Università degli studi di Napoli “Federico II”
Facoltà di Ingegneria
TESI DI LAUREA
di DE ROSA NICOLA
Diffusione da superfici frattali :
Il metodo delle condizioni al contorno estese
1
SOMMARIO
Modello fBm
Geometria frattale
Modello WM
Diffusione da superfici frattali monodimensionali
Diffusione da superfici frattali bidimensionali
2
Geometria frattale
 Autoaffinità o autosimilarità: su differenti scale, i frattali
deterministici (merletto a trina di Von Koch, curva di Von
Koch, etc) saranno identici, mentre i frattali aleatori
presenteranno le stesse proprietà statistiche;
 Dimensione frattale: misura il grado di frastagliatura ed
irregolarità di un oggetto; è in generale un numero reale
positivo (ad esempio la dimensione della curva di Von
Koch è 1.2618).
3
Modello fBm (Fractional Brownian motion)
Un processo z(x,y) descrive una superficie fBm se per ogni
x, x’,y, y’, i suoi incrementi soddisfano tale relazione:


2
Prz x, y   z x, y     
exp   2 2 H
H 
2 s   2s 
1

d

dove:
• H:coefficiente di Hurst;
• D=3-H:dimensione frattale;
1 H 
s

T
•
;
• T :Topotesia.
4
Modello WM (Weierstrass-Mandelbrot)
 WM monodimensionale matematica: è una sovrapposizione di
infiniti toni sinusoidali;
Noi useremo una WM monodimensionale fisica, che si ottiene
troncando su M toni la WM matematica, ed è espressa dalla seguente
formula analitica:
M 1
z ( x)  a  Cn
n 0
 Hn
sin(  0 x  n )
n
 Cn , n tengono conto del comportamento in’ampiezza e fase
di ogni tono.
  0 è il numero d’onda della componente fondamentale;
  1 , irrazionale, è il passo della progressione geometrica con
cui sono spaziate le componenti spettrali;
a è un fattore di scala dell’altezza del profilo.
5
Diffusione da superfici frattali
monodimensionali
Dall’applicazione del teorema di equivalenza scaturiscono tali
equazioni:


 i r    dS  1 r nˆ  g1 r, r   g1 r, r nˆ   1 r  
S


z  z ' ( x' )
 1 r 
 
z  z ' ( x' )
0


ˆ
ˆ















d
S

r
n


g
r,
r

g
r,
r
n



r
2
2
2
S  2


z  z ' ( x' )
 0

z  z ' ( x' ).
  2 r 
6
in cui:
•  1 r , 2 r , i r  sono rispettivamente il campo totale nel
mezzo 1, nel mezzo 2 ed il campo incidente che è un’onda
piana polarizzata linearmente lungo l’asse y;
• g1 r, r, g 2 r, r sono le funzioni di Green rispettivamente
nel mezzo 1 e nel mezzo 2;
• condizioni al contorno:
 1 r    2 r 
nˆ   2 r    nˆ   1 r 
 2 , TE
 1

 2 , TM .
 1
7
Sfruttando la quasi-periodicità della funzione WM
Espansione in serie di Fourier generalizzata del campo
superficiale in termini di M indici q che variano tra -  e + 
dS  1 r   dx  exp  jkix x 


qi  
i  0 ,.., M 1
 ~

 N ,q exp   j q
 Nx  


dS  nˆ    1 r   dx k1 exp  jkix x 


qi  
i  0 ,.., M 1

~ Nx  
 D ,q exp   j q


~  q ,..., q  N~ = [ ,   ,,   M 1 ]
q

;
0
M 1 ,
0 0
0
 N ,q 
, D ,q sono i coefficienti della serie di Fourier.
+ calcolo
di integrali di tipo Neumann e Dirichlet
8
Espressione del campo diffuso e trasmesso in
termini di M indici l che variano tra -  e + 
 s (r ) 


 bl exp  jk 1l  r
li  
i  0 ,.., M 1

 2 (r ) 

b

l
li  
i  0 ,.., M 1

exp  jk 2 l  r

9


Le ampiezze bl , bl devono soddisfare tale sistema matriciale :
b   Q N 1   N  Q D1   D
 




a

Q



Q

N1
N
D1   D



0  Q N 2   N  Q D 2   D
b   Q      Q    
N2
N
D2
D

   Q  1Q   
N
N2
D2
D

 D  W11    a 
noto il campo incidente



W1    Q N1  Q N 2 Q D 2  Q D1
1
b   Q  Q  1Q   Q    
N1
N2
D2
D1
D
 
1
b  Q D 2  Q N 2 Q N 2 Q D 2   D

10

D 1, 2 ,ql
Q
Q

N 1, 2 ,ql
  1
  1
m l 
m l 
 1
 1
m q 
k1, 2 
m q 
k1, 2  zl
k 21, 2   k xl k xq
 N ,q 
k
2
1, 2  zl


