LIMITI DI FUNZIONI E CONTINUITÀ
̅.
 SUCCESSIONI TEST  Siano 𝐴 ⊂ ℝ e 𝑥0 ∈ ℝ
Diciamo che {𝑥𝑛 } è una successione test per 𝑥0 in A
𝑥𝑛 ∈ 𝐴 per ogni n, 𝑥𝑛 → 𝑥0 , 𝑥𝑛 ≠ 𝑥0 per ogni n.
Esempio: {3 +
(−1)𝑛
𝑛2
} è una successione test per 3 in
(1, +∞).
- Diciamo che {𝑥𝑛 } è una successione test da
sinistra per 𝑥0 in A se valgono 𝑥𝑛 ∈ 𝐴 per ogni n,
𝑥𝑛 → 𝑥0 , e 𝑥𝑛 < 𝑥0 per ogni n. Esempio: {3 −
1
𝑛2
}
è una successione test da sinistra per 3 in
(1, +∞).
- Diciamo che {𝑥𝑛 } è una successione test da
destra per 𝑥0 in A se valgono 𝑥𝑛 ∈ 𝐴 per ogni n,
 DAI RISULTATI SULLE SUCCESSIONI AI RISULTATI
SULLE FUNZIONI  Avendo definito il limite di una
funzione mediante la nozione di successione test, è
ragionevole pensare che a ciascuno dei risultati sui
limiti di successioni corrisponda un analogo risultato
per i limiti di funzioni. Ricordiamo che in alcuni degli
enunciati relativi alle successioni si suppone o si
stabilisce che certe proprietà di una o più successioni
siano vere definitivamente.
 INTORNO 
𝑥0 ∈ ℝ
𝑥0 ∈ ℝ
𝑥0 ∈ ℝ
1
𝑥𝑛 → 𝑥0 , e 𝑥𝑛 > 𝑥0 per ogni n. Esempio: {3 + 2 }
𝑛
è una successione test da destra per 3 in (1, +∞).
 PUNTI DI ACCUMULAZIONE  Se esiste almeno una
successione test per 𝑥0 in A, diciamo che 𝑥0 è punto
di accumulazione di A.
- Se esiste almeno una successione test da sinistra
per 𝑥0 in A, diciamo che 𝑥0 è punto di
accumulazione da sinistra di A.
- Se esiste almeno una successione test da destra
per 𝑥0 in A, diciamo che 𝑥0 è punto di
accumulazione da destra di A.
 PUNTO ISOLATO  Se 𝑥0 ∈ 𝐴 e 𝑥0 non è punto di
accumulazione di A, diciamo che 𝑥0 è punto isolato di
A.
 LIMITI DI FUNZIONI – LIMITI UNILATERALI  Siano
̅ . Sia 𝑥0 ∈ ℝ
̅ un punto di
𝐴 ⊆ ℝ e 𝑓: 𝐴 → ℝ. Sia ℓ ∈ ℝ
𝑠𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎
accumulazione da
per A. Se per ogni
𝑑𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
𝑠𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎
successione test {𝑥𝑛 } da
per 𝑥0 in A la
𝑑𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
successione {𝑓(𝑥𝑛 )} tende a ℓ per 𝑛 → +∞,
𝑠𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎
- Diciamo che f tende a ℓ per x che tende a 𝑥0 da
,
𝑑𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
𝑠𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜
- Chiamiamo ℓ il limite
di f per x che tende a 𝑥0,
𝑑𝑒𝑠𝑡𝑟𝑜
lim 𝑓(𝑥) = ℓ
𝑥 → 𝑥0−
𝑥→𝑥0−
- Scriviamo
oppure 𝑓(𝑥) → 𝑙 per
.
𝑥 → 𝑥0+
lim+ 𝑓(𝑥) = 𝑙
𝑥→𝑥0
 LIMITI DI FUNZIONI – LIMITI BILATERALI  Siano
̅ . Sia 𝑥0 ∈ ℝ
̅ un punto di
𝐴 ⊆ ℝ e 𝑓: 𝐴 → ℝ. Sia ℓ ∈ ℝ
accumulazione per A. Se per ogni successione test
{𝑥𝑛 } per 𝑥0 in A la successione {𝑓(𝑥𝑛 )} tende a ℓ per
𝑛 → +∞,
- Diciamo che f tende a ℓ per x che tende a 𝑥0 ;
- Chiamiamo ℓ il limite di f per x che tende a 𝑥0 ;
- Scriviamo lim 𝑓(𝑥) = ℓ oppure 𝑓(𝑥) → ℓ per
𝑥→𝑥0
𝑥 → 𝑥0 .
