Sistemi del I° e del II° ordine Ing. Giuseppe Fedele Dip. Elettronica, Informatica e Sistemistica Università degli Studi della Calabria Email: [email protected] Tel : 0984-494720 Sistemi del I° ordine Considerando un ingresso causale e trasformando secondo Laplace l’equazione differenziale che modella il sistema con condizioni iniziali nulle, si ottiene la relazione tra le trasformate di Laplace dell’uscita forzata e dell’ingresso: Esempio: circuito RC Esempio: circuito RC Trasformando secondo Laplace l’equazione differenziale con condizioni iniziali nulle (v0=0, il condensatore è supposto inizialmente scarico) si ha: La funzione di trasferimento del sistema ha m=0 zeri e n=1 polo, il sistema è del primo ordine (infatti tale è l’ordine dell’equazione differenziale che lo descrive). Esempio: sistema meccanico quindi la risposta all’impulso vale Sistemi del I° ordine Calcoliamo ora la risposta al gradino del sistema. Sistemi del I° ordine Sistemi del I° ordine Sistemi del I° ordine 1 0.5s 1 p 1 G (s) 1.5 s 1 p G ( s) 1 2 0.5 1 0.667 1.5 Im -2 Re -0.667 Sistemi del I° ordine G (s) 1 0.5 s 1 p 1 2 0.5 Im 2 Re Sistemi del I° ordine Tempo di assestamento Tempo di assestamento Tempo di assestamento Tempo di assestamento Tempo di assestamento Errore alla risposta al gradino Mappa poli-zeri Risposta alla rampa Errore alla risposta alla rampa Sistemi del I° ordine td : tempo di ritardo – tempo necessario perché la risposta raggiunga il 50% del valore finale tr : tempo di salita – tempo necessario perché la risposta passi dal 10% al 90% del valore finale Sistemi del I° ordine Sistemi del II° ordine Sistemi del II° ordine Sistemi del II° ordine Sistemi del II° ordine Sistemi del II° ordine Sistemi del II° ordine p2 jd p1 jd Posizioni: n p1 p2 2 d 2 Re p1 n Pulsazione naturale Coefficiente di smorzamento (quantità positiva per poli con parte reale negativa) Re p1 n Re p1 n cos se se Re p1 0, Re p1 0, 2 2 , 0 cos 1 , - 1 cos 0 Sistemi del II° ordine Re p1 n Re p1 n cos n n cos cos 0 1 Per poli stabili. Sistemi del II° ordine n 2 G( s) 2 2 s 2n s n U ( s) E s y (t ) E Y (s ) G (s ) E 1 2 e n t 1 2 2 sin n 1 t arctg 0 1 Sistemi del II° ordine E 1 n 1 0 1 Sistemi del II° ordine y2 (t ) E y1 (t ) y(t ) y2 (t ) y1 (t ) E E 1 2 e nt E 1 2 e nt Sistemi del II° ordine y2 (t ) E Ee nt y1 (t ) E Ee nt Sistemi del II° ordine Verifica risposta al gradino Sistemi del II° ordine Verifica risposta al gradino Sistemi del II° ordine Sistemi del II° ordine Consideriamo come tempo di assestamento quello in cui gli esponenziali entrano nella fascia: 1 e nt 1 0.05 e nt 0.05 nt ln 0.05 n Fissato TA Poiché n Re p ln 0.05 3 TA TA Re p ln 0.05 TA Sistemi del II° ordine Sistemi del II° ordine A 1 n 1 2 1 2 arctg 1 2 E 1 senza perdere di generalità y (t ) 1 1 1 2 e n t 1 2 2 sin n 1 t arctg y(t ) 1 Ae nt sin t Sistemi del II° ordine y(t ) 1 Ae nt sin t d y(t ) An e nt sin t Ae nt cost 0 dt An e n t sin t cost 0 n An e nt sin t 1 2 cost 0 tgt 1 2 Sistemi del II° ordine tgt 1 2 t arctg 1 2 n n t n n 1 2 t n t n n 1 2 Istanti in cui si ha un massimo o un minimo. Sistemi del II° ordine t1 n 1 2 ymax 1 e S 100 e 1 2 1 2 Massima sovraelongazione Sistemi del II° ordine Sistemi del II° ordine Sistemi del II° ordine S 100 e 1 2 Sistemi del II° ordine y(t ) 1 Ae nt sin t Ae nt sin Tr 0 y(Tr ) 1 sin Tr 0 sin Tr 0 Tr k Tr k k arctg 1 2 n 1 2 Sistemi del II° ordine Tr k arctg 1 2 n 1 2
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