Liceo Scientifico “G. Stampacchia”- Tricase
25/03/2006
SUL CONCETTO DI LIMITE PER
FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
Conversazione di Eduardo Pascali
Professore Ordinario di Analisi Matematica
Dipartimento di Matematica “E.De Giorgi”
Facoltà di Scienze MM.FF.NN.
Università degli Studi di Lecce
Lo scopo di questa conversazione è quello
di interpretare una definizione matematica
ritenuta, giustamente, fondamentale e, nello
stesso tempo, acquisita con notevole difficoltà
dalla maggior parte degli studenti.
Dopo aver formulato in maniera astratta la
definizione, ci adopereremo nella spiegazione
dei concetti adoperati e, in conclusione,
tenteremo di far vedere come la definizione
possa essere interpretata come la codifica
formale di un particolare, ma naturale,
“atteggiamento mentale”.
Partiamo con la definizione che intendiamo
esaminare:
Sia assegnata una funzione reale f definita in X e sia x°
un punto di accumulazione per l’insieme X, inoltre sia L
un elemento di R ampliato (cioè l’insieme dei numeri
reali con l’aggiunta di +∞ e di -∞).
Diciamo che L è il limite, per x che tende ad x°,
della funzione f e scriveremo, per brevità:
lim f(x) = L
x x°
quando si verifica quanto segue:
I(L ) I(x°) t.c. x  X  I(x°)/ x° :
(x  I(x°)  f(x)  I(L) )
I(L) I(x°) t.c.
xXI(x°)/x°:
(xI(x°)f(x)I(L) )
Si legge in questo modo:
Qualunque sia l’intorno di L fissato,
indicato con I(L), esiste un intorno di x° ,
indicato con I(x°) , tale che per ogni
elemento x di X che non sia x° risulta
vero quanto segue:
se x è elemento di I(x°) allora
necessariamente f(x) è elemento di I(L).
Ma che vuol dire ?
Per dare una risposta occorre analizzare gli
oggetti “matematici” utilizzati nella definizione.
Gli oggetti “matematici”
definizione sono i seguenti.
che
intervengono
nella
INSIEME
I NUMERI REALI E SUOI
SOTTOINSIEMI
NUMERI REALI CON L’AGGIUNTA DI
+e -
FUNZIONE
INTORNI
PUNTO DI ACCUMULAZIONE
INSIEME
La definizione di INSIEME è una delle più difficili
della Matematica. Il tentativo di fondare la
Matematica su una definizione “intuitiva” di insieme
è fallito, ma lo studio condotto per ottenere una
fondazione coerente della Matematica sulla
definizione intuitiva di insieme ha evidenziato i limiti
della visione “logico-formalista” della Matematica.
Comunque per la gran parte delle indagini
matematiche la definizione intuitiva di insieme data
da George Cantor è sicuramente utile e non
conduce (per lo meno non ancora) a contraddizioni
manifeste.
Cantor definiva un insieme come
“qualunque collezione in un tutto di
determinati e ben distinti oggetti dati dalla
nostra intuizione o dal nostro pensiero”.
Egli richiedeva che vi fosse una regola definita e
priva di ambiguità che stabilisse quali fossero
elementi dell’insieme e quali no.
Procedere nella indagine sul concetto di
insieme ci porterebbe necessariamente su difficili
problemi di logica e sui legami tra logica e
fondamenti della Matematica. Accontentiamoci della
definizione data da Cantor.
I NUMERI REALI E SUOI
SOTTOINSIEMI
I NUMERI REALI CON + e - 
Questo argomento dovrebbe essere, in
larga parte, noto.
Per questo motivo accenneremo solo al
significato che si attribuisce a + e - .
Il significato che si attribuisce ai due
simboli è il seguente:
-<+;
-  < a < +  per ogni
numero reale a.
FUNZIONE
La nozione di funzione è strettamente legata ad
un aspetto di un tipo d’attività che ognuno di
noi costantemente adopera.