 OSSERVAZIONE 1  Nella definizione di limite
(unilaterale o bilaterale) non è richiesto che il punto
𝑥0 appartenga al dominio A della funzione f. Si
richiede che 𝑥0 sia punto di accumulazione per A, cioè
che esista almeno una successione test per 𝑥0 in A.
Se un punto 𝑥0 non è di accumulazione per il dominio
di f, non ha senso porsi il problema di calcolare il
limite di f per x che tende a 𝑥0 .
 OSSERVAZIONE 2  Dall’unicità del limite per
successioni segue che il limite (unilaterale, bilaterale)
di una funzione, se esiste, è unico.
 TERMINOLOGIA  La seguente terminologia è
analoga a quella usata per le successioni:
𝑠𝑒 ℓ ∈ ℝ 𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑐ℎ𝑒 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝑝𝑒𝑟 𝑥
𝑠𝑒 ℓ = 0 𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑐ℎ𝑒 𝑓 è 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎
} 𝑐ℎ𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒
𝑠𝑒 ℓ = +∞ 𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑐ℎ𝑒 𝑓 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑎 𝑥0
𝑠𝑒 ℓ = −∞ 𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑐ℎ𝑒 𝑓 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
 STRATEGIA PER L’UTILIZZO DELLA DEFINIZIONE DI
LIMITE 
- Per verificare che il limite (bilaterale, unilaterale)
di 𝑓 per x che tende a 𝑥0 esiste ed è uguale a ℓ,
occorre:
 Fissare {𝑥𝑛 }, arbitraria successione test per
𝑥0 in A;
 Considerare la successione immagine
{𝑓(𝑥𝑛 )};
 Provare che la successione {𝑓(𝑥𝑛 )} tende a l;
- Per verificare che il limite (bilaterale, unilaterale)
di 𝑓 per x che tende a 𝑥0 non esiste è sufficiente
determinare:
 Una successione test per 𝑥0 in A tale che la
successione immagine non ha limite;
 Due diverse successioni test per 𝑥0 in A tali
che le successioni immagine hanno limite
diverso.
- Per verificare che f non ammette limite bilaterale
per x che tende a 𝑥0 è sufficiente mostrare che:
 Almeno uno dei limiti unilaterali non esiste;
 Esistono entrambi ma sono diversi tra loro.
𝑥0 = +∞
𝑥0 = −∞
Intorno
sferico di 𝑥0
Intorno
destro di 𝑥0
Intorno
sinistro di
𝑥0
Intorno di
+∞
Intorno di
−∞
(𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿)
𝛿>0
[𝑥0 , 𝑥0 + 𝛿)
𝛿>0
(𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 ]
𝛿>0
(𝑑, +∞)
𝑑∈ℝ
(−∞, 𝑑)
𝑑∈ℝ
La nozione di intorno permette di riformulare in
maniera unitaria le definizioni di successione
convergente e di successione divergente: sia {𝑥𝑛 } una
̅ . Allora: 𝑥𝑛 → ℓ ⇔ per ogni
successione e sia 𝑙 ∈ ℝ
intorno U di ℓ si ha 𝑥𝑛 ∈ 𝑈 definitivamente.
̅ . Sia P(x) una proprietà
- Siano 𝐴 ⊆ ℝ e 𝑥0 ∈ ℝ
predicabile per 𝑥 ∈ 𝐴. Diciamo che P(x) è vera in
A vicino a 𝑥0 se esiste un intorno U di 𝑥0 tale che
P(x) sia soddisfatta per ogni x in 𝑈 ∩ 𝐴 \ {𝑥0 }.
- Se U è un intorno destro [sinistro] di 𝑥0 , diciamo
che la proprietà che è vera a destra [a sinistra]
vicino a 𝑥0 .
̅
 LEGAME TRA DISCETO E CONTINUO  Sia 𝑥0 ∈ ℝ
punto di accumulazione per 𝐴 ⊆ ℝ. Le seguenti
affermazioni sono equivalenti:
- La proprietà P(x) è vera in A vicino a 𝑥0 ;
- Per ogni successione test {𝑥𝑛 } per 𝑥0 in A, la
proprietà P(𝑥𝑛 ) è vera definitivamente.
