I punti di Accumulazione
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I punti di accumulazione
Definizione
Sia A un insieme e x0  R. x0 è un punto di accumulazione per A
se, per ogni intorno I(x0) di A , I(x0)A ha infiniti punti
Esercizio 1
1

A  x  R | x  
n

x0  0
Vediamo se 0 è punto di accumulazione per A- Usiamo gli intorni sferici per
comodità
Punti di accumulazione
Sia I(0,) un intorno sferico di 0. Vediamo se in esso cascano
infiniti punti di A.
Deve essere
1

n
1
n
-
E quindi
n
1
 n
n
0

1  n
n  1
n


1

n
1

Punti di accumulazione
Per esempio, se
  0,1
da n=11 in poi si ha
1
13
-0.1
0
1
12
1
11
1
9
1
8
0.1
Da n= 11 in poi gli elementi di A cascano nell’ intorno dello zero.
1
2
1
Punti di accumulazione
Per esempio, se
  0,01
da n=101 in poi si ha
1
1
101
102
-0.01
1
11
0
1
103
1
99
1
98
1
2
0.01
Da n=101 in poi tutti gli elementi di A cascano nell’intorno di zero.
1
Punti di Accimulazione
Esercizio 2
1


A  x | x 
,n N
n 1


x0  0
Punti di Accumulazione
Sia I(0,) un intorno sferico di 0. Vediamo se in esso vengono attratti
Infiniti punti di A.
Deve essere
1

n 1
1
n 1
-
E quindi
1
n 1
 n  1
n 1
0

1  n  1 n  1  1 n  1  1


n 1 
n
1

1
1

n
1

1
da n=9 in poi si ha
  0,1
1 1
12 11
-0.1
0
1
10
1
9
1
8
1
7
0.1
Da n=9 in poi tutti gli elementi di A cascano nell’intorno di zero.
1
6
1
Punti di accumulazione
Trova i punti di accumulazione del seguente insieme
A  x  R | 2  x  8
Esercizio 3
a
b
2
8
Tutti i punti dell’intervallo sono punti di accumulazione. (Esercizio per casa)
Prendo un intorno di 2. Sarà un intervallo (a,b) che contiene 2. Allora
Che è infinito
(a,b)(2,8)=(2,b)
Quindi 2 è punto di accumulazione per A. Dimostrate che anche 8 lo è
Esercizi per Casa
Esercizi pagina 482 numero 11,12,17
buona Domenica!
Funzioni continue
• Una funzione si dice reale di variabile reale
se ha come insieme di partenza , e come
insieme di arrivo, un sottoinsieme di R
• Esempi
f ( x)  x  1
2
1
g ( x) 
x
h( x)  log( x  1)
f: R R+
g:R-{0} R
F :]-1,+ [R
Funzioni
Esempio
f ( x)  x 2  1
f: R  R è una funzione
Non possiamo estendere R ancora più di R!
Quindi il dominio di f è R
Funzioni continue
• Sia f una corrispondenza di R in R.
Chiamiamo dominio di f il più grande
sottoinsieme di R tale che
f:DR
è una funzione
Funzioni
Esempio 2
1
g ( x) 
x
R-{0} è il più grande sottoinsieme X di R tale che
g:D  R è una funzione
Quindi il dominio di g è R-{0}
Funzioni
Esempio 3
h( x )  x  2
[2,+] è il più grande sottoinsieme D di R tale che h:D  R
è una funzione
Quindi il dominio di h è [2,+ ]
Funzioni
• Sia f una funzione e D il suo dominio.
Diciamo che f è definita in I se I è un
sottoinsieme di D