~ M 1
exp  j l  φ  J ln  qn k1, 2  zl aCn  Hn


n 0


M 1
~
exp  j l  φ  J ln  qn k 1, 2 zl aC n  Hn


n 0
1
~  φ
 N ,q exp  jq
4
 D ,q  
j
 D ,q exp  jq~  φ 
4
11


 k 1l , k 2l devono soddisfare tali espressioni :
• k
ˆ  k 1, 2 zl zˆ ;
1, 2 l  k xl x
•
~
k xl  k (1, 2) xl  k ix  l  N  k1 sin 1l  k 2 sin 2l
k zl  k (1, 2)  k x2l
2
• kix  k sin i
Equazione del
reticolo
.
12
E’ possibile avere una soluzione numerica?
Sì, a patto che si tronchino le matrici e si
implementi di conseguenza un criterio che non
apporti significative degradazioni dei campi
 Si fissa l’ordine di interazione massimo dei campi: K max
 Si scelgono gli indici q ed l tali che:
M 1
M 1
i 0
i 0
 li  K max
 qi  K max
13
Efficienza del modello
Ragioni di carattere
energetico
Implementazione di
un criterio numerico-energetico
Considerazioni sui diagrammi
di irradiazione diffusi
Presentazione dei suddetti
diagrammi
14
Criterio energetico
Legge della conservazione dell’energia
Normalizzazione al
campo incidente
Potenza diffusa
Potenza trasmessa
Np
NT


2
1 

 2
 1
e 2
b
cos



b
cos



l
1
l
l
2
l

A cos i  l 1
l 1


1

2
, TE
 1  2 

r1

 r2

 
 r1

 r2




, TM
 2 1
1

2

15
Il criterio che imponiamo è:

 ek  ek 1  0.01,


 e  1  0.01,
Ci fornisce anche un criterio per fissare l’ordine di interazione
massimo K max a cui fermare il calcolo dei campi in gioco.
16
Presentazione dei risultati ottenuti
 Il mezzo 1 è lo spazio libero, mentre il mezzo 2 è un dielettrico
omogeneo con permittività  r ;
 I parametri usati sono:
 Faremo variare tali parametri mostrando varie situazioni di
interesse.
17
variare di  r la struttura del diagramma si conserva, e c’è
solo un cambiamento nell’ampiezza e nella potenza diffusa.
 Al
r  4
 r  16
 r  80
18
 H: agisce sui gruppi di modi, decrescendo il diagramma si
sparpaglia e la sua struttura si conserva.
H=0.3
H=0.7
H=0.9
19
 a: abbatte o incrementa tutti i toni, agisce sui modi di un
gruppo, cambiandone il rapporto e provocando la non
conservazione della struttura del diagramma d’irradiazione.
a=0.01
a=0.03
a=0.05
20
 L: un suo aumento provoca un restringimento del diagramma
che al limite tende a una delta di Dirac.
L=5
L=10
L=50
21
 i : provoca una traslazione del diagramma in corrispondenza
della direzione speculare.
i  0.01
i   6
i   2.1
22
Ma la soluzione numerica è affetta da
limiti di validità?
Sì, per superfici molto rugose nasce il problema del
mal-condizionamento delle matrici, la cui inversione
diventa delicata, le cui cause sono da ricercare:
nel parametro di rugosità nelle
funzioni di Bessel che è grande,
dal momento che k 1, 2  zl
è grande
nei modi evanescenti, legati al
calcolo delle correnti superficiali,
per cui le funzioni di Bessel
presentano un argomento
immaginario
23
Si può controllare il mal-condizionamento?
Sì, aumentando la precisione nei calcoli
tramite il comando SetPrecision di
Mathematica 5.0, dove per precisione si
intende il numero di cifre significative
con cui vengono svolti i calcoli
Si sposta il malcondizionamento
Aumentano i tempi
di calcolo
24
 Qualche
esempio
Parametri fissati: H=0.5, f=600 MHz, K max  3
+15.7%
Precisione 30
a=0.110
e=1.51667
10 minuti
Precisione 20
a=0.059
e=1.00082
9 minuti
+39%
?
Precisione 16
a=0.051
e=1.00025
2 minuti
?
Precisione 25
a=0.082
e=1.01194
9 minuti
25
Per precisione 30 il mal-condizionamento nasce prima, visto
l’elevato valore di e
ERRORE
Rosso: precisione 30
Blu: precisione 25
Il vero valore di a varia
tra 0.082 e 0.090,
accettando un errore su e
tra 1.2% e 2.63 % , in
circa 10 minuti
26
E se aumentassimo ulteriormente la precisione?
Precisione 100
a=0.41
e=273193
11 minuti
il mal-condizionamento nasce prima
Il vero valore di a varia tra
0.082 e 0.090, come per
precisione 30, ma in circa
11minuti
27
Diffusione da superfici frattali bidimensionali
Modello di superficie: WM bidimensionale fisica:
M 1

z x, y   a  C n  Hn sin  0 n x cos n  y sin  n    n

n 0
  n tiene in conto il comportamento in direzione di ogni tono.
Modello elettromagnetico:
funzione
di Green