Spesso avendo a disposizione due insiemi
ci troviamo, quasi inconsapevolmente, a tentare
di stabilire delle “associazioni”: guardo un
oggetto di un insieme e lo associo ad un
oggetto dell’altro insieme, mediante un criterio
che mi posso costruire in quella particolare
situazione. La formalizzazione di uno di questi
tipi di “gioco” conduce alla nozione matematica
di funzione.
Il tipo di gioco che formalizziamo:
individua chi è l’insieme di partenza,
(cioè da quale dei due insiemi a disposizione
partiamo) per poi associare ad ogni
elemento di questo insieme un
elemento dell’altro insieme, con
l’accortezza che
una volta considerato uno degli
elementi dell’insieme di partenza
(sia x) è univocamente determinato
l’elemento dell’altro insieme
associato ad x (indicato con f(x)).
Si comprende bene allora cosa
serve per formalizzare questo
particolare gioco di associazione :
- Due insiemi, non vuoti, distinti
o meno, di cui uno sia privilegiato
rispetto all’altro
- Un procedimento, una legge,
comunque espressa, che ad ogni
fissato
elemento
dell’insieme
privilegiato associ uno ed un solo
elemento dell’altro insieme.
Il modo più semplice per codificare questo
fatto è esibire una scrittura di questo tipo:
(A,B,f)
cioè una terna ordinata formata dall’insieme
A, dall’insieme B e dal procedimento f.
Usualmente si usa la notazione
f: A B
e si dice di avere la funzione f definita in A ed
a valori in B; A si dice insieme di partenza, B
insieme d’arrivo; se x è elemento dell’insieme
A, l’elemento di B associato ad x dal
procedimento f si indica con il simbolo f(x) e
si dice “immagine di x mediante f”.
In conclusione
definizione:
si
può
dare
la
seguente
Si dice di avere definito una funzione
dall’insieme A verso l’insieme B se è
assegnata una legge f che ad ogni
elemento dell’insieme A associa uno
ed un solo elemento dell’insieme B.
Nota Bene: Può succedere che a due
differenti elementi di A la funzione associ
lo stesso elemento di B.
I matematici hanno individuato alcuni tipi di funzioni
particolarmente importanti. Piuttosto che dire perché
sono importanti conviene sottolineare che esse
corrispondono a codifiche di legittime domande che si
possono porre una volta che sia stato dato il concetto
di funzione.
1. Supponiamo di avere f:AB, se ho
elementi distinti di A, i corrispondenti,
mediante la f, sono distinti ?
2. Se ho un elemento di B, esso è
sicuramente l’immagine mediante f di
qualche elemento di A ?
La prima domanda si può interpretare
meglio pensando alla legge f come ad un
“trasporto” o uno “spostamento” degli
elementi di A sugli elementi di B; la
domanda si può allora riformulare
dicendo: “se prendo due oggetti distinti
di A, qualunque essi siano, alla fine del
“trasporto” sono ancora distinti”.
La seconda domanda si interpreta
meglio “stando” su y, elemento di B, e
chiedendosi se il procedimento f
“porterà” su y qualche elemento di A.
Funzioni per le quali la prima
domanda si risolve in modo
positivo sono dette
INIETTIVE
Quelle per le quali si risolve
positivamente
la
seconda
domanda sono dette
SURIETTIVE
f:A  B
INIETTIVA
 x, y  A : (x  y f(x)  f(y))
(una funzione è iniettiva se conserva la diversità)
f:AB SURIETTIVA
( y  B  x  A : f(x) = y)
Una funzione che sia iniettiva e suriettiva nello stesso
tempo si dice bigettiva; pertanto:
f:AB BIGETTIVA
( y  B | x  A : f(x) = y)
N.B. In molte situazioni è assegnata semplicemente la
legge f ed il problema è quello di determinare l’insieme
A (dominio o campo di esistenza della variabile
indipendente) e l’insieme B (insieme d’arrivo).
INTORNO
Il concetto di intorno risulta
essere una formalizzazione del
concetto usuale di “vicinanza”, di
“esser vicino”.
