LIMITI DI FUNZIONI REALI
•Intorni
•Introduzione
alla definizione di limite
•Il limite di una funzione
•Proprietà dei limiti
•Operazioni con i limiti
•Il calcolo dei limiti
INTORNI

Intorno del punto x0 e raggio r>0 (x0,r  )
Ixo,r = {x , |x-x0|<r}

|x-x0|<r  -r< x-x0<+r  x0 –r < x < x0+r
r
r
x0 –r
x0
x0+r
ESEMPI




|x|<3
|x -1|<4
|x -2|<0,1
|x|<0,01
 -3 < x < +3 (x0= 0, r= 3)
 -3 < x < +5 (x0= 1, r= 4)
 +1,9 < x < +2,1 (x0= 2, r= 0,1)
 - 0,01 < x < + 0,01 (x0= 0, r=0,01)
I ½.0,1 =
 + 0,4 < x < + 0,6
x0= ½, r=0, 1
= {x , |x- ½ |<0,1}

INTORNI DELL’ INFINITO


Intorno dell’infinito e raggio M>0 (M  +)
IM = {x , |x|>M}
|x|>M  x< -M o x >+M
x< -M
x >+M
-M
0
+M
INTORNI DI + E DI - 

Intorno di + e raggio M>0 (M  +)
I+  M = {x , x>M}
x>M
0
+M
 Intorno di - e raggio M>0 (M  +)
I-  M = {x , x<-M}
x< -M
-M
0
ESERCIZI
Determina centro e raggio dei seguenti intorni
r =(b-a)/2; x0=(a+b)/2
 (-3;2)
r = [2-(-3)]/2=5/2 e x0 = [2+(-3)]/2=- ½
 (√3;3√3)
r = [3√3 -(√ 3)]/2= √3 e x0 = [√3+(3√3)]/2= 2 √3
 (-; -10 000)
centro - e raggio M = 104
 (108;+ )
centro + e raggio M = 108
ESERCIZIO

Dati I2,4 sull’asse delle ascisse e J-1,3 sull’asse
delle ordinate, determina l’area del rettangolo
individuato dal prodotto cartesiano IJ.
Area = 48 u2
INTRODUZIONE AI LIMITI
La definizione di limite, posta alla base del calcolo
infinitesimale, non è dovuta ai fondatori di tale
calcolo- che sono Gottfried Wilhelm Leibniz (16461716) e Isaac Newton (1642-1727).
 Il calcolo infinitesimale permise di risolvere
problemi scientifici e matematici che fino ad allora
non avevano trovato un’adeguata soluzione. Dal
punto di vista matematico c’era però una criticità: i
metodi del calcolo funzionavano ma non si sapeva
spiegare il perché.

LA VELOCITÀ ISTANTANEA
La velocità media di un corpo puntiforme è
definita tramite il rapporto dello spazio percorso e
il tempo impiegato a percorrerlo: v=s/t (oppure
scriviamo v=Ds/Dt)
 Viene dunque spontaneo definire la velocità
istantanea come il valore (limite) di questo
rapporto al tendere a zero dell’intervallo di tempo
considerato.
 La velocità istantanea è dunque il rapporto di due
quantità infinitesime o, come diceva Newton,
“l’ultimo rapporto di due quantità evanescenti”.

COME ARGOMENTAVA NEWTON NEL
"PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA"
“Si può obiettare che l’ultimo rapporto di due
quantità evanescenti non è nulla, perché prima
che esse svaniscano il loro rapporto non è l’ultimo,
e allorché sono svanite non ne hanno più alcuno.
Ma è facile rispondere […] l’ultimo rapporto delle
quantità evanescenti deve essere inteso come il
rapporto fra dette quantità non prima che siano
svanite, e nemmeno dopo, ma nell’istante stesso
in cui svaniscono”.
NECESSITÀ DI UNA DEFINIZIONE FORMALE
Si pone allora il problema di fissare l’”attimo fuggente” in cui
le “quantità“ svaniscono. Si può pensare che le uniche
tre possibilità siano:
 s/t rapporto tra quantità finite allora è una velocità media
(con t molto piccolo)
 s/t entrambe nulle, ma allora non possiamo dividere per 0.
 s/t in un certo istante svaniscono allora c’è una quantità
infinitesima atomica di cui non se ne può trovare una più
piccola ma ciò contrasta con l’esistenza di grandezze
incommensurabili, già noto al tempo dei Greci (√2)
CAUCHY



Si deve a A. L. Cauchy e, soprattutto, alla successiva
formalizzazione di A. Weierstrass, una definizione
rigorosa di limite e, mediante essa, una costruzione
rigorosa dell'analisi matematica.
Cauchy assunse come fondamentale il concetto di limite
di D'Alambert, ma gli conferì una maggiore precisione.
Egli formulò una definizione relativamente precisa di
limite:
"Quando i valori successivi attribuiti a una variabile si
avvicinano indefinitamente a un valore fissato così che
finiscono con il differire da questo per una differenza
piccola quanto si vuole, quest'ultimo viene detto il limite
di tutti gli altri".
CAUCHY

La definizione di Cauchy, come leggiamo,
faceva uso di espressioni come "valori
successivi" o "avvicinarsi indefinitamente" o
"così piccolo quanto si vuole". Per quanto
suggestive queste definizioni sono nondimeno
prive di quella precisione che generalmente si
esige dalla matematica.
WEIERSTRASS
Nelle sue lezioni Weierstrass definiva il limite
della funzione f(x) nel punto x0 nel modo
seguente:
 "Se data una qualsiasi grandezza e, esiste una
h0, tale che per 0<h<h0 la differenza f(x0±h)-L è
minore di e in valore assoluto, allora L è il limite
di f(x) per x=x0".
 Oggi la h0 di Weierstrass viene spesso
sostituita da un'altra lettera greca, d.

DEFINIZIONE:
si dice che l è il limite della funzione y=f(x),
per x tendente ad c  e si scrive
lim f(x)=l
xc
Se per ogni intorno Jl, di centro l, esiste Ic di
centro a tale che:
x (x Ic e x  c)  f(x)  Jl .
NB: l’intorno Ic sta sull’asse delle x
l’intorno Jl sta sull’asse delle y
DEFINIZIONE (con e e d):
si dice che l è il limite della funzione y=f(x), per x
tendente ad c  e si scrive
lim f(x)=l
xc
Se per ogni e > 0 esiste d > 0 tale che:
x (|x -c|< d e x  c)  |f(x) - l |< e.
NB: Ixo,r = {x , |x-x0|<r} dunque
Ic,d = {x , |x-c|< d}
Jl,e = {y , |y-l|< e}
ESERCIZI

Dimostrare che

Disegnare il grafico della funzione definita per casi
E dimostrare che