Di che cosa parla la
matematica?
M. C. Escher, Cube
Se ve l’avessero chiesto quando eravate dei ragazzini di scuola media,
probabilmente avreste risposto che la matematica si divide in aritmetica e in
geometria: la prima si occupa dei numeri,
la seconda delle figure.
Al biennio del Liceo avete incontrato molta matematica in più, con il risultato che
(forse)
se doveste dire oggi di che cosa si occupa la matematica potreste fare un elenco
lunghissimo o, viceversa, trovarvi talmente in imbarazzo
da non sapere che cosa dire.
Ma… torniamo ai numeri e alle figure.
Sono poi due “cose” così diverse?
Non hanno proprio nessun legame?
M.C. Escher, Day and night
Siamo sicuri che non c’è un mondo nel quale essi si dissolvono, gli uni nelle
altre, e viceversa?
Io sarei almeno del parere che...
… numeri e figure
si descrivono gli uni gli altri.
Da quest’anno scopriremo a fondo tale legame, entrando in un mondo bellissimo e
molto particolare. Di fatto, però, avete già potuto incontrare varie situazioni in cui
numeri e figure sembrano essere le due facce della stessa medaglia. Cerchiamo di
ricordarne alcune...
Questo fatto geometrico, non ci ricorda forse la proprietà distributiva della
moltiplicazione rispetto all’addizione?
a  b c  a  c  b  c
Questo fatto geometrico, non ci ricorda forse la formula del quadrato del
binomio?
a  b
2
a b  2  a  b
2
2
Questo fatto geometrico, non ci ricorda forse la formula della differenza di
quadrati?
a  b  a  b a  b
2
2
Abbiamo visto che alcune formule valide per
i numeri reali possono essere facilmente interpretate
per via geometrica.
Questo legame è, in fondo, dovuto al fatto che è attraverso i numeri che possiamo
esprimere le misure delle lunghezze dei segmenti e delle altre grandezze geometriche.
Riflettiamo ancora un attimo su questo fatto. Dato un segmento come unità di misura
(u), credo che non ci siano dubbi su come si può costruire un segmento lungo 2u, 3u,
4u, …, 1/2 u, 1/3 u, 1/4 u, …
E se volessimo costruire un segmento lungo
2u o lungo
3u ?
E dulcis in fundo...
Non siete forse abituati a rappresentare
i numeri interi come dei punti su una retta?
La stessa cosa sapete sicuramente fare anche con i numeri razionali (le
frazioni) e, riflettendoci un attimo, con tutti i reali.
Questo basta per poter iniziare ad entrare nel mondo della geometria
analitica,
dove numeri e figure davvero si dissolvono,
gli uni nelle altre.