DEFINIZIONE DI LIMITE
Il concetto di limite esprime, attraverso un complesso formalismo
matematico, una forte relazione tra due ambienti, dominio e codominio,
che sono messi in comunicazione tra loro da una qualunque funzione
reale di variabile reale. La scrittura
lim f(x) = l
xx0
sta a significare, a grandi linee, che punti “vicini” ad l provengono da
punti “prossimi” ad x0 .
Dobbiamo cercare , quindi, di esprimere i concetti di “vicinanza” e “prossimità” in
maniera oggettiva, liberi da ambiguità. É noto che il concetto di vicinanza nel
linguaggio comune è relativo al contesto; ad esempio, l’insegnante e gli studenti
all’interno della stessa aula sono abbastanza vicini per parlare, ma non abbastanza
per stringersi la mano; ancora, la distanza di 1 metro per un astronomo è trascurabile,
mentre per un biologo, abituato a spazi intermolecolari microscopici,è una distanza ,
manco a dirlo, “astronomica”. Concludendo, due oggetti alla distanza di un metro
sono vicini o lontani?
Orbene, in matematica per ovviare a tale ambiguità si intendono vicini i punti
appartenenti ad uno stesso intorno. Da ciò si evince che nella definizione
di limite saranno messi in comunicazione intorni di l con intorni di x0.
Dominio
Codominio
I(x0)
x0
f
J(l)
l
Bisogna ancora fare chiarezza su almeno due punti:
1. quanti intorni di l posso mettere in comunicazione con intorni di x0?
2. qual è la tipologia della comunicazione tra J(l) e I(x0)?
La definizione di limite afferma che la determinazione dell’ intorno di x0 in
corrispondenza di un intorno di l non è sottoposta ad alcuna limitazione,
ovvero qualunque sia la scelta di J(l) è sempre possibile determinare almeno un I(x0)
Fig. 1
Fig. 2
Riguardo al punto 2 c’è da capire che qualunque punto x si scelga in I(x0),
distinto da x0, la sua immagine f(x) appartiene proprio a quell’intorno J(l) che
abbiamo scelto in maniera arbitraria
Da quanto detto possiamo riassumere che:
ogni volta che scegliamo in maniera arbitraria un intorno di l
J  l 
è sempre possibile trovare almeno un intorno di x0 tale che
I  x0  :
per ogni punto x appartenente all’intorno di x0 trovato, distinto da x0
x  I  x0   x0 
la sua immagine f(x) appartiene all’intorno di l che abbiamo scelto all’inizio
f  x   J l 
lim f  x   l
x  x0
J  l  I  x0  : x  I  x0   x0  f  x   J l 