 TEOREMI SUI LIMITI DI FUNZIONI 
- REGOLA DELLA SOMMA PER FUNZIONI
CONVERGENTI  Siano 𝐴 ⊆ ℝ, 𝑓, 𝑔: 𝐴 → ℝ,
̅ punto di accumulazione per A.
𝑥0 ∈ ℝ
Supponiamo 𝑓(𝑥) → ℓ1 ∈ ℝ e 𝑔(𝑥) → ℓ2 ∈ ℝ
per 𝑥 → 𝑥0 . Allora (𝑓 + 𝑔)(𝑥) → ℓ1 + ℓ2 per
𝑥 → 𝑥0 .
- RECIPROCO DI UNA FUNZIONE INFINITESIMA
̅ punto di
 Siano 𝐴 ⊆ ℝ, 𝑓: 𝐴 → ℝ, 𝑥0 ∈ ℝ
accumulazione per A, e supponiamo 𝑓(𝑥) → 0
1
per 𝑥 → 𝑥0 . Allora la funzione { }:
𝑓
 Diverge positivamente se f è positiva vicino
a 𝑥0 ;
 Diverge negativamente se f è negativa
vicino a 𝑥0 ;
 Non ha limite se f non ha segno costante
vicino a 𝑥0 .
- TEOREMA DELLA CONVERGENZA OBBLIGATA
̅
PER FUNZIONI  Siano 𝐴 ⊆ ℝ e sia 𝑥0 ∈ ℝ
punto di accumulazione per A. Siano
𝑓, 𝑔, ℎ: 𝐴 → ℝ tali che:
 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) vicino a 𝑥0 in A;
 𝑓 e ℎ convergono a uno stesso limite 𝑙 per
𝑥 → 𝑥0 .
Allora anche g converge a ℓ per 𝑥 → 𝑥0.
- OPERAZIONI CON FUNZIONI CONVERGENTI 
̅ punto di
Siano 𝐴 ⊆ ℝ, 𝑓, 𝑔: 𝐴 → ℝ, 𝑥0 ∈ ℝ
accumulazione per A. Supponiamo 𝑓(𝑥) →
ℓ1 ∈ ℝ e 𝑔(𝑥) → ℓ2 ∈ ℝ per 𝑥 → 𝑥0 . Allora:





Regola della somma: (𝑓 + 𝑔)(𝑥) → ℓ1 + ℓ2
Regola della differenza: (𝑓 − 𝑔)(𝑥) → ℓ1 − ℓ2
Regola del multiplo: (𝜆𝑓)(𝑥) → 𝜆ℓ1 (𝜆 ∈ ℝ)
Regola del prodotto: (𝑓 𝑔)(𝑥) → ℓ1 ℓ2
1
1
Regola del reciproco: (𝑥) →
(ℓ1 ≠ 0)
𝑓
𝑓
ℓ1
ℓ1
𝑔
ℓ2
 Regola del rapporto: (𝑥) →
(ℓ2 ≠ 0)
- OPERAZIONI CON FUNZIONI DIVERGENTI 
̅ punto di
Siano 𝐴 ⊆ ℝ, 𝑓, 𝑔: 𝐴 → ℝ, 𝑥0 ∈ ℝ
accumulazione per A. Supponiamo che f e g
siano divergenti per 𝑥 → 𝑥0 . Allora:
 Se le due funzioni divergono con lo stesso
segno, la funzione somma f+g diverge con
lo stesso segno;
 Se 𝜆 ≠ 0, la funzione multiplo 𝜆𝑓 diverge,
con lo stesso segno di f se 𝜆 > 0, con segno
opposto se 𝜆 < 0;
 La funzione prodotto fg diverge,
positivamente se le due funzioni divergono
con lo stesso segno, negativamente se le
due funzioni divergono con segni opposti.
1
 La funzione reciproco è infinitesima.
𝑓
- PERMANENZA DEL SEGNO  Siano 𝑓: 𝐴 ⊆
ℝ → ℝ, 𝑥0 ̅̅̅̅̅
∈ ℝ punto di accumulazione per A,
ℓ ∈ ℝ. Si supponga 𝑓(𝑥) → ℓ per 𝑥 → 𝑥0 .
