Campi
elettromagnetici
Docente:
Salvatore
Savasta
Anno acc. 2006/2007
Perchè studiare i campi
elettromagnetici ?
• Circuiti ad alta velocità – circuiti digitali ad
alta velocità e a microonde
• Antenne e comunicazioni senza fili
• Comunicazioni ottiche – Propagazione di luce
in fibra – optoelettronica e fotonica
• Macchine elettromeccaniche
• Interferenze elettromagnetiche e
compatibilità
Elettrostatica
F  q
i
q
qi
r  ri
4 0 r  ri
Principio di sovrapposizione
3
F
E  lim
q 0 q
Il campo elettrico è un campo vettoriale,
ovvero l'associazione di un vettore E(P) ad ogni
punto P dello spazio. Esso determina l'azione
della forza elettrica su una particella carica
eventualmente posta in quel punto.
 0  8.854 1012 (F/m) C2 /  N  m 2 
Elettrostatica
D  
F  qE
D   0E  P
P   0 eE
Per mezzi lineari ed isotropi
D   0 1  e  E   E
   D dV  Ñ
 D  dS    dV
V
Teorema di Gauss
S
V
 0  8.854 1012 F/m
Potenziale elettrostatico
E  r    V  r 
B
V  A  V  B    E  dr
A
Q
C
V

V  P    E  dr
P
Potenziale di un conduttore
condensatori
Q
C
V
E
ql
-q
2 r
q
Cavo coassiale
ql
b
V  A  V  B    E  dr  
dr 
ln  
2 r
2  a 
A
A
B
B
ql
C
2

l
b
ln  
a
Magnetostatica
0 dl  r
dB 
i 3
4 r
 H  J
F   dF   J  B dV   i  B dl
V
V
Legge di Ampere-Laplace
l


H

dS

H

dl

J

dS


Ñ



s
S
H
Teorema di Stokes
B
0
M
B   H   r 0 H
0  4 107 H/m
Prodotto vettoriale
a  b  n a b sin 
a  b  ab sin 
è perpendicolare al piano individuato dai due vettori
ha modulo uguale al prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il seno dell’angolo
convesso  da questi formato
ha come verso quello secondo il quale si deve disporre un osservatore con i piedi nel punto
O d’applicazione dei due vettori affinché possa veder ruotare il vettore in senso antiorario
dell’angolo  perché si sovrapponga al vettore (regola della mano destra).
a  b   a1i  a2 j  a3k    b1i  b2 j  b3k 
  a2b3  a3b2  i   a3b1  a1b3  j   a1b2  a2b1  k
i j  k
j k  i
k i  j
a  b i   ijk a j bk
 ijk  0 se i  j , i  k , j  k
123  1
 ijk   jik   kji   ikj
 231   312  123  1
132   213   321  1
rotore
r   x1 , x2 , x3 
 

 
  A r   
i
j
k    A1  r  i  A2  r  j  A3  r  k 
x2
x3 
 x1
 
  
  





A3  r  
A2  r   i  
A1  r  
A3  r   j  
A2  r  
A1  r   k
x3
x1
x2

 x2
  x3
  x1

Ak
 A  r  i    ijk
x j
jk
Legge di Faraday
B
E  
t


E

dS

E

dl


B

dS


Ñ
s

t S
Per campi statici l’integrale di linea è indipendendente dal cammino ed è uguale alla
differenza di potenziale tra due punti.In presenza di campi magnetici variabili ciò non è
più vero.
La forza elettromotrice indotta lungo un cammino chiuso (ad es. una spira) è pari alla
variazione di flusso attraverso il cammino (attraverso una qualunque superficie che si
appoggia al cammino) del campo magnetico
Induttanza
Ñ
 H  dl   J  dS
S
2 r
B

I
I b
S B  dS  l a 2 r dr  l 2 ln a  LI
L
 b

ln
l 2 a
b
I
La corrente di spostamento
D  
 B  0
B
E  
t
 H  J

J  
t
   H    J
=0
D
H  J 
t

    H     J    D
t
?
La corrente di spostamento
V  V0 sin t 
dV
Ic  C
 CV0 cos t 
dt
D
E
Jd 

t
t


Ñ
 H  dl  S J  dS  t S D  dS
V
E
d
I d  AJ d
A
Id   
 V0 cos t 
 d 
Equazioni di Maxwell
F  q E  v  B
D  
 B  0
B
E  
t
D
H  J 
t

