Wassily Leontief
1905-1999
Wassily Leontief nacque il 5 agosto
1905 a S.Pietroburgo. Fu uno studente
molto brillante, fu ammesso alla
Università della sua città (rinominata
Leningrado) a soli 15 anni.
Ebbe non pochi “guai” per la sua aperta
opposizione alla mancanza di di libertà
intellettuale che riscontrava nel regime
comunista.
Fu arrestato diverse volte. In seguito si
trasferì negli Stati Uniti all’Università
di Harvard.
Wassily Leontief
in 1983
1
Wassily Leontief
A Harvard, sviluppo la teoria e I metodi della Input-Output
analysis. Questo lavoro gli valse il premio Nobel per
l’Economia nel 1973.
Il comitato del premio Nobel affermò che “Il suo metodo
analitico è diventato una compenente permanente dei processi
di pianificazione e previsione della produzione nelle economie
industrializzate e nelle imprese private di tutto il mondo.”
Wassily Leontief se ne è andato il 6 febbraio del 1999.
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Il punto di partenza
Il problema a cui risponde l’analisi input-output può essere
formulato in questo modo:
Consideriamo un sistema economico composto da diversi
settori produttivi. Ciascun settore chiede prodotti ad altri settori
per generare il suo prodotto (domanda intermedia).
Naturalmente, in ultima istanza, la produzione è finalizzata a
soddisfare una domanda esterna al sistema produttivo
(domanda finale).
Il problema è: quale livello di produzione è necessario per
soddisfare ambedue le domande?
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Un esempio con due soli settori
NB. Non ci servono i prezzi
Consideriamo un sistema costituito da due soli settori (grano ed energia)
Questi due settori dipendono l’uno dall’altro, supponiamo che:
1. Ciascun kg di grano venga prodotto impiegando 0,40 Kg di grano (ad es. Le
sementi) e 0,20 Kw di energia.
2. Ciascun Kw di energia richieda 0,20 kg di grano (energia verde?) e 0,10 Kw di
energia.
Chiameremo la somma di questi flussi interni ai settori “domanda intermedia”.
Supponiamo, inoltre che via sia una domanda finale di 12,000,000 Kg di grano e di
9,000,000 di Kw di energia.
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Esempio in notazione algebricomatriciale:
Sia x la produzione totale
(incognita) di grano (GRA)e y
quella dell’energia (ENG), (in
milioni). Allora
Ma la produzione totale deve
soddisfare anche la domanda
finale di 12 e 9 milioni. Quindi
le equazioni complete saranno:
GRA
0.4x + 0.2y
ENG
0.2x + 0.1y
Rappresentano l’ammontare
della domanda intermedia
generata da GRA ed ENG.
x = 0.4x + 0.2y + 12
y = 0.2x + 0.1y + 9
In forma matriciale:
 x  0.4 0.2  x  12
 y   0.2 0.1  y    9 
  
   
5
Esempio:
La matrice dei fabbisogni
la tecnologia di produzione(M )
0.4 0.2 
0.2 0.1 


GRA
GRA
Input di GRA
necessario per
produrre 1 kg di
GRA
ENG
Input di GRA
necessario per
produrre 1 Kw di
ENG
=M
ENG
Input di ENG
necessario per
produrre 1 Kg di
GRA
Input di ENG
necessario per
produrre 1 Kg di
ENG
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Esempio: Soluzione del sistema
Q
A
Q
D
 x  0.4 0.2  x  12 
 y   0.2 0.1  y    9 
  
   
Soluzione:
Q = AQ+D
Q – AQ = D
IQ – AQ = D
(I – A)Q = D
Q=(I-A)-1 D
Se esiste l’inversa di (I – A)
7
Esempio: Soluzione numerica
Calcoliamo
Passo 1: (I – A):
Q=(I-A)-1 D
1 0 0.4 0.2  0.6 0.2
0 1   0.2 0.1   0.2 0.9 

 
 

Passo2 :l ’inversa di (I – A) è:
1.8 .4 
 .4 1.2 


8
Soluzione numerica
(continua)
Passo 3: moltiplichiamo l’inversa (I – A)-1 per il vettore della
domanda finale :
1.8 .4  12   25.2 
 .4 1.2   9   15.6 