>
>
1. ℓ 0 ⟹ 𝑓(𝑥) 0 𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑜 𝑎 𝑥0
<
<
≥
≥0
2. 𝑓(𝑥) 0 𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑜 𝑎 𝑥0 ⟹ ℓ
≤
≤0
GENERALIZZANDO:
̅̅̅̅̅
Siano 𝑓, 𝑔: 𝐴 ⊆ ℝ → ℝ, 𝑥0 ∈ ℝ punto di
accumulazione per A, ℓ1, ℓ2 ∈ ℝ. Allora:
𝑓(𝑥) → ℓ1 𝑒 𝑔(𝑥) → ℓ2 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → 𝑥0
) ⇒ ℓ1 ≤ ℓ2
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑜 𝑎 𝑥0
- DIVERGENZA OBBLIGATA  Sia 𝐴 ⊆ ℝ e sia
𝑥0 ∈ ℝ punto di accumulazione per A. Siano
𝑓, 𝑔 ∶ 𝐴 → ℝ tali che 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) vicino a 𝑥0 .
Allora, per 𝑥 → 𝑥0 :
 𝑓 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ⟹
𝑔 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
 𝑔 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ⟹
𝑓 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
GENERALIZZANDO:
 𝑓 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑡𝑎 𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑜 𝑎 𝑥0 , 𝑔 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 ⟹
𝑓 𝑔 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎;
 𝑓 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑡𝑎 𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑜 𝑎 𝑥0 , 𝑔 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ⟹
𝑓/𝑔 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎;
 𝑓 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑔 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑡𝑎 𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑜 𝑎 𝑥0 ⟹
𝑓 ± 𝑔 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒;
 𝑓 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑔 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒
𝑛𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 ⟹ 𝑓 𝑔 𝑒 𝑓/𝑔 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟.;
 𝑓 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑔 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑛𝑜
𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ⟹ 𝑓/𝑔 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒.
 CONTINUITÀ IN UN PUNTO E IN UN INSIEME  Sia
𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ → ℝ. Sia 𝑥0 ∈ 𝐴 un punto di accumulazione
per A. Diciamo che 𝑓 è:
- Continua in 𝑥0 se lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 );
𝑥→𝑥0
- Continua a sinistra in 𝑥0 se lim− 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 );
𝑥→𝑥0
- Continua a destra in 𝑥0 se lim+ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ).
𝑥→𝑥0
Se 𝑥0 ∈ 𝐴 è punto di accumulazione sia da sinistra
che da destra per A, allora 𝑓 è continua in 𝑥0 se e solo
se è continua sia a sinistra che a destra in 𝑥0 .
𝑓 è continua in A se è continua in tutti i punti di A.
 CATALOGO BASE  IN ARRIVO A BREVE 
 PUNTO DI DISCONTINUITÀ  Sia 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ → ℝ e sia
𝑥0 ∈ 𝐴 un punto di accumulazione di A. Se f non è
continua in 𝑥0 è un punto di discontinuità per f.
ESEMPIO: la funzione parte intera inferiore è
discontinua in 𝑥0 = 2.
- Nelle definizioni di continuità e discontinuità in
un punto si richiede che il punto considerato
appartenga al dominio della funzione. Se 𝑥0
non appartiene al dominio di f, non ha senso
chiedersi se f è continua o discontinua in 𝑥0 .
 CLASSIFICAZIONE PUNTI DI DISCONTINUITÀ  Sia
𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ → ℝ e sia 𝑥0 ∈ 𝐴 un punto di
accumulazione di A. Supponiamo che f non sia
continua in 𝑥0 .
- Diciamo che 𝑥0 è un punto di discontinuità
eliminabile per f se:
 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → 𝑥0 ;
 lim 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑥0 ).
𝑥→𝑥0
2
ESEMPIO: la funzione 𝑓(𝑥) = {𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0 ha
2 𝑠𝑒 𝑥 = 0
una discontinuità eliminabile in 𝑥0 = 0.
- Diciamo che 𝑥0 è un punto di discontinuità a
salto finito se:
 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → 𝑥0− 𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → 𝑥0+;
 lim− 𝑓(𝑥) ≠ lim+ 𝑓(𝑥).