J  
t
F     E  J  B  dV
V
Equazioni di Maxwell
forma integrale
Ñ
 D  dS    dV
S
V
Ñ
 J  dS  
S
Ñ
 B  dS  0
S

Ñ
 E  dl   t S B  dS

Ñ
 H  dl  S J  dS  t S D  dS

 dV

t V
Regime sinusoidale
cos t  Re e jt 
dI
1
L  RI   Idt  Vm cos t
dt
C
I  I m cos t   I   Re  I c e jt 
I c  I m e j I
 d  I c e jt 

1
jt
jt
Re  L
 RI c e   I c e dt   Vm Re e jt 
dt
C


LI c
d  e jt 
dt
 RI c e
jt
Ic
  e jt  dt  Vme jt
C

1 
 j L  R  jC  I c  Vm


Z
Vm
Ic 
Z
Vm jt 
I  Re  e 
Z

Regime sinusoidale
I  t   I m cos t  V  t   Vm cos t   
W  t   V  t  I  t   Vm I m cos t    cos t 
Vm I m
W t  
cos    cos  2t    
2
Una componente (quella in
) si
mantiene
sempre
positiva
e
rappresenta quindi potenza assorbita
dal bipolo (potenza attiva). L'altra
componente (quella in
) invece
oscilla attorno allo 0 e rappresenta
quindi potenza alternativamente
immagazzinata e ceduta dal bipolo
(potenza reattiva).
Vm I m
Vm I m
W t  
cos  1  cos 2t  
sin  sin 2t
2
2
1
W  t   Re Vc I c*  Vc I c e 2 jt 
2
1
Wc  Vc I c*
2
Z  R  jX
P
1
1
Re Vc I c*   R I c
2
2
Q
1
1
Im Vc I c*   X I c
2
2
W
2
2
Regime sinusoidale
  Dc  c
  Bc  0
 Ec   jBc
 Hc  J c  jDc
  t   Re  c e jt 
  t   Re   r  j i  e jt 
  r cos t  i sin t
Propagazione lungo z
 0
Onde piane
J 0
E  z, t 
 D  0
 B  0
B
H
E  
 
t
t
D
H 
t

H y

Ex
t
E y
z
H x

z
t
E
0 z
t
H x
Ez E y

 
y
z
t
H y
Ex Ez

 
z
x
t
Ex E y
H z

 
y
x
t
X
X
X X
 x  0
 y  0
Onde piane

z

t
H y
Ex
 
z
t
H y
E

 x
z
t
2 H y
 2 Ex
 
z 2
zt
2 H y
 2 Ex


t z
t 2
 2 Ex
 2 Ex
 
z 2
t 2
Ex  z, t   f1  t  z v   f 2  t  z v 
Ex  z , t   E0 cos   t  z v  
v
1

Onde piane e fasori
H y
Ex
 
z
t
H y
E

 x
z
t

dEx
  j H y
dz

dH y
dz
d 2 Ex
2



 Ex
2
dz
 j Ex
Ex  c1 e
 jkz
 c2 e
jkz
k   
Ex  z, t   Re  Ex e jt   Re c1 e  jkz e jt  c2 e jkz e jt 
  z 
  z 
Ex  z, t   c1 cos   t     c2 cos   t   
  v 
  v 
 c1 , c2 R 
Onde piane e fasori
1 dEx
1
 kc1e  jkz  kc2e jkz  
Hy  

j dz 

H y  z, t   Re  H y e  

jt

c1e  jkz  c2e jkz 


  z 
  z  
c1 cos   t     c2 cos   t    
  v 
  v  

L’equazione d’onda 3D
 D  0
 B  0
H
  E  
t
D
H 
t
2

H
2
 H   2  0
t
v
1


c
n
n   r r  n  jn

    E     H 
t
2

E
2
 E      E     2
t
2

E
2
 E   2  0
t
fasori
k    
n
c
2E  k 2E  0
2H  k 2H  0

  A  r    ijk
i
x j





Am  r  
  klm
xl


 kij klm   il jm   im jl
    A  r   
i
  kij  klm


xi

ijk klm
 
Am  r 
x j xl
 
 
Am  r    il jm   im jl 
Am  r 
x j xl
x j xl
 
  
Am  r    

 x

x
 m
  j
2

 Ai  r 

L’equazione d’onda 3D
E  E0 e jk r
 Ek E  0
2
2

H 
E 
iE
j

1
  E   jB
k ki
0    D   jk  D
1
H  iE




polarizazzione
k ki
Consideriamo il caso
2E  k 2E  0
i  zˆ
 2 Ex  k 2 Ex  0
2 E y  k 2 E y  0
E   xˆ E1  yˆ E2 e j  e  jkz
H
1

