 C * x* , t x*  C * y* , t *y  C * z * , t z*
Lx Ly Lz
Soluzione asintotica (per tempi grandi):
M
C
Lx Ly Lz

Diffusione 3D:
scarico puntuale istantaneo M in un dominio delimitato da pareti parallele
C x, y, z, t  

 
 

M
 C * x* , t x*  C * y* , t *y  C * z * , t z*  M  Cx  C y  Cz diff. 3D
Lx Ly Lz
Per un dominio con dimensione di diverso ordine di grandezza
Lx  Ly  Lz
Lz
z
y
Ly
Lx
x
FASI del mescolamento
per
L2z
t
Dz
t
*
z

1
C x, y, t  

 

M
M
 C * x* , t x*  C * y* , t *y  CxC y
Lx Ly Lz
Lz
diff. 2D
per
t
L2y
Dy
t
*
y

1


M
M
* * *
C x, t  
 C x , tx 
Cx
Lx Ly Lz
Ly Lz
diff. 1D