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
ESEMPIO: In 𝑥0 ∈ ℤ, la funzione parte intera
inferiore e la funzione mantissa sono continue
a destra e non a sinistra; hanno discontinuità a
salto finito, con salto di ampiezza 1.
- Il numero | lim− 𝑓(𝑥) − lim+ 𝑓(𝑥)| si chiama
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
ampiezza del salto.
 REGOLARITÀ DELLE FUNZIONI MONOTONE  Sia 𝑓
una funzione monotona nell’intervallo (𝑎, 𝑏)
̅ ). Allora 𝑓 ammette limite (finito o
(𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏, ∈ ℝ
infinito) in ciascun estremo 𝑎 e 𝑏. Se 𝑓 è crescente in
(𝑎, 𝑏) si ha:
inf 𝑓
sup 𝑓
lim 𝑓(𝑥) =
lim 𝑓(𝑥) =
(𝑎, 𝑏)
(𝑎, 𝑏)
𝑥→𝑎+
𝑥→𝑏−
Se 𝑓 è decrescente in (𝑎, 𝑏) si ha
sup 𝑓
inf 𝑓
lim 𝑓(𝑥) =
lim 𝑓(𝑥) =
(𝑎, 𝑏)
(𝑎, 𝑏)
𝑥→𝑎+
𝑥→𝑏−
- COROLLARIO  Nei punti interni di un
intervallo una funzione monotona presenta al
più discontinuità a salto finito.
 CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI ELEMENTARI  È
utile riuscire a stabilire la continuità di una assegnata
funzione senza ricorrere alla definizione. Se la
funzione 𝑓 è continua in 𝑥0 , in base alla definizione di
continuità abbiamo che: lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ). Quindi,
 CONFRONTO TRA INFINITI e INFINITESIMI 
Supponiamo che le funzioni 𝑓 e 𝑔 siano entrambe
infinite oppure entrambe infinitesime per x che tende
̅ . Supponiamo che esista lim 𝑓(𝑥) =: ℓ.
a 𝑥0 ∈ ℝ
𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑥0




per calcolare i limiti nei punti del dominio in cui una
funzione è continua è sufficiente valutare la funzione
nei punti.
- Stabiliamo attraverso la definizione che certe
funzioni di base sono continue;
- Individuiamo dei procedimenti che permettano
di ottenere nuove funzioni continua a partire
da funzioni continue.
- CONTINUITÀ E OPERAZIONI ALGEBRICHE  La
somma, la differenza, il prodotto, la
combinazione lineare, il reciproco, il rapporto
di funzioni continue sono funzioni continue nei
rispettivi domini.
- CONTINUITÀ E COMPOSIZIONE FUNZIONALE  La
funzione composta di funzioni, ciascuna
continua nel proprio dominio, è a sua volta
continua nel proprio dominio.
- CONTINUITÀ E INVERSIONE FUNZIONALE  La
funzione inversa di una funzione continua e
strettamente monotona in un intervallo è una
funzione continua nel proprio dominio.
CATALOGO ESTESO  Le seguenti funzioni sono
continue nei rispettivi domini [tra parentesi quadre
c’è la motivazione]:
- Potenza a esponente naturale [prodotto di
funzioni continue];
- Funzione polinomiale [combinazione lineare di
funzioni continue];
- Funzione razionale [rapporto di funzioni
continue];
- Potenza a esponente negativo [reciproco di
funzione continua];
- Radice n-esima [inversa di funzione
strettamente monotona e continua in un
intervallo];
- Potenza a esponente [composta delle funzioni
continue];
- Razionale m/n [𝑥 ↦ 𝑥 𝑚 , 𝑥 ↦ 𝑛√𝑥 (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℕ∗ )];
- Coseno [Composta di funzioni continue
cos(𝑥) = sin(𝑥 + 𝜋/2)];
- Tangente [rapporto di funzioni continue];
- Arcoseno, arcocoseno, arcotangente [inverse
di funzioni strettamente monotone e continue
in intervalli];
- Esponenziale con base qualsiasi [composta di
funzioni continue (𝑎𝑥 = 𝑒 ln(𝑎)𝑥 ];
- Logaritmo [inversa di funzione strettamente
monotona e continua in un intervallo];
- Potenza a esponente reale [composta di
funzioni continue (𝑥 𝛼 = 𝑒 𝛼 ln(𝑥) )];
ASINTOTI VERTICALI  Sia 𝑥0 ∈ ℝ punto di
accumulazione per 𝑑𝑜𝑚(𝑓). Se 𝑓 diverge per 𝑥 che
tende a 𝑥0 da sinistra [destra], diciamo che la retta do
equazione 𝑥 = 𝑥0 è un asintoto verticale da sinistra
[destra] per 𝑓.
