Svolgimento della prova scritta del 1 Marzo 2010 A.
Esercizio 1.
Tracciare il graco delle seguenti funzioni:
1
a. f (x) = 1 + ;
x
1
x2
c. f (x) = ln(x − 1) + 3;
b. f (x) = 1 −
2
d. f (x) = 1 − e−x .
Svolgimento:
Per tracciare i graci usiamo le proprietà di traslazione di funzioni. Consideriamo la funzione (a):
f (x) = 1 +
è noto che il graco della funzione
1
x
1
x
è:
La funzione f (x) = 1 + x1 è una traslazione verticale di x1 , il suo graco è:
1
Consideriamo la funzione (b):
f (x) = 1 −
è noto che il graco della funzione
1
x2
1
x2
è:
con un ribaltamento si ottiene il graco di − x12 :
2
La funzione f (x) = 1 − x12 è una traslazione verticale di − x12 ed il suo graco
è:
Consideriamo la funzione (c):
f (x) = ln(x − 1) + 3
3
è noto che il graco della funzione ln(x) è:
la funzione ln(x − 1) è una traslazione orizzonatale di ln(x) ed il suo graco
è:
la funzione f (x) = ln(x−1)+3 è inne una traslazione verticale della funzione
ln(x − 1) ed il suo graco è:
4
Consideriamo la funzione (d):
f (x) = 1 − e−x
2
il graco di e−x è:
2
con un ribaltamento otteniamo il graco della funzione −e−x :
2
5
la funzione f (x) = 1 − e−x è una traslazione verticale di −e−x ed il suo
graco è:
2
2
Esercizio 2.
In un unico diagramma cartesiano tracciare il graco delle seguenti funzioni:
(a) f (x) = cos x;
x
1
(b) f (x) = cos ; (c)f (x) = cos x.
2
2
Svolgimento:
Si ha:
6
Esercizio 3.
Calcolare la derivata della funzione f (x) = (1 + x2 )1/3 .
Svolgimento:
Dalla regola di derivazione delle funzioni composte segue che:
1
2
d
(1 + x2 ) = 13 (1 + x2 )− 3 (2x) =
f 0 (x) = 31 (1 + x2 ) 3 −1 dx
1
= 32 x 12 2 = 23 √
.
3
2 2
(1+x ) 3
(1+x )
Esercizio 4.
Fornire esempi di proposizioni (i) e (ii) tali che: (a) vale (i) ⇒ (ii) ma non
vale (i) ⇐ (ii); (b) vale (i) ⇔ (ii).
Svolgimento:
(a)
(i): se un numero è maggiore di zero ⇒ (ii): il suo quadrato è maggiore di
zero.
x > 0 ⇒ x2 > 0
Non vale l'implicazione contraria, infatti ad esempio: (−1)2 > 0 ma (−1) < 0.
(b)
(i): un numero è pari ⇐⇒ (ii): è divisibile per 2.
Esercizio 5.
Fornire un esempio di utilizzo della Regola dell'e.
Svolgimento:
La Regola dell'e o Regola del prodotto dice che la probabilità che si
verichino due eventi indipendenti in successione o contemporaneamente è
data dal prodotto delle probabilità dei singoli eventi.
Un esempio è il seguente:
supponiamo di eettuare tre lanci ripetuti di una moneta e calcoliamo la
7
probabilità dell'evento E dato da:
E = esce tre volte testa.
La probabilità dell'uscita di testa è P (T ) = 21 ad ogni lancio, per 3 lanci
avremo: P (E) = P (T eT eT ) = P (T ) · P (T ) · P (T ) = 21 · 12 · 12 = 18 .
Esercizio 6.
La numerosità N (t) ha crescita Malthusiana. Sapendo che N (0) = 108 e
N (2) = 108 e4 , determinare la legge N . Rappresentare N gracamente.
Svolgimento:
sapendo che la crescita è Malthusiana allora per denizione si ha che:
N (t) = N0 eAt
L'esercizio consiste allora nel determinare le costanti N0 ed A.
Dai dati: N (0) = 108 e N (2) = 108 e4 , si ricava che N (t) = 108 e2t infatti
N (0) = 108 e0 = 108 e N (2) = 108 e2·2 = 108 e4 , dunque N0 = 108 ed A = 2.
Gracamente si ha:
Esercizio 7.
La variabile casuale X ha distribuzione binomiale di parametri (n, p). Sapendo che E(X) = 5/4 e D2 (X) = 15/16, determinare n e p.
Svolgimento:
Per una variabile casuale X con distribuzione binomiale di paramenti (n, p)
8
si ha che:
E(X) = np
D2 (X) = np(1 − p)
Nel nostro caso si ha:
np =
5
4
np(1 − p) =
15
16
Sostituendo la prima relazione nella seconda si ha:
5
15
15 4
3
1
(1 − p) =
⇒1−p=
· = ⇒p= .
4
16
16 5
4
4
Sostituendo il valore di p trovato, detrminiamo n:
np =
1
5
5
5
⇒ n · = ⇒ n = · 4 ⇒ n = 5.
4
4
4
4
Esercizio 8.
Calcolare:
1
Z
0
1
dx
1 + x2
π
2
Z
sin(x)dx.
0
Svolgimento:
R1
1
dx
0 1+x2
Rπ
= [arctg(x)]10 = arctg(1) − arctg(0) =
π
2
π
4
− 0 = π4 .
sin(x)dx = [− cos(x)]0 = − cos( π2 ) + cos(0) = 0 + 1 = 1.
Per calcolare arctg(1) oppure arctg(0) basta fare i seguenti passaggi:
si pone arctg(1) = x, da cui:
2
0
tg(arctg(1)) = tg(x)
tangente ed arcotangente sono una l'inverso dell'altra e la loro composizione
è la funzione identica, quindi si ottiene:
1 = tg(x)
9
dopo di che si cerca quell'angolo x ∈
esso è π4 .
−π π
,
2 2
la cui tangente è uguale ad 1,
Esercizio 9.
Una popolazione occupa la regione del piano delimitata dall'equazione:
(x − 1)2 + y 2 = 9. Rappresentare gracamente tale regione.
Svolgimento:
L'equazione:
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2
è l'equazione di una circonferenza con centro il punto di coordinate (x0 , y0 )
e raggio r. Nel nostro caso allora il centro è dato da (1, 0) ed il raggio è 3.
Rappresentiamo gracamente:
10