Liceo Classico Statale “Vittorio Emanuele II”
“Matematica…in analisi”
Topologia reale
Prof. E. Modica
Cos’è la topologia
La topologia o studio dei luoghi (dal greco
τοπος, luogo, e λογος, studio) è una delle più
importanti branche della matematica moderna. Si
caratterizza come lo studio delle proprietà
delle figure e delle forme che non cambiano quando
viene effettuata una deformazione senza "strappi",
"sovrapposizioni" o "incollature".
Concetti
fondamentali
come
limite
e continuità trovano nella topologia la loro migliore
formalizzazione.
Cenni di topologia reale
Intervalli limitati
Dati due numeri reali a e b, con a < b, si definisce:
Tipologia
Intervallo
aperto ]a, b[
Intervallo
aperto e sinistra
]a, b]
Definizione
]a, b[ {x  R : a  x  b}
a
b
]a, b]  {x  R : a  x  b}
Intervallo
aperto a destra
[a, b[
[a, b[ {x  R : a  x  b}
Intervallo
chiuso [a, b]
[a, b]  {x  R : a  x  b}
Cenni di topologia reale
Rappresentazione
a
b
a
b
a
b
Intervalli illimitati
Dato un numero reale a, si definisce:
Tipologia
Definizione
Intervallo illimitato
inferiormente
aperto ]-, a[
]  , a[ {x  R : x  a}
Intervallo illimitato
inferiormente
chiuso ]-, a]
]  , a]  {x  R : x  a}
Intervallo illimitato
superiormente
chiuso [a, +[
[a,[ {x  R : x  a}
Intervallo illimitato
superiormente
aperto ]a, +[
]a,[ {x  R : x  a}
Cenni di topologia reale
Rappresentazione
a
a
a
a
Proposizione:
L’intersezione di due intorni
del punto x0 è ancora un
intorno del punto x0 .
Intorni
Si definisce:
Tipologia
Definizione
Intorno completo di
x0
È un qualsiasi intervallo
aperto contenente x0
Intorno sinistro di x0
È un qualsiasi intervallo
aperto a sinistra avente
come estremo destro x0
Intorno destro di x0
È un qualsiasi intervallo
aperto a destra avente
come estremo sinistro x0
Intorno circolare di x0
È un qualsiasi intervallo
aperto del tipo:
] x0-a, x0+a[
Intorno di 
Intorno circolare di 
Cenni di topologia reale
È un qualsiasi insieme di
numeri reali del tipo:
]-,a[]b, +[
È un qualsiasi insieme di
numeri reali del tipo:
]-,a[]a, +[
Rappresentazione
x
x-a
a
x+a
b
a
Insiemi limitati
Sia A un sottoinsieme non vuoto dell’insieme dei numeri reali.
Tipologia
Definizione
Limitato
superiormente
L’insieme A si dice limitato superiormente
se esiste un numero reale k, detto
maggiorante di A, che risulta essere maggiore
o uguale di ogni elemento di A.
Limitato
inferiormente
L’insieme A si dice limitato inferiormente
se esiste un numero reale h, detto minorante
di A, che risulta essere minore o uguale di
ogni elemento di A.
Limitato
L’insieme A si dice limitato se è limitato sia
superiormente che inferiormente.
Cenni di topologia reale
Insiemi illimitati
Sia A un sottoinsieme non vuoto dell’insieme dei numeri reali.
Tipologia
Definizione
Illimitato
superiormente
L’insieme
A
si
dice
illimitato
superiormente se comunque si scelga un
numero reale k esistono sempre elementi di A
che risultano maggiori di k.
Illimitato
inferiormente
L’insieme
A
si
dice
illimitato
inferiormente se comunque si scelga un
numero reale h esistono sempre elementi di A
che risultano minori di h.
Illimitato
L’insieme A si dice illimitato se è non è
limitato né superiormente né inferiormente.
Cenni di topologia reale
Estremi di un insieme
Sia A un sottoinsieme non vuoto dell’insieme dei numeri reali.
Tipologia
Definizione
Minimo
Se esiste un numero reale mA tale che, per ogni xA,
si abbia m  x, allora m prende il nome di minimo di
A e si scrive m=min(A).
Massimo
Se esiste un numero reale MA tale che, per ogni xA,
si abbia x  M, allora m prende il nome di massimo di
A e si scrive M=max(A).
Osservazione: Ogni insieme finito e non vuoto di numeri reali ammette
sempre massimo e minimo, mentre se un insieme è infinito non è detto che
li ammetta.
1
  1 1 
A   : n  N *   1, , ,...
Infatti l’insieme
n
  2 3  è dotato di massimo (il numero 1) e,
anche se è limitato inferiormente dallo zero, non ammette minimo in
quanto lo zero non appartiene ad A.
Cenni di topologia reale
Estremi di un insieme
Dato che non sempre ha senso parlare di massimo e minimo di un
insieme, si introduce il concetto più generale di estremo superiore e di
estremo inferiore di un insieme.
Tipologia
Definizione
Estremo
inferiore
Un numero reale l si dice estremo inferiore per
l’insieme A se esso è il più grande dei minoranti e si
indica con la scrittura l=inf(A). Se l’estremo inferiore
appartiene all’insieme A allora si dice minimo.
Estremo
superiore
Un numero reale L si dice estremo superiore per
l’insieme A se esso è il più piccolo dei maggioranti e si
indica con la scrittura L=sup(A). Se l’estremo
superiore appartiene all’insieme A allora si dice
massimo.
Cenni di topologia reale
Punti di un insieme
Siano dati un intervallo ]a, b[ e un punto c.
Tipologia
Definizione
Interno
Il punto c si dice interno
per ]a, b[ se esso è
contenuto in ]a, b[ con
tutto un intorno
Esterno
Il punto c si dice esterno
ad ]a, b[ se esiste un
intorno
di
c
non
contenuto in ]a, b[
Di accumulazione
Il punto c si dice di
accumulazione per ]a,
b[ se in ogni intorno di c
cadono punti di ]a, b[
distinti da c.
Cenni di topologia reale
Rappresentazione