Intervalli
(a, b)  {x : a  x  b} intervallo aperto
(
a
)b
[a, b]  {x : a  x  b} intervallo chiuso
a
[
a
[
]b
[a, b)  {x : a  x  b} intervallo aperto a destra
)b
(a, b]  {x : a  x  b} intervallo aperto a sinistra
a
(
]b
e intorni
Intorno completo simmetrico di x0 di semiampiezza 
(
x0  
x0
( x0   , x0   )  {x : x0    x  x0   }
( x0   , x0   )
x0    x  x0  
  x  x0  
x  x0  
)
x0  
e intorni
Intorno completo simmetrico di x0 di semiampiezza 
(
x0  
)
x0
( x0   , x0   )  {x : x0    x  x0   }
x0  
( x0   , x0   )
x0    x  x0  
  x  x0  
x  x0  
È la condizione che
definisce l’intervallo
e intorni
Intorno completo simmetrico di x0 di semiampiezza 
(
x0  
)
x0  
x0
( x0   , x0   )  {x : x0    x  x0   }
( x0   , x0   )
x0    x  x0  
  x  x0  
x  x0  
Tratto separatamente le due
disuguaglianze precedenti:
x0    x
e
  x  x0
Da cui
x  x0  
x  x0  
E poi si riuniscono
e intorni
Intorno completo simmetrico di x0 di semiampiezza 
(
x0  
x0
( x0   , x0   )  {x : x0    x  x0   }
( x0   , x0   )
x0    x  x0  
  x  x0  
x  x0  
)
x0  
Punto di accumulazione
Definizione: Dato un insieme A ed un punto di
R, un punto x0 è detto di accumulazione
per l’insieme A se comunque si fissi
un’intorno di x0 in tale intorno cade almeno
un punto di A distinto da x0 .
Punto di accumulazione
[ comunque si fissi un’intorno di x0
in tale intorno cade almeno un
punto di A distinto da x0]
Esempio 1: A = N
Intorno “grande”
Intorno “piccolo”
Quindi le richieste della definizione NON sono verificate e
quindi NON ci sono punti di accumulazione.
Punto di accumulazione
A  {0}  [1, )
Esempio 1:
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
L’insieme contiene 0 e tutti i numeri reali da 1 in poi, 1 incluso.
Considero
x0  4
Intorno “grande”
-1
0
1
2
3
4
5
Le richieste della definizione sono verificate
quindi 4 è punto di accumulazione.
6
7
Intorno “piccolo”
Punto di accumulazione
Esempio 1: A  {0}  [1, )
Considero x  0
0
Intorno “grande”
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Intorno “piccolo”
Quindi le richieste della definizione NON sono verificate e
quindi x0  0 non è punto di accumulazione.
Punto di accumulazione
Il concetto di punto di accumulazione è
importante perché se il punto è di
accumulazione mi posso avvicinare quanto
voglio al punto rimanendo sempre su un
elemento dell’insieme che sto considerando.
Calcolare una funzione in un punto
f : A  B,
Esempio
A  R, B  R
y  f ( x)
f ( x)  2 x  1
f (1)  2*1  1  3
f (2)  2* 2  1  5
Introduzione al concetto di limite
Invece di calcolare la funzione in un punto
x0
voglio vedere cosa succede ai valori assunti dalla funzione
man mano che x si avvicina a x0
Quindi non interessa conoscere l’eventuale valore di f in x0
x0
ma interessa sapere cosa fa f vicino a
Introduzione al concetto di limite
La frase “ x si avvicina a x0” viene riscritta per brevità nel seguente modo:
x  x0
Il simbolo
“

“
“tende”
“ si avvicina”
si legge
oppure
Introduzione al concetto di limite
Esempio: studiare il comportamento della funzione
f ( x)  x  1
in
x0=1
Osservazione: vogliamo vedere cosa succede quando x si avvicina ad x0
Non ci interessa sapere cosa fa la funzione proprio in x0, quindi aggiungo
x  x0
Introduzione al concetto di limite
Esempio: studiare il comportamento della funzione
f ( x)  x  1
in
x0=1,
x  x0
Il valore della funzione f in x0 può essere calcolato
senza alcun problema: f(1)=2 ,
ma
Osservazione:
non siamo interessati al calcolo del valore della funzione nel
punto x0
siamo interessati ai valori assunti dalla funzione per valori della x
vicini ad x0
Grafico di
Vogliamo capire come
cambiano i valori della
funzione man mano che x
si avvicina ad x0 , cioè ad 1
Prendo quindi valori di x
un pò più piccoli di 1 e
vado a salire fino a 1. In
corrispondenza traccio i
valori di f( x )
f ( x)  x  1
Costruzione del grafico per punti
Si disegna un punto di coordinate (x,y) se y=f(x)
• Esempio
f ( x)
f ( x)  x  1
x
f(x)
½
3/2
¾
7/4
7/8
15/8
…
…
…
…
3/2
5/2
0
½ ¾ 7/8
3/2
x
• Mi accorgo che man mano che mi avvicino
a 1 i valori della funzione si avvicinano a 2,
sia che mi avvicini prendendo valori più
piccoli sia che prendendo valori più grandi.