E i (r)    j nˆ  H(r' )  G(r, r' )  nˆ  E(r' )    G(r, r' )dA 


A


campo
magnetico
E(r ) z  z ( x, y )

z  z ( x, y )
0
campo
elettrico
28
nˆ  E(r ' )  0
Caso c.e.p
ˆ H(r ' )
L’unica sorgente superficiale è n
che espandiamo in serie di Fourier generalizzata
in termini di M indici q che variano tra
- e +

 
nˆ  H(r' )  exp j k 1xx'k1 y y' 

qi  
i 0,, M 1
 ~

~
α q   j q N x x' q N y y ' 

 
~
~
M 1
M 1
 N x  [ 0 cos 0 ,,  0 cos M 1 ], N y  [ 0 sin  0 ,,  0 sin  M 1 ];
 α q è il vettore dei coefficienti di Fourier.
+ calcolo di integrale di tipo Dirichlet
29
Espressione del campo diffuso in termini
di M indici l che variano tra - e +
E S (r ) 

B

l
li  
i  0 ,, M 1
exp[ jk l  r ]
E’ un problema vettoriale:soluzione?
Proiezione delle equazioni sui tre assi cartesiani
Risoluzione di tre problemi scalari
30
Campo incidente: onda piana polarizzata lungo y
Componente del campo
diffuso lungo y:

ESy (r ) 


B
exp(
j
k
 yl
l  r)
li  
i  0 ,, M 1
Calcolo dei coefficienti in’ampiezza:
B yl  Q Dql A Gq


G
A'  Q Dql A q
AGq  (Q Dql ) 1  A'
 

 1
 B yl  Q Dql  (Q Dql )  A'
A'   A
31
Calcolo della corrispondente componente del campo totale
• A: matrice diagonale delle ampiezze del campo incidente;
• Q

Dql
 (1)
m(l )
(1)
m(q )
M 1
~
exp( j l  φ)   J ln qn (ak zl Cn  Hn );
n 0
•
•
 yq1 (l 1 )   yq1 (l Nb ) 


A Gq  

;
 yqN (l 1 )  yqN (l N )
b
b
b 



j
2
~ φ).
 (l ) 

(

k
k
)


(
1

k
)


(

k
k
)

exp(

j
q
qx
x y
qy
y
qz
y z
(2 )3 k z2l
G
yq
32
Come calcoliamo le altre due componenti del campo diffuso?
Allo stesso modo della componente lungo y, con
una differenza: in tal caso A '=0, per cui :
B (x , z ) l  Q Dql A G( x , z )q
  G
Q Dql A ( x , z )q  0
Calcolo delle corrispondenti componenti del campo totale
33
 Qualche
esempio numerico
 I parametri usati sono:
Realizzazione del
campo diffuso
 Riporteremo dei tagli del diagramma 3-D al variare dei parametri.
34
H: legato all’inviluppo del diagramma, ne provoca uno
sparpagliamento quanto piu’ è piccolo.
H=0.3
a=0.04
H=0.9
a=0.04
H=0.7
a=0.04
35
a: agendo su tutti i toni, provoca un cambiamento del rapporto
tra i modi di un gruppo.
a=0.01
a=0.03
a=0.05
36
CONCLUSIONI
 La geometria frattale ha dotato la ricerca sulla diffusione da
superfici naturali di uno strumento efficiente ed adeguato a
descrivere la complessità del mondo naturale;
 Il metodo EBCM con l’uso della WM ha permesso di trovare una
soluzione del campo diffuso come sovrapposizione modale, in linea
di principio valida per qualsiasi superficie:
• il limite di validità è dato dal mal-condizionamento delle
matrici per superfici molto rugose, che ha una sua ragione
fisica ed è quindi ineliminabile;
• è possibile controllarlo aumentando la precisione nell’inversione
delle matrici;
37
• è sufficiente fermarsi a precisione 30;
 Anche per il caso 2-D il campo diffuso è scritto come
sovrapposizione modale:
• il problema è vettoriale;
• proiettiamo le equazioni ottenute sui tre assi e risolviamo
problemi scalari;
 I risultati ottenuti in entrambi i casi sono il linea con le
aspettative teoriche.
38
FINE
PRESENTAZIONE
39
Approfondimento sulla geometria frattale
Parametri superficiali:
M=1
M=2
M=3
M=4
40
M=5
M=6
41
Approfondimento sulla generazione dei modi radiativi
Parametri superficiali:
K max  0
campo
campo
diffuso
diffuso
42
K max  1
K max  2
K max  3
campo
diffuso
campo
diffuso
campo
diffuso
43
Approfondimento del teorema di equivalenza
HH


Ei r    dS  E1 rnˆ  g1 r, r  g1 r, rnˆ  E1 r  E1 r 
S


Ei
Hi
i
Campo diffuso
diverso da zero
z
s
nˆ  H(r' )
r
^
n
r'
x
Campo diffuso + campo incidente=0
44
Campo diffuso nullo
z
s
r
^
n
r'
nˆ  H(r' )
x


ˆ
ˆ















d
S
E
r
n


g
r,
r

g
r,
r
n


E
r
2
2
2
S  2
  E2 r 

45