  
Per soddisfare una domanda finale di 12 milioni di Kg di grano e di
9 milioni di Kw di energia è necessario produrre in totale
25.2 milioni di Kg di grano e 15.6 milioni di Kw di energia.
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Esempio: un altro modo per
giungere allo stesso risultato
Per una domanda finale di 1€ di GRA e 1€ di ENG è necessario:
a)
Produrre (almeno) 1 GRA e 1 ENG (cioè una matrice identità I)
b)
POI occorre produrre gli GRA e ENG necessari a produrre I CIOE’ quello previsto
nella matrice A IxA=A
c)
Poi occorre produrre gli GRA ed ENG necessari a produrre A GRA ed ENG, cioè
AxA = A2
d)
Poi occorre produrre gli GRA ed ENG necessari a produrre A2 GRA ed ENG, cioè
(AxA)xA = A3
e)
Etc. etc ………..
In simboli PT = I + A + A2 + A3 + ……………….
Se ogni elemento di A è ≤ 1 la successione converge
a
(I-A)-1
VOILA’! Il gioco è fatto, C.V.D.
la soluzione è la successione dei “round” produttivi necessari
10
Che fine hanno fatto I fattori
primari? Non si lavora???
Ovviamente ci tocca lavorare !
supponiamo che:
1. Ciascun kg di grano venga prodotto impiegando 10 ore di lavoro
2. Ciascun Kw di energia richieda 2 ore di lavoro
Ciò che possiamo dire (a posteriori) è che :
25.2 milioni di Kg di grano hanno richiesto 25.2 x 10 = 252 milioni di ore lavoro
15.6 milioni di Kw di energia hanno richiesto 15,6 x 2 = 31.2 milioni di ore lavoro
11
La matrice dei flussi sarà
(in milioni)
GRA ENG D
PT
GRA (kg) 10,1 3,1 12,0 25,2
ENG (Kw) 5,0 1,6 9,0 15,6
LAV (ore) 252,0 31,2
12
Un altro esempio
Supponiamo che la domanda finale di GRA passi da 12 a 8
milioni e che quella di ENG passi da 9 a 5 milioni. Quale effetto
avrà questa riduzione di domanda sulla produzione?
Soluzione: Ricordiamo che :
Q=(I-A)-1 D
Quindi basterà moltiplicare l’inversa per il nuovo vettore di
domanda finale.
13
Numericamente
Q=(I-A)-1 D
1.8 .4  8 16.4 
 .4 1.2     


 5  9.2 
I “nuovi” livelli di produzioni sono 16,4 Kg di GRA e 9,2 Kw di ENG
la produzione di GRA diminuirà del (16,4-25,2)/25,2 = - 35%
la produzione di ENG diminuirà del ( 9,2-15,6)/15,6 = - 41%
In seguito ad una diminuzione di
-33% della domanda finale di GRA e di -44% di ENG
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Che succede alle ore di lavoro?
Il conto è facile
(ovviamente in % la diminuzione è la stessa prevista per la produzione totale):
16,4 milioni di Kg di grano richiederanno 164 milioni di ore
9.2 milioni di Kw di energia richiederanno 18,4 milioni di ore
(- 35%)
(-41%)
Cosa succederà “davvero” al fattore lavoro dipende però da alcune ipotesi. La
previsione sarà corretta se assumiamo (almeno)
• L’ipotesi di economie di scala costanti
• La totale flessibilità del fattore lavoro (sia in riduzione che in espansione)
Mmmhhhhh …….
la questione si fa complicata
Naturalmente il quadro si complica anora di più se introduciamo altri fattori
primari…….
15
Una tavola generale:
I flussi
SETTORI
di vendita
1
…..
n
……. q1n
CI
Sj q1j
D
D1
Q
Q1
q21
q22
……. q2n
Sj q2j
D2
Q2
1
……. qnj
……. qnn
Sj qnj
L1
L2
……. Lj
……. Ln
Dn
…
…
qn2
Qi
…
…
…
…
…
…
qn1
Di
…
Sj qij
…
……. qin
…
…
……. qij
…
…
qi2
……. q2j
…
…
qi1
…
Ore lavoro
q12
di acquisto
2
….
J
q12 ……. q1j
…
2
….
J
…..
n
Totale
Produz
domanda Domanda ione
intermedia finale
totale
Qn
16
Una tavola generale:
I coefficienti
SETTORI
di vendita
1
a12
di acquisto
2 …. J ….. n
a12 ……. a1j ……. a1n
2
….
a21
…
ai1
…
an1
a22
…
ai2
…
an2
J
…..
n
1
…….
…
…….
…
…….
a2j
…
aij
…
anj
…….
…
…….
…
…….
a2n
…
ain
…
ann
17
destinazione
origine
1
Domanda
Produzion
e totale
2 Finale
1 (p)
150
500
350
1000
(m)
20
80
40
140
2 (p)
200
100
1700
2000
(m)
30
20
150
200
Valore aggiunto
600
1300
R.l.d.
400
700
Altri
200
600
Produzione
1000
2000
Importazioni
140
200
Disponibilità
1140
2200
Coefficienti tecnici produzione
interna
A
1
2
1
0,15
0,25
2
0,2
0,05
I-A
0,85
-0,25
-0,2
0,95
(I-a)-1
1,254
0,330
0,264
1,122
Attivazione
impressa
Somma
colonna
Branca 1
1,518
Branca 2
1,452
Attivazione
ricevuta
Somma
riga
Branca 1
1,584
Branca 2
1,386