LIMITI
DAGLI INTORNI ALL’ 

Compresa la definizione di limite, adesso cerchiamo di
trovarne un’altra più efficace da un punto di vista operativo,
ovvero, quella da utilizzare negli esercizi. Si tratta di
“algebrizzare” i concetti di intorno di un punto e appartenenza
ad un intorno. È noto che un intorno di un punto x0 è un
intervallo di centro x0: il modo più efficace per costruirlo è
quello di fissare un valore arbitrario positivo a piacere, che
indicheremo con ∂, determinando gli estremi dell’intorno
prima sottraendo e poi aggiungendo ∂ ad x0, ovvero:
]x0- ∂, x0+∂[
0
I  x0   x0  , x0  
Analogamente si può fare per un intorno di l
 0
J l   l   , l   
Quello che è interessante notare è che una volta scelta la
dimensione dell’intervallo questo resta fissato, per cui nella
definizione di limite è possibile sostituire ε e δ
rispettivamente a J(l) e I(x0).
Resta ancora da far vedere cosa significa che un punto
appartiene ad un intorno. A tale scopo forniamo un esempio
x  I  2   2   , 2     2    x  2  
x  I  2   1,3  1  x  3 con   1
o più in generale
x  I  x0    x0  , x0    x0    x  x0    x  x0  
f ( x)  J (l )  l   , l     l    f  x   l    f  x   l  
J l 

 0
I  x0  
0
x  I  x0    x0   0  x  x0  
f  x   J l 
 0  f  x  l  
lim f  x   l
x  x0
J  l  I  x0  : x  I  x0   x0  f  x   J l 
  0   0 : x  x0 :   x  x0       f  x   l  
  0  0 : x : 0  x  x0    f  x   l  