Più che definire “intorno di un
punto” definiremo cosa si debba
intendere per la “famiglia degli
intorni di un punto”.
Questo atteggiamento è naturale
per i Matematici che vogliono, in
generale, studiare gli oggetti per
quello che permettono di fare non
per quello di cui sono costituiti o,
detto in altro modo, vogliono
studiare le relazioni tra oggetti, o
ancora alcune relazioni sono prese a
fondamento della definizione di
oggetto matematico da indagare.
Se X è un insieme astratto e p un suo punto diciamo
che V(p) costituisce una famiglia di intorni di p se è
formata da sottoinsiemi I di X per cui si abbia
Se I  V(p) allora p  I;
Se I  V(p) e I  J allora J  V(p);
Se pq allora
I V(p) e J V(q) tali che IJ =;
Se I  V(p) allora  J V(p) tale che:
q V(p)  I  V(q).
La terza condizione
SEPARAZIONE”
si
dice
“PROPRIETA’
DI
La interpretazione delle precedenti quattro proprietà
è semplice.
Ad ogni intorno di p appartiene almeno p;
Ogni sovrainsieme di un intorno di p è anche
un intorno di p;
Se abbiamo p, q elementi distinti di X allora
si possono determinare due intorni uno di p e
l’altro di q che non hanno punti in comune
Se ho un intorno I di p allora esiste un altro
intorno J di p per i cui elementi I è intorno.
Pensando molto liberamente, se per intorno di p
(persona) si intende un insieme di amici di p, le
proprietà dicono:
In ogni insieme di miei amici, ci sono io stesso (io
sono amico di me stesso !)
Se prendo un insieme di miei amici ed aggiungo altri
miei amici ho ancora un insieme di miei amici
Se considero un’altra persona, allora ci sono due
insiemi di amici, uno mio ed uno dell’altra persona,
che non hanno persone in comune (o con me o contro
di me !)
Se ho un insieme di miei amici, un insieme di essi è
formato da persone per le quali l’insieme originario è
formato da persone a loro amiche.
Prendiamo la retta reale R.
Se p è un numero reale, allora la famiglia degli
intervalli aperti contenenti p costituisce una famiglia di
intorni di p.
Ai fini di quello che ci interesserà potremmo limitarci
agli intervalli centrati in p, cioè dare la seguente
definizione
I intorno di p     tale che I = ]p-  ,p+ [
(osserviamo che la quarta proprietà non è verificata).
Se p=+ per intorno si intende ogni semiretta del tipo
]a, +). Se p=- per intorno si intende ogni semiretta
del tipo (-, a[.
Prendiamo il piano cartesiano
Se p è un punto del piano definiamo intorno di p ogni
cerchio (con la circonferenza esclusa) contenente p;
anche in questo caso potremo limitarci a considerare
solo la famiglia dei cerchi con centro in p.
Una Osservazione su “cerchi” ed “intervalli”
Ricordiamo che sui numeri reali è definita una
funzione detta “valore assoluto” in questo modo:
| . | : RR dove |x| =
x
se x > 0
-x
se x 0
Questa funzione verifica importanti proprietà:
|x| > 0 per x0 e |x|= 0 se e solo se x=0;
|x| = |-x| per ogni x;
|x+y|  |x| + |y|
||x|-|y||  |x-y|
Se a>0 allora risulta (|x| < a se e solo se -a <x<a).
Il numero |x-y| si dice, come ben sappiamo,
“distanza di x da y” ed esprime la “lunghezza”
dell’intervallo di estremi x ed y.
Dall’ultima proprietà si ricava quanto segue.
Se r >0 allora |x-p|< r se e solo se
p-r < x < p+r.
Che si può leggere “se x dista da p meno di r
allora e solo allora x è un elemento
dell’intervallo di centro p e semidimensione r”;
in questo modo si comprende che:
se consideriamo il generico intervallo aperto
]a,b[, posto p = (a+b)/2 ed r = (b-a)/2, si ha
]a,b[ = ]p-r,p+r[;
quindi ogni intervallo della retta numerica è
“cerchio” rispetto alla distanza tra punti della
retta numerica.
