Numeri complessi
Numeri complessi
Numeri
complessi
Un numero complesso z, costituito da una parte reale ed una immaginaria, è scritto come:
z  x  jy, x, y  
Re[ z ]
j:
Forma
cartesiana
Im[ z ]
j 2  1
Z
y

O
y
z  x  jy
x
z *  x  jy
Z*
Complesso
coniugato
Numeri complessi
Numeri
complessi
z  zz * 
x  jy x  jy 
Modulo
 x 2  jxy  jxy  y 2  x 2  y 2
y
tg 
x
Fase
y
  arctg  2k , k  0 intero
x
y
x
y
arctg

x
y
arctg

x
arctg

2


2
se
x0
se
x0 e y0
se
x0 e y0
se
x0 e y0
se
x0 e y0
Numeri complessi
Numeri
complessi
y
jy
z  x  jy
z
x  z cos 

x
x
z *  x  jy
y  z sin 
z  z cos   j sin  
e j  cos   j sin 
Ricordando:
e j  e  j  2 cos 
e j  e  j  2 j sin 
e  j  cos   j sin 
e j  e  j
cos  
2
e j  e  j
sin  
2j
Forma
trigonometrica
Formule di
Eulero
Numeri complessi
Numeri
complessi
y
z
z  x  jy

z  z e j
x
Forma
esponenziale
z *  x  jy
z *  x  jy  z cos   j z sin 
 z e  j
z  z 
Forma
polare
Numeri complessi
Numeri
complessi
z 1 
1
1

 x  jy 
x  jy  x  jy  x  jy 

z
1

  z 1 
Reciproco
x  jy
x
y


j
x2  y 2 x2  y 2
x2  y 2
x2
x
2
y
2

 x
2
y2
2
y
2

2
x2  y 2
 2

2
x y
y
 2
y
x  y2
 arctg
 arctg
x
x
x2  y 2
1
x2  y 2