I candidati asint. vert. per 𝑓 sono le rette 𝑥 = 𝑥0 con:
- 𝑥0 ∈ 𝑑𝑜𝑚(𝑓) punto di discontinuità di f
- 𝑥0 ∉ 𝑑𝑜𝑚(𝑓) estremo finito del dominio
ASINTOTI ORIZZONTALI  Sia 𝑥0 ∈ {−∞; +∞}
punto di accumulazione per 𝑑𝑜𝑚(𝑓). Se 𝑓 converge
a ℓ per x che tende a 𝑥0 , diciamo che la retta di
equazione 𝑦 = ℓ è un asintoto orizzontale per 𝑓. (A
sinistra se 𝑥0 = −∞, a destra se 𝑥0 = +∞).
LIMITI AGLI ESTREMI DEL DOMINIO DELLE FUNZIONI
ELEMENTARI 
 CAMBIAMENTO DI VARIABILE NEI LIMITI  Siano 𝑓
e 𝑔 due funzioni tali che la funzione composta 𝑓 ∘ 𝑔
̅ punto di
sia definitiva in un insieme A e sia 𝑥0 ∈ ℝ
accumulazione per A. Posto 𝑦0 ≔ lim 𝑔(𝑥),
𝑥→𝑥0
l’uguaglianza: lim 𝑓(𝑔(𝑥)) = lim 𝑓(𝑦) è valida se:
𝑥→𝑥0
𝑦→𝑦0
1) 𝑦0 ∈ {−∞; +∞}
2) 𝑦0 ∈ ℝ e f continua in 𝑦0 ; in tal caso
lim 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑦0 )
𝑥→𝑥0
 CONTINUITÀ DELA FUNZIONE COMPOSTA  Siano
𝑓 e 𝑔 due funzioni tali che la funzione composta 𝑓 ∘
̅ punto di
𝑔 sia definitiva in un insieme A e sia 𝑥0 ∈ ℝ
accumulazione per A. Se 𝑔 è continua in 𝑥0 e 𝑓 è
continua in 𝑦0 ≔ 𝑔(𝑥0 ), allora la funzione composta
𝑓 ∘ 𝑔 è continua in 𝑥0 .
 ALCUNI LIMITI NOTEVOLI  Tutti i limiti seguenti
presentano la forma di indecisione 0/0:
sin(𝑥)
𝑒𝑥 − 1
lim
=1
lim
=1
𝑥→0
𝑥→0
𝑥
𝑥
(1 + 𝑥)𝛼 − 1
1 − cos(𝑥) 1
lim
=
lim
=𝛼
𝑥→0
𝑥→0
𝑥2
2
𝑥
(𝛼 ∈ ℝ)
ln(1 + 𝑥)
lim
=1
𝑥→0
𝑥
Tutte le funzioni considerate possono essere
prolungate con continuità.
sin(𝑥)
Consideriamo la funzione 𝑓(𝑥) =
, che è
𝑥
definita in ℝ∗ , dove risulta continua (poiché rapporto
di funzioni continue). La funzione 𝑓̃: ℝ → ℝ, definita
𝑓(𝑥) 𝑥 ∈ ℝ∗
ponendo 𝑓̃(𝑥) = {
è definita e continua
1
𝑥=0
in ℝ; si chiama prolungamento continuo di 𝑓 in ℝ.
 FUNZIONI ASINTOTICAMENTE EQUIVALENTI 
̅ . Se
Siano 𝑓 e 𝑔 due funzioni definite vicino a 𝑥0 ∈ ℝ
lim
𝑓(𝑥)
𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥)
= 1, diciamo che f e g sono asintoticamente
equivalenti per x che tende a 𝑥0 e scriviamo:
𝑓(𝑥)~𝑔(𝑥) 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → 𝑥0 .
OSSERVAZIONI:
- f e g sono asintoticamente equivalenti per 𝑥 →
𝑥0 se e solo se 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥), dove h è una
funzione che tende a 1 per 𝑥 → 𝑥0 .
