I NUMERI IMMAGINARI
2
X +1
2
X =
=0
-1
I numeri immaginari sono
un'estensione dei numeri
reali nata inizialmente per
consentire di trovare tutte
le soluzioni delle
equazioni polinomiali. Ad
esempio, l'equazione
X2 + 1 = 0
non ha soluzioni reali,
perché in questo insieme
non esistono numeri il cui
quadrato sia negativo.
1
L’unità immaginaria
(in matematica)
i  -1
i2 = -1
Si definisce:
i = unità immaginaria,
(è un nuovo numero!!)
è il numero che non
esisteva tra i numeri
REALI e che permette di
calcolare le radici
quadrate dei numeri
negativi!!
.
2
L’unità immaginaria
(in elettrotecnica)
j2
= -1
Si definisce:
j = unità immaginaria
j  -1
3
I NUMERI COMPLESSI
a = parte reale
b = coefficiente parte
immaginaria
( x = parte reale
y = coefficiente parte
immaginaria)
• a, b, x, y sono tutti
numeri reali!!
I numeri complessi sono
formati da due parti, una
parte reale
ed una
parte immaginaria,
e sono rappresentati dalla
seguente espressione:
a+jb
oppure
x+jy
4
RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA
NUMERI COMPLESSI
• diagramma di Argand – Gauss
• I due numeri
z ,z
Sono chiamati complessi
coniugati.
Cambia solo il segno della parte
immaginaria!!
5
DIAGRAMMA DI GAUSS
SIGNIFICATO DEI SIMBOLI
z = numero complesso
x = parte reale (ascissa di z)
y = parte immaginaria
(ordinata di z)
r =z = modulo di z (è la
lunghezza del vettore che
parte dall’origine e arriva a
z)
  angolo formato tra il
vettore “r” e il verso positivo
delle ascisse (è chiamato
“fase” o “argomento”)
6
RELAZIONI TRA I SIMBOLI DI UN NUMERO COMPLESSO
x = r cos ()
y = r sen ()
r2 = x2 + y 2
r  x y
2
2
y r  sen ( ) sen ( )


 tg ( )
x
r  cos(  ) cos(  )
y
  arctg ( )
x
7
ESEMPI DI CALCOLO
Passaggio da numero complesso
a modulo e fase
z = x + jy = 3 + j 4
Modulo:
r2 = x2 + y2 = 9 + 16 =25
r=5
Fase:
 = arctg (y/x)
 = arctg (4/3) = arctg(1,25)
 = 51,34 °
8
ESEMPI DI CALCOLO
Passaggio da numero complesso a
modulo e fase (complesso coniugato)
z = x - jy = 3 - j 4
Modulo:
r2 = x2 + y2 = (3)2 +(- 4)2 =25;
r=5
Fase:  = arctg (y/x)
 = arctg (- 4/3) = arctg(- 1,25)
 = - 51,34 °
Nota: cambia solo la fase
9
ESEMPI DI CALCOLO: 2° quadrante
z = - 3 + j 10
Im
z
Modulo:
r2 = x2 + y2 = (-3)2 + (10)2
r2 = 9 + 100 = 109
r = 10,44
Fase:  = arctg (y/x)
+ j 10
r

-
Re
-3
 = arctg [10/(- 3)] = arctg(- 3,33)
 = - 73,28°
 = 180° -    = 180° - 73,28°
 = 106,72°

10
ESEMPI DI CALCOLO : 4° quadrante
z = 3 - j 10
Im
Modulo:
3
Re

r
- j 10
z
r2 = x2 + y2 = (3)2 + (-10)2
r2 = 9 + 100 = 109
r = 10,44
Fase:  = arctg (y/x)
 = arctg [(-10)/ 3] = arctg(- 3,33)
 = - 73,28°
Nota: negli ultimi due esempi
cambia solo la fase ( si
calcola sempre con il verso
positivo dell’asse reale)
11
ESEMPI DI CALCOLO : 3° quadrante
Im
z = - 3 - j 10