• Siccome abbiamo concordato di scrivere
le parole “ si avvicina” mediante la freccia
possiamo scrivere che
f ( x)  2
per
x 1
• Se invece di considerare il valore 1
consideriamo un valore qualsiasi di x0
possiamo ripetere il ragionamento,
• solo che f(x) invece di avvicinarsi a 2 si
avvicinerà ad un altro valore che lascio
indicato con l
(lettera “elle”, mnemonicamente utile
perché la parola “limite” inizia con la l).
Quindi in generale per questa funzione di questo
esempio posso scrivere:
f ( x)  l
per
x  x0
Si può quindi dare una definizione intuitiva di limite
iniziando ad usare termini più matematici:
Se
f ( x)  l
per
x  x0
Allora si dice che per x tendente a x0 la funzione
tende al limite finito l e si scrive :
f ( x ) l
lim
x x
0
p.150
Esempio 2: Calcolare lim
x1
• Innanzitutto osservo che per x  1
x 2 1
 x 1
x 1
x 1
lim
x1
x 2 1
x 1
ho che
quindi calcolare questo limite è uguale a calcolare
perché, come abbiamo detto prima, faccio
tendere x a 1, molto vicino, ma non considero
proprio il punto x0=1
Ma allora qui si ripete il discorso fatto per la funzione dell’esempio precedente:
man mano che x  1 i valori di f ( x )
si avvicinano ad un valore che in questo caso è uguale a 2.
Esempio 3 : Calcolare il limite della
seguente funzione per x che si avvicina a 0
f ( x) 
x2
 x  1
• abbiamo già visto l’insieme di definizione
Osservo che posso calcolare il valore della
funzione in 0:
f( 0 ) = 0
• ma non posso avvicinarmi a 0 perché non ci
sono punti dell’insieme di definizione vicini a
piacere a 0.
non si può calcolare il
f ( x)
lim
x x
0
Cerchiamo di esprimere quanto visto finora
in termini ancora più matematici, perché
dobbiamo poi arrivare ad un metodo di
calcolo.
Invece di continuare a considerare esempi
consideriamo una funzione qualsiasi che
chiamiamo f(x)
Considero inoltre un valore x0 ed l (lettera
elle).
Riconsideriamo la definizione di limite.
lim
x x
f ( x ) l
se
f ( x)  l
per
x  x0
0
f ( x)  l
Chiariamo bene cosa vuol dire
Se
vuol dire che i valori di f(x)
sono sempre più vicini a l
l 
Quindi fisso un intorno di l
l
(l   , l   )
ed i valori della funzione
cadranno nel suo interno,
cioè
l 
x0   x0
l    f ( x)  l  
x0  
lim
x x
f ( x ) l
se
f ( x)  l
per
x  x0
0
Quando i valori di f(x) sono vicini a l ?
Quando x è sufficientemente
vicino a x0
Cioè quando la distanza
di x da x0 è minore di 
cioè
x0    x  x0  
l 
l
l 
x0   x0
x0  
lim
x x
f ( x ) l
se
f ( x)  l
per
x  x0
0
In generale
il modo di scegliere 
dipenderà da 
Quindi metto un pedice

per ricordarlo
x0     x  x0   
l 
l
l 
x0   x0
x0  
lim
x x
f ( x ) l
se
f ( x)  l
per
x  x0
0
se
l    f ( x)  l  
per
x0     x  x0   
comunque scelgo , fisso 
a seconda di  e x  x0
l 
l
l 
x0   x0
x0  
l    f ( x)  l  
f ( x)  l  
x0    x  x0  
è equivalente a
è equivalente a
x  x0  
Abbiamo detto che non guardo il valore della funzione in x0, ma solo nei punti vicini,
cioè
0
xx
quindi per completare la definizione scrivo
0  x  x0  
Inoltre la frase “comunque scelgo  positivo”
può essere riscritta utilizzando il simbolo “per ogni” nel
seguente modo
  0
La frase “esiste delta positivo” può essere
riscritta usando il simbolo “esiste” nel
seguente modo:
   0
ed in definitiva tutta la definizione di limite
può essere riscritta nel seguente modo:
Definizione
Sia dato x0 punto di accumulazione per l’insieme di
definizione della funzione.
Si dice che per x tendente x0 la funzione tende al limite
finito l ( oppure ha per limite l) e si scrive:
lim
x x
f ( x ) l
0
se   0   0 | x : 0  x  x0  
si ha che
f ( x)  l  