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Teorema dell’unicità del limite
Se una funzione f(x) ammette per x→c limite finito l, questo è unico
Si dimostra per assurdo. Supponiamo che ammetta due limiti l1 < l2
Per la definizione di limite, esistono, in corrispondenza di ε >0, due intorni I1
e I2 tali che si abbia in ognuno rispettivamente:
L1-ε< f(x)<L1+ε
L2  L1
L2  L1
L1 
 f ( x)  L1 
2
2
3L1  L2
 f ( x) 
2
L2-ε<f(x)<L2+ε
I1
c
I2
L2  L1
L2  L1
L2 
 f ( x)  L2 
2
2
Nell’intersezione dei due intorni le due
coppie di disuguaglianze valgono
L1  L2 contemporaneamente
per qualsiasi
valore di ε. Sia
2
L1  L2
f ( x) 
2
L1  L2
3L  L
 f ( x)  2 1
2
2
ε = (L2-L1)/2
L1  L2
f ( x) 
2