Modulo:
-3
Re

r
- j 10
r2 = x2 + y2 = (-3)2 + (-10)2
r2 = 9 + 100 = 109
r = 10,44
Fase:  = arctg (y/x)
 = arctg [(-10)/(- 3)] = arctg( 3,33)
 = 73,28°
 = - (180° -   )
 = - 180° + 73,28° = - 106,72°
z
12
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
SOMMA
z1 = x1+jy1
z2 = x2+jy2
z1+ z2 = (x1+jy1)+(x2+jy2)
z1+ z2 =(x1+x2) + j(y1+y2)
Per effettuare la somma
di due numeri
complessi, come z1 e
z2, si sommano tra
loro le parti reali
(x1+x2) e le parti
immaginarie (y1+y2)
13
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
significato geometrico della somma
y
z1+z2
y1+y2
y1
z1
y2
z2
x1
x2
x1+x2
x
14
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
DIFFERENZA
z1 = x1+jy1
z2 = x2+jy2
z1- z2 = (x1+jy1)-(x2+jy2)
z1- z2 =(x1-x2) + j(y1-y2)
Per effettuare la
differenza di due
numeri complessi,
come z1 e z2, si
sottraggono tra loro le
parti reali (x1-x2) e le
parti immaginarie (y1-y2)
15
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
significato geometrico della differenza
y
z1- z2
x1 - x2
y1- y2
z1
z2
x
16
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
Esercizi
SOMMA
DIFFERENZA
z1 = x1+jy1= 2 + j 5
z2 = x2+jy2= 8 + j 2
z1+ z2 =(x1+x2) + j(y1+y2)
z1+ z2 =(2+8)+j(5+2)
z1 = x1+jy1= 2 + j 5
z2 = x2+jy2= 8 + j 2
z1- z2 =(x1-x2) + j(y1-y2)
z1- z2 =(2-8) + j(5-2)
z1+ z2 = 10+j7
z1- z2 = - 6 + j3
17
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
grafici degli esercizi precedenti
SOMMA
y
z1+z2
j7
j5
z1
j2
z2
2
8
10
x
18
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
grafici degli esercizi precedenti
DIFFERENZA
Im
j5
z 1- z 2
z1
j3
j2
z2
Re
-6
2
8
- z2
19
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
PRODOTTO
z1 = x1+jy1;
z2 = x2+jy2
z1 * z2 = ( x1 + jy1 ) * ( x2 + jy2 )
z1 * z2 = (x1*x2 + x1*jy2 + jy1*x2 + jy1*jy2)
z1 * z2 = (x1*x2 + x1*jy2 + jy1*x2 + j2 y1*y2)
z1 * z2 = (x1*x2 + x1*jy2 + jy1*x2 + (-1)* y1*y2)
Continua /….
20
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
PRODOTTO
z1 * z2 = (x1*x2 + x1*jy2 + jy1*x2 - y1*y2)
z1 * z2 = (x1*x2 - y1*y2) + j (x1*y2 +y1*x2)
Parte reale
Parte immaginaria
Esempio:
z1 = x1+ j y1 = -3+j4;
z 2 = x 2 + j y2 = 5 – j 7
z1 * z2 = (-3+j4)*(5 – j 7) =
=(-3)*5+(-3)*(- j7)+j4*5+j4*(-j7)= -15+j21+j20+28=
= -15+28+j(21+20)=13+j41
21
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
DIVISIONE O FRAZIONE
Il risultato della divisione tra due numeri
complessi è un altro numero complesso,
quindi con una parte reale ed una
immaginaria.
Per ottenere questo risultato occorre
effettuare una operazione chiamata
“razionalizzazione”.
22
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
DIVISIONE O FRAZIONE
z1 = x1+jy1;
z2 = x2+jy2
L’operazione di razionalizzazione consiste nel
moltiplicare e dividere per una stessa quantità la
frazione da calcolare. Tale quantità è uguale al
denominatore della frazione con il segno della
parte immaginaria cambiata
z1 x1  j y1 x1  j y1 x 2  j y 2



z2 x2 j y2 x2 j y2 x2 j y2
23
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
DIVISIONE O FRAZIONE
z1 x1  j y1 x1  j y1 x 2  j y 2



z2 x2 j y2 x2 j y2 x2 j y2
z 1 x 1  j y 1 (x 1  j y 1)  (x 2  j y 2)


z 2 x 2  j y 2 (x 2  j y 2)  (x 2  j y 2)

x 1  x 2  x 1  ( j y 2)  j y 1  x 2  j y 1  ( j y 2)]
z1

z 2 [x 2  x 2  x 2  ( j y 2)  j y 2  x 2  j y 2  ( j y 2)]
24
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
DIVISIONE O FRAZIONE
z 1 x 1  x 2  y 1  y 2  j (y 1  x 2  x 1  y 2)]

(x 2  x 2  y 2  y 2)
z2
z 1 (x 1  x 2  y 1  y 2)  j (y 1  x 2  x 1  y 2)

2
2
y
(x 2  2 )
z2
(y 1  x 2  x 1  y 2)
z 1 (x 1  x 2  y 1  y 2)

j
2
2
2
2
y
y
(x 2  2 )
(x 2  2 )
z2
Parte reale
Parte immaginaria
25
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
ESERCIZI
DIVISIONE O FRAZIONE
z 1  3  j 5;
z 2  4  j 2;
3 j5
(3  j 5) ( 4  j 2)
z1



z 2  4  j 2 ( 4  j 2) ( 4  j 2)
z 1 3  ( 4)  3  (  j 2)  (  j 5)  ( 4)  (  j 5)  (  j 2)

16  4
z2
 6  20
z 1  12  j 6  j 20  10  12  10


j
20
20
20
z2
14  11
7
z 1  22

j

j
20
20
10
10
z2
26
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
ESERCIZIO
IMPORTANTE !!!!!
z1  1
z2  j
z1 1

z2 j
j
j
j
z1 1 1  j
  


 j
2 
j  j ( j )  ( j )  j
 ( 1)
z2 j
da
ricordare! ! !
1  j
j
27