- Se f e g sono asintoticamente equivalenti per
𝑥 → 𝑥0 , allora sono entrambe non regolari
oppure entrambe regolari per 𝑥 → 𝑥0 ; in
quest’ultimo caso, hanno lo stesso limite per
𝑥 → 𝑥0 .
 PROPRIETÀ DELLA EQUIVALENZA ASINTOTICA 
- TRANSITIVITÀ
𝑓(𝑥)~𝑔(𝑥)
𝑃𝑒𝑟 𝑥 → 𝑥0 :
) ⇒ 𝑓(𝑥)~ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)~ℎ(𝑥)
- PRODOTTI E RAPPORTI
𝑃𝑒𝑟 𝑥 → 𝑥0 :
𝑓1 (𝑥)~𝑓2 (𝑥)
) ⇒
𝑔1 (𝑥)~𝑔2 (𝑥)
𝑓1 (𝑥)𝑔1 (𝑥)~𝑓2 (𝑥)𝑔2 (𝑥)
𝑓1 (𝑥) 𝑓2 (𝑥)
~
𝑔1 (𝑥) 𝑔2 (𝑥)
- COMPOSIZIONE
ℎ(𝑥) → 𝑦0 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → 𝑥0
𝑓(ℎ(𝑥))~𝑔(ℎ(𝑥))
𝑓(𝑦)~𝑔(𝑦) 𝑝𝑒𝑟 𝑦 → 𝑦0
)⇒
𝑝𝑒𝑟 𝑥 → 𝑥0
𝑓 𝑒 𝑔 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑖𝑛 𝑦0 ; 𝑠𝑒 𝑦0 ∈ ℝ
 FUNZIONE
ALGEBRICA
ASINTOTICAMENTE
EQUIVALENTE  Una combinazione lineare di
potenze di x con esponente positivo (brevemente
funzione algebrica) è asintoticamente equivalente:
- Al monomio con esponente maggiore per 𝑥 →
+∞;
- Al monomio con esponente minore per 𝑥 → 0.
- Se ℓ ∈ ℝ∗ , diciamo che f e g sono
infiniti/infinitesimi dello stesso ordine per x che
tende a 𝑥0 .
- Se ℓ = 0, diciamo che f è infinito di ordine
inferiore/infinitesimo di ordine superiore
rispetto a g per x che tende a 𝑥0 .
- Se ℓ ∈ {−∞; +∞}, diciamo che f è infinito di
ordine superiore/infinitesimo di ordine
inferiore rispetto a g per x che tende a 𝑥0 .
OSSERVAZIONI:
 Due
funzioni
infinite/infinitesime
asintoticamente
equivalenti
sono
infiniti/infinitesimi dello stesso ordine.
 Dire che f è infinito/infinitesimo di ordine
superiore rispetto a g equivale a dire che g è
infinito/infinitesimo di ordine inferiore rispetto
a f.
 ORDINE
e
PARTE
PRINCIPALE
DI
UN
̅ . Chiamiamo
INFINITO/INFINITESIMO  Sia 𝑥0 ∈ ℝ
infinito campione oppure infinitesimo campione per
𝑥 → 𝑥0 la funzione definita ponendo:
𝑥0 = +∞
𝑥0 = −∞
𝑥0 = 0
∗
𝑥0 ∈ ℝ
𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑚𝑝𝑖𝑜𝑛𝑒
𝜑(𝑥) =
𝑥
𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜
𝑐𝑎𝑚𝑝𝑖𝑜𝑛𝑒
𝜑(𝑥) =
1
𝑥
𝑥
1
𝑥
1
𝑥 − 𝑥0
𝑥 − 𝑥0
Osserviamo che la funzione 𝑥 ↦ 𝜑(𝑥) è definita
vicino a 𝑥0 .
Sia f una funzione infinita/infinitesima per 𝑥 → 𝑥0 . Se
esistono 𝛼, 𝑐 ∈ ℝ, con 𝛼 > 0 e 𝑐 ≠ 0, tali che
𝑓(𝑥)~𝑐[𝜑(𝑥)]𝛼 per 𝑥 → 𝑥0 , diciamo che:
- 𝑓 è un infinito/infinitesimo di ordine 𝛼 (rispetto
all’infinito/infinitesimo campione);
- 𝑐[𝜑(𝑥)]𝛼 è la parte principale di 𝑓(𝑥) per 𝑥 →
𝑥0
ESEMPI:
 Per una funzione algebrica l’ordine di infinito
coincide con l’esponente maggiore e la parte
principale coincide con il monomio con
esponente maggiore;
 Per una funzione algebrica l’ordine di
infinitesimo coincide con l’esponente minore e
la parte principale coincide con il monomio con
l’esponente minore.