j
 jkz
ˆ
ˆ

x
E
e

y
E
e
 2
1
I differenti tipi di polarizzazione dipendono dalla fase e dalle ampiezze relative
polarizazzione
E   xˆ E1  yˆ E2 e j  e  jkz
 0
Polarizzazione lineare
Si ottiene un vettore campo elettrico lungo una direzione fissata Ovvero che
non cambia al variare di z
y
  tan

x
1
E2
E1
polarizazzione
circolare
 

2
E2  E1
E   xˆ E1  yˆ E2 e j  e  jkz
E   xˆ  j yˆ  E1e jkz
E  z , t   Re  xˆ  j yˆ e j  E1e jt e  jkz 
 E1  xˆ cos t  kz  m yˆ sin t  kz  
±
 
 

2

2
LHC
RHC
LHC
Circolare
polarizazzione
ellittica
E  z , t   Re  xˆ E1  yˆ E2 e j  e jt e  jkz 
  xˆ E1 cos t  kz   yˆ E2 sin t  kz    
Ex  z , t   E1 cos t  kz 
E y  z , t   E2 sin t  kz   
Ex  z , t   E1 cos  
E y  z , t   E2 sin   
Equazione parametrica dell’ellisse
polarizazzione
lineare
Circolare LH
ellittica
Parametri di Stokes
s0  a12  a22
s1  a12  a22
s2  2a1a2 cos
s3  2a1a2 sin
s1  s2  s3  s0
Potenziali vettore e scalare
 B  0
B   A
B
E  
t
A 

E 
0
t 

A
E
 
t
A
E
 
t
D
H  J 
t
D  
2A

   A   2   
  J
t
t


   A  
t

2
Potenziali vettore e scalare
2A

   A   2   
  J
t
t
 A  2 A     A 
A  A  


t

  A  
0
t
Condizione
di Lorentz
2

A
2
 A   2    J
t
2



2
    2  
t


   J
t
Potenziali vettore e scalare
campi armonici
In mezzi omogenei e isotropi:
 2 A   2  A    J s
s
      

2
2
  A  j   0
Condizione
di Lorentz
1

J
j
Regime sinusoidale
Densità di carica indotta
  D(r)   (r)  s (r)
Densità di carica sorgente
  Bc (r)  0
 Ec (r)   jBc (r)
 Hc (r)  jD(r)  J (r)  J s (r)
Densità di corrente indotta
Densità di corrente
sorgente
Relazioni costitutive
D   0E  P
D  
 B  0
momento di dipolo elettrico per
unità di volume
B
E  
t
D
H  J 
t
D  F E E
B  FH H
E
F
+
-F
p
-
funzionali ...ovvero funzioni di funzioni
P = p/V
Relazioni costitutive
t
D(r, t )   GE  r, r; t , t    E(r, t ) dr dt 
t
B(r, t )   GE  r, r; t , t    H(r, t ) dr dt 
Matrici
Mezzi isotropi
D(r, t )   GE  r, r; t , t   E(r, t ) dr dt 
B(r, t )   GE  r, r; t , t   H (r, t ) dr dt 
3 3
Relazioni costitutive
causalità
GE  r, r; t , t    0 per t  t0 
r  r
c
Mezzi spazialmente non dispersivi
GE  GE  r; t , t   (r  r)
Mezzi spazialmente e temporalmente
non dispersivi
GE  r; t , t     r, t   (t  t )
GH  r; t , t     r, t   (t  t )
Permettività o costante dielettrica
Permeabilità o ostante magnetica
Mezzi omogenei e stazionari
t
D(r, t )   GE  r  r; t  t    E(r, t ) dr dt 
t
B(r, t )   GH  r  r; t  t    H(r, t ) dr dt 
Mezzi stazionari e spazialmente non dispersivi
t
D(r, t )   GE  r; t  t    E(r, t ) dt 
t
B(r, t )   GH  r; t  t    H(r, t ) dt 
t
D(r,  )    r;    E(r,  )
t
B(r,  )    r;    H (r,  )

t
  r;     GE  r, t  exp   jt  dt
t

Relazioni costitutive
(Regime sinusoidale)
In un mezzo lineare e passivo D e B dipendono linearmente
da E ed H rispettivamente mediante parametri costitutivi.
Inoltre, se le relazioni costitutive non dipendono dalla
direzione di E ed H, il mezzo è detto isotropo.
D E
BH
 0  8.854 1012 farad/metro
t
BH
t
D E
 Dx  11 12 13   Ex 
 D   
 E 