DOMANDA
PERCHE’ ABBIAMO CHIAMATO DISTANZA TRA x ED y IL
NUMERO REALE NON NEGATIVO |x-y| ?
Questa domanda apre il capitolo matematico
degli spazi METRICI, cioè degli insiemi in cui è definito
il concetto di distanza.
Ma che significa “DISTANZA” in Matematica ?
Se analizziamo le proprietà che noi attribuiamo
al
termine
“distanza”
quando
usato
comunemente, ci accorgiamo che richiediamo
sicuramente i seguenti fatti:
Se non mi muovo allora il costo da pagare è zero;
se mi muovo per andare da A a B allora ho un
costo positivo;
Per andare da un punto A ad un punto B pago lo
stesso se vado dal punto B al punto A;
in più accettiamo che
Per andare dal punto A al punto B pago di meno
che se facessi una fermata in un altro punto C
(questa condizione può essere interpretata come una
specie di “minimalità” del costo).
La formalizzazione di queste richieste conduce alla
definizione di spazio metrico.
Se S è un insieme non vuoto, si dice che d è
una distanza in X se risulta d una funzione del
tipo
d: SxS  R
che verifica la seguenti condizioni:
d(A, B) 0 per ogni coppia di punti;
d(A,B)=0 se e solo se A=B;
d(A,B) = d(B,A) per ogni coppia di punti;
d(A,B) d(A,C) + d(C,B) per ogni terna di
punti.
Negli spazi metrici si possono definire i cerchi, le
circonferenze ed alcuni concetti della geometria,
nonché il concetto di intorno di un punto dello spazio
metrico.
PUNTO DI ACCUMULAZIONE
Siamo ora in grado di dare la nozione di
punto di accumulazione. Questa definizione
codifica un fatto semplicissimo:
“la possibilità di avvicinarci ad un punto
utilizzando punti di un assegnato insieme”
o se vogliamo codifica
“i punti che possono essere raggiunti
muovendosi sui punti di un assegnato
insieme”;
difatti la locuzione precisa da usare non è
“punto di accumulazione” ma “punto di
accumulazione per l’insieme X”.
Allora, sia X un fissato sottoinsieme dei
numeri reali R, un elemento p si dice punto di
accumulazione per X se si verifica quanto
segue:
 I(p) risulta
I(p)  (X/p)  
ovvero vicino, quanto voglio, a p c’è almeno un
elemento di X che è diverso da p.
Se osserviamo la definizione notiamo che
essa ha significato quando si abbia a
disposizione il concetto di intorno (pertanto
ha sicuramente significato negli spazi
metrici).
La definizione precedente se p è un numero reale,
tenendo conto dell’osservazione fatta sugli intorni (e
del fatto che vuol significare), diviene
  0 risulta  x  X, tale che 0< |x-p| <.
Come si può riscrivere se p=+ oppure p=- ?
La definizione precedente può essere scritta anche cosi
  0 risulta  x  X, tale che 0< d(x,p) <.
E si comprende subito che la definizione ha
“cittadinanza” anche negli spazi metrici.
Tentiamo ora di comprendere cosa vuole significare
la definizione di limite ricorrendo ad un esempio
triviale.
???
Prof.
vetrata
Quale è la domanda che naturalmente vi
ponete ? Evidentemente:
Dove mi sbatte il Professore ?
Quale ragionamento facciamo per “tentare di
prevedere” dove il professore ci metterà a
sedere ?
Dopo averci pensato un poco……….
ANDATE A RIGUARDARE LA
DEFINIZIONE DI LIMITE
NON RAGIONATE PROPRIO
COME E’ CODIFICATO NELLA
DEFINIZIONE !!!
MA NE SIETE PROPRIO
CONVINTI ???
Auguri per i prossimi
esami
e
per i vostri progetti di
studio e di vita