 PROPOSIZIONE

Sia
𝑓
una
funzione
̅.
infinita/infinitesima per 𝑥 → 𝑥0 ∈ ℝ
a) 𝑓 e la sua parte principale (se esiste) sono
asintoticamente equivalenti.
b) Se 𝑓(𝑥) = 𝑓̃(𝑥) + 𝑔(𝑥), con 𝑔(𝑥) infinito di
ordine inferiore oppure infinitesimo di ordine
superiore rispetto a 𝑓̃(𝑥) per 𝑥 → 𝑥0, allora
𝑓(𝑥) e 𝑓̃(𝑥) sono asintoticamente equivalenti
N.B.: Dalla proposizione segue che in ciascun fattore:
a) Contano solo le parti principali;
b) Gli infiniti di ordine inferiore e gli infinitesimi
di ordine superiore sono trascurabili.
 GERARCHIA DEGLI INFINITI – CASO DISCRETO 
Siano a>1, p>0. Come applicazione del corollario del
criterio del rapporto per le serie numeriche, abbiamo
𝑛𝑝
𝑎𝑛
𝑛!
𝑎
𝑛!
𝑛
verificato che le successioni { 𝑛 }, { }, { 𝑛} sono
infinitesime. Questo permette di affermare che:
- La potenza con esponente positivo qualsiasi è
infinito di ordine inferiore rispetto alla
progressione geometrica con ragione maggiore
di 1;
- La progressione geometrica con ragione
maggiore di 1 è infinito di ordine inferiore
rispetto al fattoriale 𝑛!;
- Il fattoriale 𝑛! è infinito di ordine inferiore
rispetto a 𝑛𝑛 .
 CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO  Siano
𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 > 0 per ogni 𝑛 ≥ 𝑛0 ; supponiamo che
entrambe le successioni siano infinitesime.
1. Se {𝑎𝑛 } e {𝑏𝑛 } sono infinitesime dello stesso
ordine, la serie di termine 𝑎𝑛 e la serie di
termine 𝑏𝑛 hanno lo stesso carattere.
2. Se {𝑎𝑛 } è infinitesimo di ordine superiore
rispetto a {𝑏𝑛 } e la serie di termine 𝑏𝑛
converge, anche la serie di termine 𝑎𝑛
converge.
3. Se {𝑎𝑛 } è infinitesimo di ordine inferiore
rispetto a {𝑏𝑛 } e la serie di termine 𝑏𝑛 diverge,
anche la serie di termine 𝑎𝑛 diverge.
 CLASSIFICAZIONE DELL’ANDAMENTO ALL’INFINITO
DI UNA FUNZIONE  Sia 𝑥0 ∈ {−∞, +∞}.
Supponiamo che 𝑓 diverge per 𝑥 → 𝑥0 e che esista
lim
𝑓(𝑥)
𝑥→𝑥0 𝑥
=: ℓ. Diciamo che 𝑓 ha:
- Andamento lineare se ℓ ∈ ℝ∗;
- Andamento sublineare se ℓ = 0;
- Andamento superlineare se ℓ ∈ {−∞; +∞}.
𝑓(𝑥)
Se il rapporto
non ha limite per 𝑥 → 𝑥0 , diciamo
𝑥
che f ha andamento oscillatorio.
 ASINTOTI OBLIQUI  Sia 𝑥0 ∈ {−∞; +∞} e
supponiamo che f abbia andamento lineare per 𝑥 →
𝑥0 . Poniamo 𝑚 ≔ lim
𝑓(𝑥)
𝑥→𝑥0 𝑥
e notiamo che 𝑚 ∈ ℝ
(per ipotesi). Se la funzione 𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥 ha limite 𝑞 ∈
ℝ per 𝑥 → 𝑥0 , diciamo che la retta di equazione 𝑦 =
𝑚𝑥 + 𝑞 è un asintoto obliquo per f.
…