23   y 
 y   21 22
 Dz   31  32  33   Ez 
0  4 107
c
1
0 0
henry/metro
; 3 108
m/s
= 299 792 458 m / s

r  ;
0
J  E

r 
0
Legge di Ohm
(mezzi lineari con perdite)
Relazioni costitutive
 H(r )  j E(r )   E(r )  J s (r )
 j c E(r )  J s (r )
 
tan  

c 

r    j
    j 
0 0
 0
D(r, t )   E(r, t )
B(r, t )   H (r, t )
D(r,  )   ( ) E(r,  )
Tangente
di perdita
n   r r  n  jn
Indice di rifrazione complesso
Mezzi non dispersivi
t
D(r, t ) 
  (t  t ') E(r, t ')

Il teorema di Poynting
B
  E  H   H   E  E   H 
E  
t
B
D
D
   E  H   H 
 EJ  E
H  J 
t
t
t
S  E H
  BH    DE 
   E  H   
 
  EJ
1
t  2  t  2 
W   E  E   H  H 
2

  S  W  E  J
t

S  da   WdV   E  J dV
    S dV  Ñ

t V
s
V
V
Flusso di potenza
entrante nel volume
Rate dell’incremento
di energia
elettromagnetica
nel volume
potenza dissipata
nel volume
Cariche in movimento
J  nqv
F  qE  m
dv
dt
2


d
v


m dv
1
V E  JdV  V q dt  nqv  dV  V n  2 m dt  dV


Onde piane
Ex  z, t   E0 cos   kz 

H y  z, t  
E0 cos   kz 

 2
S z  Ex H y 
E0 cos 2   kz 

 E02
Pz 
1  cos 2   kz  
 2
Teorema di Poynting
per fasori
  E   jB
   E  H*   H*     E   E     H* 
 H  J s  jD
   E  H*   H*    jB   E   J *  j D* 
1
S  E  H*
2
 ' 2
We  0 E
4
0  ' 2
Wm 
H
4
 0  2 0   2
L
E 
H
2
2

  
 0
Potenza reattiva
1
  S  E  J *s  2 j Wm  We   L
2
densità media
di energia
elettromagnetica
Immagazzinata
(per unità di volume)
1
  Re S   Re E  J *s   L
2
Potenza
attiva
1
  Im S   Im E  J *s   2 Wm  We 
2
Onde piane e fasori
Ex  c1e jkz  c2e jkz
Hy  
1 dEx
1
 kc1e  jkz  kc2e jkz  

j dz 

c1e  jkz  c2e jkz 


c1e  jkz  c2 jkz  c1*e  jkz  c2*e jkz  zˆ
E H 

*
1
Pav  Re  E  H*   c1c1*  c2 c2* 
2
 W/m 
2
Condizioni di continuità
n
Ñ
 E  dl   E
n
t2
 Et1  l   t  n    E 2  E1  l
 t  n   E 2  E1   l  0
t
2
B
S t  dS  0
1
Ñ
 D  dS   D
S
2
 D1   na
  dV   a
s
V
Ñ
 H  dl   H
t2
 H t1  l  t  n   H 2  H1   l
D 

S  J  t   dS  t  J s l
Condizioni di continuità
n   E2  E1   0
n   H2  H1   J s
n
 D2  D1   n  s
 B2  B1   n  0
2
1
Incidenza di un’onda piana
su un’interfaccia planare
TE
TM
2
z
Ht
Ht
x E
t
x
t
x
i r
Hi
xE
i
Et
Er
x
Hr
Hi
1
Hr
x
Ei
Er
k i  i xˆ  qi zˆ   i ,0, qi 
TE (s)
E
(i )
y
 Es e
k2  k0 n2
 i2  qi2  k12
 jk i r
 Es e
qi  k1 cos i
 j  i x  qi z 
i  k1 sin i
z
Ht
x E
t
t
x
i r
Hi
xE
i
k1  k0 n1
Er
x
Hr
E
(r )
y
E
(t )
y
 Rs Es e
 Ts Es e
 j  r x  qr z 
 j  t x  qt z 
Ey(i )  Ey( r )  Ey(t )
qr  k1 cos  r
 r  k1 sin  r
qt  k2 cos t
t  k2 sin t
in z  0
Ey(i )  Ey( r )  Ey(t )
exp   j i x   Rs exp   j r x   Ts exp   j t x 
in z  0
i   r  t
qt  k2 cos t
n

