Topologia di R
R*  R  
Intervallo aperto
a;b
a
Intervallo 
chiuso
b
a;b


Intervallo illimitatosuperiormente a;

Intervallo illimitato inferiormente ;b

1
Sottoinsiemi di R
ER
FINITO quando è diverso dall’insieme vuoto e se ne possono contare i suoi elementi
LIMITATO SUPERIORMENTE quando ammette almeno un numero reale che risulta
essere un suo maggiorante

LIMITATO INFERIORMENTE quando ammette almeno un numero reale che risulta
essere un suo minorante
x  E  x  s
ESTREMO SUPERIORE DI E: s  R / 
  0 x  E / x  s  
s  sup E
x  E  x  i

i  R / 
  0 x  E / x  i  
i  inf E
ESTREMO INFERIORE DI E:

E ILLIMITATO SUPERIORMENTE

 sup E  

2
RELAZIONI TRA PUNTO E INSIEME
INTORNO DI UN PUNTO
sinistro
c
c  ;c


destro
c;c  
c   ;c  

PROPRIETA’
L’intersezione di due
o più intorni di un punto c è ancora un intorno.
Per ogni coppia di punti distinti a e b esistono un intorno di a e un intorno di b
disgiunti.
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RISPETTO AD UN INSIEME
E  R UN PUNTO c si dice:
INTERNO AD E se esiste un intorno di c interamente costituito da punti che
appartengono ad E
ESTERNO AD E se esiste un intorno di c che non contiene alcun punto di E

DI FRONTIERA PER E se non è interno ne esterno ad E, ovvero se, in qualsiasi
intorno di c, cadono almeno un punto di E e almeno un punto del complementare di
E
DI ACCUMULAZIONE PER E quando in ogni intorno di c cade almeno un punto di E,
distino da c
ISOLATO PER E quando appartiene ad E senza essere di accumulazione per E, cioè
se esiste un intorno di c nel quale l’unico punto di E è c
E  1;3  4,5 7;
1


3
4
5

7
4
UN INSIEME
ER
si dice:
APERTO se non contiene punti di frontiera.
Un insieme è aperto se e solo se tutti i suoi eventuali punti sono interni.
CHIUSO se contiene tutta la propria frontiera.
Un insieme è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi eventuali punti di
accumulazione
OSSERVAZIONI
Gli insiemi privi di punti di accumulazione sono chiusi. In particolare tutti gli insiemi
finiti sono chiusi.
Un insieme non chiuso ammette almeno un punto di accumulazione che non gli
appartiene.
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