cos t  1   1 sin 2 i 
 n2

  E   jB
1 E y
Hx 
j z
n1 sin i  n1 sin r  n2 sin t
Legge di Snell
1  Rs  Ts
H x(i )  
H
(r )
x
qi
Es exp   jqi z  j i x   

Rs E y(i )

Z1
H x(t )  
Ts E y(i )
Z2
 n2  n1  sin t  sin i
Z1 
Z2 
1
qi
2
qt
 t  i 
E y(i )
Z1
H x(i )  
H x( r ) 
H
(t )
x
E y(i )
Z1

Rs E y( r )
Z1

Ts E y( r )
Z2

Es
exp   jqi z  j i x 
Z1
H x(i )  H x( r )  H x(t )
in z  0
1  Rs Ts

Z1
Z2
1  Rs  Ts
Rs Es
exp  jqi z  j i x 
Z1
TE
  s s exp  jqt z  j i x 
Z2
per   0
Z
0
q

Z 2  Z1
Rs 
Z 2  Z1
0
1
 c 0
n cos 
0 cos 
Rs 
n1 cos i  n2 cos t
n1 cos i  n2 cos t
Ts 
2n1 cos i
n1 cos i  n2 cos t
1  2  0
2Z 2
Ts 
Z 2  Z1
TM (p)
Ex(i )  Ep cosi exp   jk i  r   E0 cosi exp   jqi z  j i x 
Ex( r )  Rp E p cosi exp  jqr z  j i x 
Ex(t )  Tp E p cost exp   jqt z  j i x 
1 H y
Ex  
j z
Ex(i )  Ex( r )  Ex( t )
Ht
x
in z  0
Et
cos i  R p cos i  Tp cos t
Hi
Hr
x
Ei
Er
  H  j E
j Ex  
H y(i )
H y(i )  H y(i ) exp   jqi z  j i x 

H y(i )
z
z
 jqi H y(i )  j Ex(i )
H y( r )
Ex( r )

Z1
H y(t )
Ex(t )

Z2
z
  jqi H y(i ) exp   jqi z  j i x    jqi H y(i )
H y(i ) 
H y(i )  H y( r )  H y(t )
cos i  Rp cos i
Z1
H y


qi
Ex(i )
Ex(i )

Z1
in z  0
Tp cos t
Z2
Z
q

TM (p)
1  R  cos
p
i
 Tp cos t
cos i  Rp cos i
Z1

Z 2  Z1
Rp 
Z 2  Z1
2 Z 2 cos i
Tp 
Z 2  Z1 cos t
per
1  2  0
1 n2  cos t  1 n1  cos i

Rp 
1 n2  cos t  1 n1  cos i
Tp cos t
Z2
  0
0 cos 
1 cos 
Z




 0c n
q
2 n2  cos i

Tp 
1 n2  cos t  1 n1  cos i
n

cos t  1   1 sin 2 i 
 n2

Angolo di Brewster
Caso n2 > n1
1 n2  cos t  1 n1  cos i

Rp 
1 n2  cos t  1 n1  cos i
1 n2  cost  1 n1  cosi  0
0
2
n 
n
n
cos i  1 cos t  1 1   1  sin 2 i
n2
n2
 n2 
cos b  t   cosb cos t  sin b sin t  0
2 n2  cos b

Tp 
1 n2  cos t  1 n1  cos b

n1
n2
n2
tan b 
n1
0
b  t 

2
Riflessione totale
t  i
Caso n1 > n2
t
i
t
i
n

cos t  1   1 sin 2 i 
 n2

t 

2
sin  c 
n2
n1
Riflessione totale
i   c
E y(t )  Ts Es e
 j  t x  qt z 
 n1

2
qt  k2 cos t  1   sin i    jQt
 n2

 n1

2
Qt   sin i   1
 n2

Ey(t )  Ts Es exp   j t x  Qt z 